6 Drgania, rezonans i układy liniowe · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: most, który tańczył

W czerwcu 2000 r. otwarto w Londynie kładkę Millennium nad Tamizą. Pierwszego dnia przeszło po niej kilkadziesiąt tysięcy ludzi i kładka zaczęła kołysać się na boki, tak że przechodnie musieli się trzymać barierek. Po dwóch dniach ją zamknięto. Okazało się, że jej własna częstotliwość drgań bocznych wynosiła ok. 1 Hz. Idący człowiek przenosi ciężar z nogi na nogę z częstotliwością równą połowie częstotliwości kroków (2 kroki na sekundę to 1 Hz w bok), czyli właśnie ok. 1 Hz. Gdy kładka zaczęła się lekko kołysać, ludzie bezwiednie dostosowywali krok do jej ruchu i pompowali w nią energię coraz zgodniej.

Naprawa kosztowała miliony funtów i polegała na dodaniu tłumików (część 5 i przykład 6.6). Ta historia zawiera wszystkie wątki działu: częstotliwość własną, rezonans, tłumienie i to, że ten sam opis matematyczny stosuje się do kładki, wahadła i obwodu radiowego.

Pytanie na start. Ciężarek na sprężynie drga z okresem 1 s. Zabierasz go na Księżyc. Czy okres się zmieni? A okres wahadła? Odpowiedź w części 1 i w zadaniu 1.5.

1 Oscylator harmoniczny

Ciało o masie $m$ na sprężynie o sztywności $k$ odsunięte o $x$ od położenia równowagi czuje siłę $-kx$ . Druga zasada dynamiki daje równanie, które w dziale 2 „Energia” nazwaliśmy równaniem małych drgań, a w lekcji 4.1 Równania różniczkowe zwyczajne rozwiązaliśmy:FLP I-21-2

Prawo · oscylator harmoniczny

m\ddot x = -kx\quad\Rightarrow\quad x(t) = A\cos(\omega_0t + \varphi),\qquad \omega_0 = \sqrt{\frac km},\quad T = \frac{2\pi}{\omega_0} .

Amplitudę $A$ i fazę $\varphi$ wyznaczają warunki początkowe; częstość $\omega_0$ zależy tylko od układu. Energia $\tfrac12m\dot x^2 + \tfrac12kx^2 = \tfrac12kA^2$ przelewa się między kinetyczną a potencjalną dwa razy w każdym okresie.

Najważniejsza własność: okres nie zależy od amplitudy (izochronizm). To dlatego, że siła rośnie proporcjonalnie do wychylenia: dwa razy dalej to dwa razy większa siła i dwa razy dłuższa droga, więc ten sam czas. Każdy układ w pobliżu minimum energii potencjalnej drga harmonicznie przy małych wychyleniach, z $\omega_0 = \sqrt{U''(x_0)/m}$ (dział 2, część 4.3). Wahadło: $\omega_0 = \sqrt{g/l}$ ; obwód LC: $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ (część 5).

Zadania · część 1

5 zadań · ok. 30 min

Ciężarek 0,5 kg wisi na sprężynie o sztywności 200 N/m. Oblicz częstość kątową, częstotliwość i okres drgań.

Odpowiedź
$\omega_0 = 20$ rad/s, $f \approx 3{,}18$ Hz, $T \approx 0{,}314$ s.
Zawieszenie ciężarka wydłuża sprężynę o 4,9 cm. Jaki będzie okres drgań? Czy potrzebujesz masy ciężarka?

Odpowiedź
$k\Delta x = mg$ , więc $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{g/\Delta x} \approx 14{,}1$ rad/s, $T \approx 0{,}44$ s. Masy nie trzeba.
Oscylator z $\omega_0 = 20$ rad/s drga z amplitudą 3 cm. Jaka jest największa prędkość i największe przyspieszenie? Gdzie występują?

Odpowiedź
$v_\text{max} = A\omega_0 = 0{,}6$ m/s w położeniu równowagi; $a_\text{max} = A\omega_0^2 = 12\ \mathrm{m/s^2}$ w punktach zwrotnych.
W chwili $t = 0$ ciężarek ( $\omega_0 = 20$ rad/s) jest 2 cm od równowagi i porusza się od niej z prędkością 0,3 m/s. Oblicz amplitudę i fazę początkową w zapisie $x = A\cos(\omega_0t + \varphi)$ .

Odpowiedź
$x(0) = A\cos\varphi = 0{,}02$ , $\dot x(0) = -A\omega_0\sin\varphi = 0{,}3$ . $A = \sqrt{0{,}02^2 + (0{,}3/20)^2} = 2{,}5$ cm, $\operatorname{tg}\varphi = -0{,}75$ , $\varphi \approx -36{,}9^\circ$ .
Wahadło zegara ma „tykać” co sekundę, czyli mieć okres 2 s. Jak długie musi być (wahadło matematyczne)? Jaki byłby jego okres na Księżycu ( $g = 1{,}62\ \mathrm{m/s^2}$ )?

Odpowiedź
$l = g(T/2\pi)^2 \approx 0{,}994$ m. Na Księżycu $T = 2\pi\sqrt{l/1{,}62} \approx 4{,}9$ s. Sprężyna z prologu drgałaby tak samo jak na Ziemi.

2 Drgania w liczbach zespolonych

Rachunki z sinusami i cosinusami szybko się komplikują. Feynman zamiast nich używa funkcji wykładniczej o wykładniku urojonym (lekcja 1.7 Liczby zespolone i fazory): $e^{i\omega t} = \cos\omega t + i\sin\omega t$ . Pochodna to mnożenie przez $i\omega$ , więc równanie różniczkowe zamienia się w algebraiczne.FLP I-22-6, I-23-1

Metoda · zapis zespolony

Szukamy rozwiązania w postaci $x = \operatorname{Re}\big(\hat Ae^{i\omega t}\big)$ , gdzie $\hat A = Ae^{i\varphi}$ to amplituda zespolona (fazor): jej moduł to amplituda, a argument faza. Wtedy $\dot x \to i\omega\hat A$ , $\ddot x \to -\omega^2\hat A$ . Dla równań liniowych o rzeczywistych współczynnikach wolno liczyć na liczbach zespolonych i wziąć część rzeczywistą na końcu.

Przykład: dla $m\ddot x + kx = 0$ podstawienie daje $(-m\omega^2 + k)\hat A = 0$ , czyli $\omega = \omega_0$ . Ta sama sztuczka zadziała przy tłumieniu i wymuszeniu, gdzie metodą „na piechotę” trzeba by rozwiązywać układ równań na amplitudy przy sinusie i cosinusie.

Zadania · część 2

5 zadań · ok. 30 min

Ruch opisuje $x = \operatorname{Re}\big(3e^{i(5t + \pi/3)}\big)$ cm. Podaj amplitudę, częstość kątową, fazę i $x(0)$ .

Odpowiedź
$A = 3$ cm, $\omega = 5$ rad/s, $\varphi = \pi/3$ ; $x(0) = 3\cos\tfrac\pi3 = 1{,}5$ cm.
Zapisz $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ jako $A\cos(\omega t - \delta)$ .

Wskazówka
Fazory: $3$ i $4e^{-i\pi/2}$ (bo $\sin\omega t = \cos(\omega t - \pi/2)$ ). Dodaj je jak wektory.

Odpowiedź
$\hat A = 3 - 4i$ , $|\hat A| = 5$ , $\delta = \operatorname{arctg}\tfrac43 \approx 53{,}1^\circ$ : $5\cos(\omega t - 53{,}1^\circ)$ .
Sprawdź bezpośrednio, że $x = e^{i\omega_0t}$ spełnia $\ddot x = -\omega_0^2x$ .

Odpowiedź
$\dot x = i\omega_0e^{i\omega_0t}$ , $\ddot x = (i\omega_0)^2e^{i\omega_0t} = -\omega_0^2x$ ✓.
Podstaw $x = e^{st}$ do $\ddot x + \gamma\dot x + \omega_0^2x = 0$ i znajdź $s$ . Kiedy $s$ jest zespolone, a kiedy rzeczywiste? Co to oznacza dla ruchu?

Odpowiedź
$s^2 + \gamma s + \omega_0^2 = 0$ , $s = -\tfrac\gamma2 \pm\sqrt{\tfrac{\gamma^2}{4} - \omega_0^2}$ . Dla $\gamma < 2\omega_0$ : $s = -\tfrac\gamma2 \pm i\omega_d$ , drgania gasnące jak $e^{-\gamma t/2}$ . Dla $\gamma \ge 2\omega_0$ : $s$ rzeczywiste ujemne, powrót bez drgań (część 3).
Pokaż, że prędkość w ruchu harmonicznym wyprzedza wychylenie w fazie o $90^\circ$ , a przyspieszenie jest w przeciwfazie do wychylenia. Narysuj trzy fazory.

Odpowiedź
$\hat v = i\omega\hat A = \omega\hat Ae^{i\pi/2}$ : fazor obrócony o $90^\circ$ do przodu. $\hat a = -\omega^2\hat A = \omega^2\hat Ae^{i\pi}$ : obrócony o $180^\circ$ .

3 Tłumienie

Prawdziwe drgania gasną. Najprostszy model oporu to siła proporcjonalna do prędkości: $-b\dot x$ (opór lepki, tłumik olejowy, opór elektryczny). Dzieląc przez masę i oznaczając $\gamma = b/m$ :FLP I-24-2

Prawo · oscylator tłumiony

\ddot x + \gamma\dot x + \omega_0^2x = 0;\qquad \gamma < 2\omega_0:\ \ x = Ae^{-\gamma t/2}\cos(\omega_dt + \varphi),\quad \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2/4} .

Amplituda maleje jak $e^{-\gamma t/2}$ , energia jak $e^{-\gamma t}$ . Dobroć $Q = \omega_0/\gamma$ mówi, ile radianów drgań mieści się w czasie, w którym energia maleje $e$ razy. W każdym okresie amplituda maleje o czynnik $e^{-\pi/Q}$ , a energia traci ułamek ok. $2\pi/Q$ .

Trzy reżimy: słabe tłumienie ( $\gamma < 2\omega_0$ , drgania gasnące), krytyczne ( $\gamma = 2\omega_0$ , najszybszy powrót bez przeregulowania, czyli bez przelotu przez położenie równowagi) i nadkrytyczne ( $\gamma > 2\omega_0$ , powolne pełzanie do równowagi). Samozamykacze drzwi i wskazówki mierników projektuje się blisko tłumienia krytycznego, amortyzatory samochodowe wyraźnie poniżej (ok. 0,2–0,4 krytycznego, przykład 6.2); kamertony i kryształy kwarcu mają $Q$ rzędu tysięcy i milionów.

Zadania · część 3

5 zadań · ok. 35 min

Amplituda drgań maleje dwukrotnie po 10 okresach. Oblicz dobroć $Q$ (przy słabym tłumieniu $\omega_d \approx \omega_0$ ).

Odpowiedź
$e^{-\gamma\cdot10T/2} = \tfrac12$ , więc $\gamma = \tfrac{2\ln2}{10T}$ i $Q = \tfrac{\omega_0}{\gamma} = \tfrac{2\pi\cdot10}{2\ln2} \approx 45$ .
Na jedno koło samochodu przypada 250 kg, a sprężyna zawieszenia ma sztywność 25 kN/m. Oblicz częstotliwość własną i współczynnik $b$ amortyzatora dający tłumienie krytyczne.

Odpowiedź
$\omega_0 = 10$ rad/s, $f \approx 1{,}6$ Hz. Krytyczne: $\gamma = 2\omega_0$ , $b = 2\sqrt{km} = 5000$ N·s/m. W praktyce stosuje się ok. 30% tej wartości (przykład 6.2).
Kamerton 440 Hz ma dobroć $Q = 5000$ . Po jakim czasie jego energia zmaleje $e$ razy? Ile drgań wykona w tym czasie?

Odpowiedź
$\tau_E = 1/\gamma = Q/\omega_0 \approx 1{,}8$ s; liczba drgań $Q/2\pi \approx 800$ .
Samozamykacz drzwi ma za słabe tłumienie: drzwi uderzają we framugę z dużą prędkością (bez framugi przeleciałyby przez położenie zamknięte). Mechanik dokręca zawór i tłumienie rośnie kilkukrotnie ponad krytyczne. Co się stanie teraz? Jakie tłumienie jest najlepsze?

Odpowiedź
Drzwi nie trzaskają, ale zamykają się bardzo długo: przy silnym tłumieniu czas powrotu rośnie jak $\gamma/\omega_0^2$ . Najszybszy powrót bez przelotu daje tłumienie krytyczne $\gamma = 2\omega_0$ .
Amplituda wahadła maleje o 1% w każdym okresie. Oszacuj jego dobroć.

Odpowiedź
$e^{-\pi/Q} = 0{,}99$ , $Q = \pi/(-\ln0{,}99) \approx 310$ .

4 Drgania wymuszone i rezonans

Popychamy oscylator siłą okresową $F_0\cos\omega t$ . Po zgaśnięciu drgań własnych (stanu przejściowego) oscylator drga z częstością siły, nie własną. Zapis zespolony daje amplitudę od razu:FLP I-23-2

Wynik · odpowiedź oscylatora na siłę okresową

\hat x = \frac{F_0/m}{\omega_0^2 - \omega^2 + i\gamma\omega},\qquad |\hat x| = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2\omega^2}} .

Przy $\omega \approx \omega_0$ amplituda jest $Q$ razy większa niż wychylenie statyczne $F_0/k$ , a wychylenie opóźnia się o $90^\circ$ względem siły. Szerokość krzywej rezonansowej (moc spada o połowę) to $\Delta\omega \approx \gamma = \omega_0/Q$ .

Faza mówi, czy siła wykonuje pracę. Daleko poniżej rezonansu ciało porusza się razem z siłą (sprężyna dominuje), daleko powyżej w przeciwfazie (dominuje bezwładność), a w rezonansie siła jest w fazie z prędkością i stale pompuje energię. Rezonans to zjawisko wszechobecne: odbiornik radiowy wybiera stację, ucho rozróżnia wysokość dźwięku, atomy pochłaniają światło o ściśle określonych częstotliwościach, a kładki i mosty czasem tańczą.FLP I-23-4

Zadania · część 4

5 zadań · ok. 40 min

Pokaż ze wzoru na $|\hat x|$ , że w rezonansie ( $\omega = \omega_0$ ) amplituda wynosi $Q\cdot F_0/k$ .

Odpowiedź
$|\hat x| = \tfrac{F_0/m}{\gamma\omega_0} = \tfrac{F_0}{m\omega_0^2}\cdot\tfrac{\omega_0}{\gamma} = \tfrac{F_0}{k}Q$ .
Rezonator 1000 Hz ma dobroć 50. Jaka jest szerokość jego krzywej rezonansowej w hercach?

Odpowiedź
$\Delta f = f_0/Q = 20$ Hz.
Obwód strojenia radia ma cewkę 250 µH. Jaka pojemność dostroi go do 1 MHz?

Odpowiedź
$f_0 = \tfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ , $C = \tfrac{1}{(2\pi f_0)^2L} \approx 101$ pF.
Jaka jest faza wychylenia względem siły daleko poniżej rezonansu, w rezonansie i daleko powyżej? Opisz słowami, co wtedy robi ciało.

Odpowiedź
$0$ : ciało podąża za siłą jak przy rozciąganiu sprężyny. $-90^\circ$ : siła w fazie z prędkością, maksymalne pompowanie energii. $-180^\circ$ : ciało porusza się przeciwnie do siły, a amplituda maleje jak $F_0/(m\omega^2)$ , bo przeszkadza bezwładność.
Człowiek stawia ok. 2 kroki na sekundę. Z jaką częstotliwością działa na kładkę siła pionowa, a z jaką boczna? Dlaczego kładka Millennium miała kłopot z drganiami bocznymi o częstotliwości ok. 1 Hz?

Odpowiedź
Pionowo: 2 Hz (każdy krok). Bocznie: 1 Hz, bo środek ciężkości przesuwa się raz w lewo, raz w prawo w ciągu dwóch kroków. Kładka miała boczną częstotliwość własną bliską 1 Hz, a ludzie synchronizowali krok z jej ruchem, więc wymuszenie było rezonansowe i coraz bardziej zgodne w fazie.

5 Układy liniowe, analogie i drgania sprzężone

5.1 Superpozycja

Równanie oscylatora jest liniowe: jeśli $x_1$ jest odpowiedzią na siłę $F_1$ , a $x_2$ na $F_2$ , to $x_1 + x_2$ jest odpowiedzią na $F_1 + F_2$ . Dowolną siłę okresową można rozłożyć na sinusoidy (szereg Fouriera, lekcja 4.2 Szeregi Fouriera), policzyć odpowiedź na każdą osobno i dodać. Tak działa cała teoria obwodów, akustyki i automatyki. Zasada przestaje obowiązywać, gdy układ jest nieliniowy, np. wahadło przy dużych kątach.FLP I-25-1, I-25-2

5.2 Analogie

To samo równanie w różnych układach: $a\ddot q + b\dot q + cq = F(t)$
układ	$q$	bezwładność $a$	opór $b$	sztywność $c$	wymuszenie $F$
masa na sprężynie	wychylenie $x$	masa $m$	$b$ (N·s/m)	$k$	siła
wahadło (małe kąty)	kąt $\theta$	$ml^2$	$\beta l^2$ (opór $-\beta v$ na ciężarek)	$mgl$	moment siły
obwód RLC	ładunek $q$	indukcyjność $L$	opór $R$	$1/C$	SEM $\mathcal E$

Dla obwodu RLC: $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ , $Q = \tfrac1R\sqrt{L/C}$ . W latach 40.–60. XX w. budowano z tego powodu elektroniczne komputery analogowe: drgania konstrukcji modelowano obwodem elektrycznym, w którym parametr zmienia się pokrętłem, a odpowiedź odczytuje woltomierzem, zamiast budować i obciążać model ze stali.FLP I-25-4

5.3 Drgania sprzężone

Dwa jednakowe wahadła połączone słabą sprężyną (przyczepioną do ciężarków) to układ dwóch równań.FLP I-49-4 Ma on dwa mody własne: wahadła kołyszą się zgodnie (sprężyna się nie odkształca, $\omega_1 = \sqrt{g/l}$ ) albo przeciwnie (sprężyna pracuje, $\omega_2 = \sqrt{g/l + 2k/m}$ ). Każdy ruch jest sumą tych dwóch modów (lekcja 2.3 Wartości i wektory własne, wartości własne). Gdy wychylimy tylko jedno wahadło, oba mody są wzbudzone jednakowo, a ich suma daje dudnienia: energia powoli przepływa do drugiego wahadła i z powrotem, z okresem $2\pi/(\omega_2 - \omega_1)$ .

Sprzężenie z drugim oscylatorem może też gasić drgania. Strojony tłumik masowy (ang. TMD) to mała masa na sprężynie, dostrojona do częstotliwości konstrukcji. W pobliżu rezonansu drga ona kilka razy silniej niż konstrukcja, ćwierć okresu za nią (prawie w przeciwfazie do siły wymuszającej), więc ciągnie konstrukcję przeciw sile i odbiera jej energię, a jej własny tłumik zamienia ją w ciepło. Wieżowiec Taipei 101 ma tłumik w postaci kuli o masie ok. 660 t zawieszonej między 87. a 92. piętrem.

Zadania · część 5

5 zadań · ok. 40 min

Obwód LC ma cewkę 0,1 H i kondensator 10 µF. Oblicz częstość kątową i częstotliwość drgań.

Odpowiedź
$\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 1000$ rad/s, $f \approx 159$ Hz.
Do obwodu z zadania 5.1 dodano opornik 10 Ω. Oblicz dobroć.

Odpowiedź
$Q = \tfrac1R\sqrt{L/C} = \tfrac{1}{10}\sqrt{10^4} = 10$ .
Dwa wahadła o długości 1 m połączono sprężyną, dla której $k/m = 0{,}5\ \mathrm{s^{-2}}$ . Oblicz częstości modów i czas, po którym energia przejdzie całkowicie z jednego wahadła do drugiego.

Odpowiedź
$\omega_1 = \sqrt{9{,}81} \approx 3{,}13$ , $\omega_2 = \sqrt{10{,}81} \approx 3{,}29$ rad/s. Pełne przekazanie po $\pi/(\omega_2 - \omega_1) \approx 20$ s.
Wyjaśnij, dlaczego zasada superpozycji nie obowiązuje dla wahadła przy dużych wychyleniach. Co z tego wynika dla okresu?

Odpowiedź
Siła $-mg\sin\theta$ nie jest proporcjonalna do $\theta$ : suma dwóch rozwiązań nie jest rozwiązaniem. Okres zależy wtedy od amplitudy (rośnie: przy $90^\circ$ o ok. 18%, dział 2).
Oscylator o częstotliwości 3 Hz i dużej dobroci popychamy symetryczną falą prostokątną (siła na przemian $+F_0$ i $-F_0$ , po pół okresu) o częstotliwości 1 Hz. Czy wpadnie w rezonans? A przy 1,5 Hz?

Wskazówka
Fala prostokątna o częstotliwości $f$ zawiera tylko nieparzyste harmoniczne: $f$ , $3f$ , $5f$ … (lekcja 4.2 Szeregi Fouriera).

Odpowiedź
Przy 1 Hz tak: trzecia harmoniczna ma 3 Hz (z amplitudą 1/3 podstawowej). Przy 1,5 Hz nie: harmoniczne to 1,5; 4,5; 7,5 Hz, a 3 Hz byłoby parzystą harmoniczną, której fala prostokątna nie zawiera. Inaczej jest z krótkimi popchnięciami: ciąg wąskich impulsów zawiera wszystkie harmoniczne, dlatego huśtawkę można rozkołysać, popychając ją co drugi czy co trzeci raz.

6 Metoda i przykłady rozwiązane

Metoda dla drgań

Znajdź równowagę i zapisz siłę (lub moment siły) dla małego wychylenia od niej.
Sprowadź do postaci $a\ddot q + b\dot q + cq = F(t)$ ; odczytaj $\omega_0 = \sqrt{c/a}$ , $\gamma = b/a$ , $Q = \omega_0/\gamma$ .
Drgania swobodne: rodzaj ruchu z porównania $\gamma$ i $2\omega_0$ ; stałe z warunków początkowych.
Wymuszenie sinusoidalne: zapis zespolony, $\hat x = \tfrac{F_0/a}{\omega_0^2 - \omega^2 + i\gamma\omega}$ ; amplituda to moduł, faza to argument.
Wymuszenie dowolne: rozłóż na sinusoidy (Fourier) i dodaj odpowiedzi.
Sprawdzenie: granice $\omega \to 0$ (odpowiedź statyczna $F_0/c$ ) i $\omega \to \infty$ (bezwładność, $F_0/(a\omega^2)$ ), jednostki.

Przykład 6.1 Pionowa sprężyna i ciężar

Ciężarek 0,4 kg zawieszono na sprężynie o sztywności 40 N/m. Odciągnięto go 5 cm poniżej położenia równowagi i puszczono. Opisz ruch.

Równowaga: wydłużenie $mg/k \approx 9{,}8$ cm. Od tego położenia mierzymy $x$ .
$m\ddot x = -k(x + 0{,}098) + mg = -kx$ : ten sam oscylator. $\omega_0 = 10$ rad/s, $T \approx 0{,}63$ s.
$x = 0{,}05\cos10t$ m (w dół dodatnio); $v_\text{max} = 0{,}5$ m/s.

Wynik: drgania o amplitudzie 5 cm i okresie 0,63 s wokół punktu 9,8 cm poniżej końca nienaciągniętej sprężyny.

Sprawdzenie: sprężyna jest cały czas rozciągnięta (od 4,8 do 14,8 cm), więc model liniowy obowiązuje ✓.

Przykład 6.2 Zawieszenie samochodu

Na koło przypada 300 kg, sprężyna ma sztywność 30 kN/m. Jaki amortyzator daje tłumienie 30% krytycznego ( $\zeta = \gamma/2\omega_0 = 0{,}3$ )? Jak samochód wraca po najechaniu na garb?

$\omega_0 = \sqrt{30\,000/300} = 10$ rad/s, $f \approx 1{,}6$ Hz.
$b = 2\zeta\sqrt{km} = 1800$ N·s/m; $Q = 1/(2\zeta) \approx 1{,}7$ .
$\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2} \approx 9{,}5$ rad/s. Pierwszy przelot (po pół okresu): $e^{-\pi\zeta/\sqrt{1 - \zeta^2}} \approx 0{,}37$ ; w każdym pełnym okresie amplituda maleje o czynnik $e^{-2\pi\zeta/\sqrt{1 - \zeta^2}} \approx 0{,}14$ (przybliżenie $e^{-\pi/Q}$ dałoby 0,15; przy tak silnym tłumieniu jest już niedokładne).

Wynik: $b \approx 1800$ N·s/m. Po garbie nadwozie przelatuje raz przez położenie równowagi (o ok. 37% wychylenia), potem jeszcze o ok. 14% i 5%, więc po dwóch wahnięciach praktycznie się uspokaja.

Sprawdzenie: przy $\zeta = 1$ nie byłoby przelotu, ale zawieszenie twardo przenosiłoby nierówności; przy $\zeta \to 0$ samochód kołysałby się jak łódka. Kompromis 0,2–0,4 jest typowy ✓.

Przykład 6.3 Kieliszek i śpiewak

Kieliszek ma częstotliwość własną 900 Hz i dobroć 1000. Śpiewak trafia dokładnie w tę częstotliwość. Ile razy amplituda drgań ścianki przekroczy wychylenie, jakie wywołałoby stałe ciśnienie o tej samej wartości? Jak długo trzeba śpiewać?

W rezonansie amplituda jest $Q = 1000$ razy większa od statycznej.
Amplituda narasta do stanu ustalonego jak $1 - e^{-\gamma t/2}$ ; stała czasowa $2/\gamma = 2Q/\omega_0 \approx 0{,}35$ s.
Po ok. 1 s (trzy stałe czasowe) amplituda osiąga 95% wartości ustalonej.

Wynik: wzmocnienie ok. 1000 razy; trzeba trzymać czysty dźwięk ok. sekundy, z odchyleniem częstotliwości nie większym niż ok. $\pm f_0/2Q \approx \pm0{,}5$ Hz.

Sprawdzenie: w praktyce udaje się to tylko z kryształowym kieliszkiem i bardzo głośnym, czystym tonem (często ze wzmacniaczem). Dźwięk o 5 Hz za wysoki dałby ok. 11 razy mniejszą amplitudę ✓.

Przykład 6.4 Wybór stacji radiowej

Obwód strojenia ma cewkę 200 µH o oporze 5 Ω. Jaką pojemność trzeba ustawić dla stacji 600 kHz? Jaka jest szerokość pasma i czy sąsiednia stacja, odległa o 9 kHz, będzie słyszalna?

$C = \tfrac{1}{(2\pi f_0)^2L} \approx 352$ pF.
$Q = \tfrac1R\sqrt{L/C} \approx 151$ ; $\Delta f = f_0/Q \approx 4$ kHz.
Dla stacji odległej o 9 kHz: $\omega_0^2 - \omega^2 \approx 2\omega_0\Delta\omega$ , a $|\hat x|$ maleje względem szczytu ok. $\sqrt{1 + (2Q\Delta f/f_0)^2} = \sqrt{1 + 4{,}5^2} \approx 4{,}6$ razy.

Wynik: $C \approx 350$ pF, pasmo ok. 4 kHz; sąsiednia stacja jest stłumiona ok. 4,6 razy w amplitudzie (ok. 21 razy w mocy).

Sprawdzenie: to za mało dla dobrego odbioru, dlatego odbiorniki używają kilku obwodów rezonansowych (w superheterodynie: stałe filtry pośredniej częstotliwości) ✓.

Przykład 6.5 Wahadła, które wymieniają się energią

Dwa wahadła o długości 1 m połączono sprężyną tak, że $k/m = 0{,}5\ \mathrm{s^{-2}}$ . Lewe odchylono o $10^\circ$ , prawe stoi. Opisz ruch.

Mody: $\theta_1 = \theta_2$ z $\omega_1 \approx 3{,}132$ ; $\theta_1 = -\theta_2$ z $\omega_2 \approx 3{,}288$ rad/s.
Warunek początkowy to połowa sumy i połowa różnicy modów: $\theta_L = 5^\circ(\cos\omega_1t + \cos\omega_2t)$ , $\theta_P = 5^\circ(\cos\omega_1t - \cos\omega_2t)$ .
Wzory na sumę cosinusów: $\theta_L = 10^\circ\cos\tfrac{\Delta\omega t}{2}\cos\bar\omega t$ , $\theta_P = 10^\circ\sin\tfrac{\Delta\omega t}{2}\sin\bar\omega t$ .

Wynik: po ok. 20 s lewe wahadło stoi, a prawe waha się z amplitudą $10^\circ$ ; po 40 s odwrotnie.

Sprawdzenie: suma energii jest stała, bo $\cos^2 + \sin^2 = 1$ ✓ (przy słabym sprzężeniu, gdy energia sprężyny jest mała).

Przykład 6.6 Tłumik masowy

Kładka ma dobroć 50 w drganiach bocznych. Dodajemy tłumik o masie 2% masy drgającej kładki. Według wzorów Den Hartoga optymalne strojenie to $f_t/f_0 = 1/(1 + \mu)$ , a optymalne tłumienie $\zeta_t = \sqrt{3\mu/(8(1 + \mu)^3)}$ . Oblicz je i oszacuj, ile razy zmaleje największa amplituda.

$\mu = 0{,}02$ : $f_t/f_0 \approx 0{,}980$ , $\zeta_t \approx 0{,}084$ .
Szczyt odpowiedzi z optymalnym tłumikiem: ok. $\sqrt{1 + 2/\mu} \approx 10$ razy wychylenie statyczne.
Bez tłumika: $Q = 50$ razy wychylenie statyczne.

Wynik: tłumik o masie 2% zmniejsza największą amplitudę ok. pięciokrotnie (z tłumieniem własnym konstrukcji prawie sześciokrotnie).

Sprawdzenie: numeryczne rozwiązanie układu dwóch równań bez tłumienia własnego konstrukcji daje szczyt $10{,}07$ ✓; z tłumieniem własnym ( $Q = 50$ ) szczyt spada do ok. 8,7, czyli prawie 6 razy poniżej 50 (symulacja 4). Kładkę Millennium wyposażono w kilkadziesiąt tłumików różnego typu i ponownie otwarto w 2002 r.

7 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„Większa amplituda to dłuższy okres.”: Nie dla oscylatora harmonicznego: okres nie zależy od amplitudy. Wahadło odchyla się od tej reguły dopiero przy dużych kątach.
„W rezonansie amplituda rośnie do nieskończoności.”: Tylko bez tłumienia. Każdy prawdziwy układ ma skończone $Q$ , a amplituda w rezonansie to $Q$ razy odpowiedź statyczna.
„Oscylator wymuszony drga ze swoją częstością.”: Po zgaśnięciu stanu przejściowego drga z częstością siły. Częstość własna decyduje tylko o tym, jak silnie odpowiada.
„Mocniejsze tłumienie zawsze szybciej uspokaja układ.”: Powyżej tłumienia krytycznego powrót do równowagi jest coraz wolniejszy.
„Mikrofalówka grzeje, bo trafia w rezonans cząsteczek wody.”: 2,45 GHz nie jest częstotliwością rezonansową wody (zadanie feynmanowskie 7).
„Żołnierze maszerują po moście nie w nogę, bo most by się zawalił od rezonansu.”: To rozsądna ostrożność, ale nie dlatego, że każdy marsz w nogę jest groźny. Zagrożenie powstaje tylko przy częstotliwości kroku bliskiej częstotliwości własnej i małym tłumieniu, jak w przypadku mostu w Broughton (1831).

8 Zadania feynmanowskie

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

Zadania feynmanowskie

8 zadań · ok. 2 godziny

Zegar w górach. Dokładny zegar wahadłowy przeniesiono z poziomu morza na wysokość 3000 m. O ile spóźni się w ciągu doby?
Rozwiązanie
1. $T \propto 1/\sqrt g$ , a $g \propto 1/r^2$ , więc $T \propto r$ : $\Delta T/T = h/R \approx 4{,}7\cdot10^{-4}$ .
2. Zegar spóźnia się ok. 41 s na dobę. W XVII w. Richer zauważył podobny efekt (zegar spóźniał się w Gujanie), co było jedną z pierwszych wskazówek, że Ziemia jest spłaszczona.
Wahadło w windzie. Jak zmieni się okres wahadła w windzie przyspieszającej w górę z przyspieszeniem $a$ ? A w swobodnie spadającej? Jak zachowa się ciężarek na sprężynie?
Rozwiązanie
1. Wahadło czuje efektywne $g + a$ : okres $2\pi\sqrt{l/(g + a)}$ , krótszy.
2. W swobodnym spadku $g_\text{ef} = 0$ : wahadło nie wraca, okres nieskończony.
3. Sprężyna: okres $2\pi\sqrt{m/k}$ bez zmian w obu przypadkach, zmienia się tylko położenie równowagi.
Huśtawka bez popychania. Dziecko na huśtawce rozkołysuje się samo, kucając i wstając. Z jaką częstotliwością powinno to robić? Dlaczego nie da się w ten sposób zacząć z pozycji spoczynku?
Rozwiązanie
1. Wstawanie w najniższym punkcie (gdzie prędkość i siła naciągu są największe) i kucanie w skrajnych dodaje energię: dwa razy na okres. To rezonans parametryczny: zmienia się parametr (długość wahadła), a nie działa siła zewnętrzna.
2. Z pozycji spoczynku zmiana długości nie wytwarza wychylenia: amplituda rośnie proporcjonalnie do już istniejącej. Potrzebne jest choćby małe zaburzenie.
Kieliszek a tłumienie palcem. Kieliszek dzwoni czysto, gdy uderzysz go łyżeczką. Gdy dotkniesz brzegu palcem, dźwięk natychmiast gaśnie. Oszacuj, jak palec zmienia dobroć, i wyjaśnij, dlaczego dotykając kieliszka trudno go rozbić śpiewem.
Rozwiązanie
1. Bez palca dźwięk trwa ok. sekundy przy 900 Hz: $Q \sim 1000$ . Z palcem gaśnie w kilkanaście milisekund: $Q \sim 10$ .
2. Amplituda w rezonansie jest proporcjonalna do $Q$ , więc palec zmniejsza ją ok. 100 razy. Tłumienie to najskuteczniejsza ochrona przed rezonansem.
Szerokość linii widmowej. Atom sodu pozostaje w stanie wzbudzonym średnio ok. 16 ns, zanim wyśle foton (linia 589 nm). Traktując atom jak tłumiony oscylator, oszacuj szerokość linii w hercach i jej dobroć.
Rozwiązanie
1. Energia maleje jak $e^{-t/\tau}$ , więc $\gamma = 1/\tau$ i $\Delta f = \gamma/2\pi \approx 10$ MHz.
2. $f_0 = c/\lambda \approx 5{,}1\cdot10^{14}$ Hz, więc $Q \approx 5\cdot10^7$ . Kamerton ( $10^3$ ) i kryształ kwarcu ( $10^5$ – $10^6$ ) mają dobroci o kilka rzędów wielkości mniejsze.
3. Związek $\Delta\omega\cdot\tau = 1$ to w mechanice kwantowej zasada nieoznaczoności energii i czasu (dział 17 „Amplitudy prawdopodobieństwa”).
Odpowiedź na pchnięcie. Oscylator ( $\omega_0$ , małe tłumienie) spoczywa. Uderzamy go krótkim impulsem o popędzie $J$ . Opisz ruch. Co się stanie, gdy uderzymy go drugi raz po pół okresie, a co po pełnym okresie?
Rozwiązanie
1. Impuls daje prędkość $J/m$ przy $x = 0$ : $x = \tfrac{J}{m\omega_0}\sin\omega_0t$ (z powolnym zanikiem).
2. Po pół okresie ciało porusza się w przeciwną stronę; drugi impuls je zatrzymuje i ruch ustaje.
3. Po pełnym okresie impulsy się sumują: amplituda dwukrotnie większa. Powtarzane co okres dają rezonans; to samo w wersji ciągłej opisuje wzór z części 4.
Mikrofalówka. Kuchenka mikrofalowa działa na 2,45 GHz. Czy to częstotliwość rezonansowa cząsteczek wody? Dlaczego nie wybrano częstotliwości, przy której woda pochłania najsilniej?
Rozwiązanie
1. Nie. Cząsteczki wody w cieczy obracają się w polu, ale tłumione zderzeniami nie mają ostrego rezonansu w tym zakresie: straty dielektryczne rosną płynnie z częstotliwością i są największe w okolicach 20 GHz (w temperaturze pokojowej). Obrót cząsteczek wody to układ silnie przetłumiony, jak w części 3.
2. Przy najsilniejszym pochłanianiu mikrofale ogrzewałyby tylko cienką warstwę na powierzchni. 2,45 GHz wnika na centymetry, a do tego to pasmo ISM, przeznaczone dla urządzeń przemysłowych, naukowych i medycznych.
Ile razy zadzwoni dzwon. Dzwon kościelny o tonie 300 Hz słychać przez ok. 30 s po uderzeniu, zanim natężenie dźwięku spadnie o 60 dB (milion razy). Oszacuj jego dobroć.
Rozwiązanie
1. Energia maleje $10^6$ razy w 30 s: $e^{-\gamma\cdot30} = 10^{-6}$ , $\gamma = \tfrac{\ln10^6}{30} \approx 0{,}46\ \mathrm{s^{-1}}$ .
2. $Q = \omega_0/\gamma = 2\pi\cdot300/0{,}46 \approx 4100$ . Dzwon wykonuje ok. 9000 drgań, zanim ucichnie.

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Od czego zależy okres ciężarka na sprężynie, a od czego nie?

Od masy i sztywności; nie od amplitudy ani od $g$ .

2 Co oznacza dobroć

Q = 100

Energia maleje $e$ razy po ok. $100/2\pi \approx 16$ okresach; w rezonansie amplituda jest 100 razy większa od statycznej, a krzywa rezonansowa ma szerokość 1% częstotliwości.

3 Jaka jest faza wychylenia w rezonansie?

$-90^\circ$ względem siły: siła jest w fazie z prędkością.

4 Które tłumienie najszybciej przywraca równowagę bez przelotu?

Krytyczne, $\gamma = 2\omega_0$ .

5 Co odpowiada masie w obwodzie RLC?

Indukcyjność $L$ .

6 Dlaczego wolno dodawać odpowiedzi na różne siły?

Bo równanie jest liniowe (zasada superpozycji).

7 Co to jest mod własny?

Ruch, w którym wszystkie części drgają z tą samą częstością i stałym stosunkiem amplitud.

8 Dlaczego tłumik masowy działa najlepiej, gdy jest dostrojony?

W pobliżu rezonansu konstrukcji drga silnie, ok. ćwierć okresu za nią, i przez swoją sprężynę i tłumik odbiera jej energię; poza strojeniem ledwie się porusza.

10 Karta wzorów i co dalej

Drgania swobodne

$\ddot x + \gamma\dot x + \omega_0^2x = 0$ ; $\;\omega_0 = \sqrt{k/m}$ , $\;\gamma = b/m$

wahadło: $\omega_0 = \sqrt{g/l}$ ; $\;$ LC: $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$

$x = Ae^{-\gamma t/2}\cos(\omega_dt + \varphi)$ , $\;\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2/4}$

$Q = \omega_0/\gamma$ ; amplituda na okres $\times e^{-\pi/Q}$ ; krytyczne: $\gamma = 2\omega_0$

energia: $\tfrac12kA^2$ , maleje jak $e^{-\gamma t}$

Wymuszenie i układy

$\hat x = \dfrac{F_0/m}{\omega_0^2 - \omega^2 + i\gamma\omega}$

w rezonansie: $|\hat x| = QF_0/k$ , faza $-90^\circ$ ; $\;\Delta\omega \approx \gamma$

RLC: $Q = \dfrac1R\sqrt{\dfrac LC}$

dwa sprzężone wahadła: $\omega_1 = \sqrt{g/l}$ , $\;\omega_2 = \sqrt{g/l + 2k/m}$

tłumik: $f_t/f_0 = \tfrac{1}{1 + \mu}$ , szczyt $\approx\sqrt{1 + 2/\mu}$

Do przeczytania u Feynmana

Obowiązkowo: rozdz. 21 (oscylator harmoniczny), 23 (rezonans), 24 (stany przejściowe).
Dla chętnych: rozdz. 22 (algebra, w tym $e^{i\theta}$ ), 25 (układy liniowe i analogie elektryczne), 49 (mody drgań).

Następny dział: Układy odniesienia i szczególna teoria względności. Wahadło w windzie pokazało, że to, co mierzymy, zależy od układu odniesienia. Einstein poszedł dalej: zażądał, by prawa fizyki, w tym prędkość światła, były takie same w każdym układzie inercjalnym. Konsekwencje dla czasu, długości i energii okażą się zaskakujące.