17 Amplitudy prawdopodobieństwa · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prolog: jedyna tajemnica

Feynman zaczyna trzeci tom od doświadczenia, które, jak pisze, „jest niemożliwe, absolutnie niemożliwe do wyjaśnienia w jakikolwiek klasyczny sposób i zawiera w sobie sedno mechaniki kwantowej”. Elektrony z działa elektronowego lecą na przesłonę z dwiema szczelinami, a za nią na ekran, który rejestruje pojedyncze trafienia. Każdy elektron przychodzi w całości, w jednym punkcie, jak kulka. A jednak po tysiącach trafień układają się one w prążki, jak fala, która przeszła przez obie szczeliny naraz i zinterferowała sama ze sobą.FLP III-1-1

Feynman (1963) przedstawiał je jako doświadczenie myślowe, nie wiedząc, że Jönsson (1961) wykonał już podobne doświadczenie z elektronami na kilku szczelinach. Dziś robi się to rutynowo: Merli, Missiroli i Pozzi (1974) pokazali powstawanie prążków z pojedynczych elektronów, a Tonomura (1989) nakręcił film, na którym punkty pojedynczych elektronów powoli składają się w prążki. Ten dział nie wyjaśni, „jak to możliwe”; Feynman twierdził, że nikt tego nie wie. Pokaże za to, jak dokładnie przewidywać wynik: za pomocą amplitud.

Pytanie na start. Elektron przechodzi przez jedną ze szczelin czy przez obie? Odpowiedź w części 2, choć nie taka, jakiej się spodziewasz.

1 Fotony i fale materii

Światło jest falą elektromagnetyczną (dział 16 „Indukcja, równania Maxwella i fale elektromagnetyczne”), a mimo to oddaje energię w porcjach. W zjawisku fotoelektrycznym światło wybija elektrony z metalu; ich energia nie zależy od natężenia światła, tylko od częstotliwości, a poniżej pewnej częstotliwości progowej nie ma ich wcale, choćby światło było bardzo silne. Einstein (1905) wyjaśnił to, przyjmując, że światło składa się z fotonów o energii proporcjonalnej do częstotliwości; Millikan (1916) potwierdził pomiarami równanie Einsteina, choć chciał je obalić i długo nie wierzył w fotony.

Prawa · fotony i fale materii

E = hf = \hbar\omega,\qquad p = \frac h\lambda = \hbar k;\qquad \lambda_\text{de Broglie} = \frac hp .

$h = 6{,}626\,070\,15\cdot10^{-34}$ J·s (stała Plancka, wartość dokładna z definicji od 2019 r.), $\hbar = h/2\pi$ . Wygodnie: $hc \approx 1240$ eV·nm, więc foton zielonego światła (530 nm) ma ok. 2,3 eV. De Broglie (1924) zaproponował, że te same wzory obowiązują dla elektronów i każdej innej cząstki.FLP III-2-1

Długość fali elektronu przyspieszonego napięciem 100 V wynosi 0,12 nm, tyle co odstępy między atomami w krysztale. Davisson i Germer (1927) zobaczyli, że elektrony odbite od kryształu niklu tworzą maksima dyfrakcyjne dokładnie tam, gdzie przewiduje wzór de Broglie'a (przykład 17.3). Interferują neutrony, atomy, a od 1999 r. nawet cząsteczki fulerenu C₆₀, złożone z 60 atomów węgla (Arndt, Zeilinger). Piłka tenisowa ma długość fali rzędu $10^{-34}$ m, dlatego jej falowej natury nie zobaczymy nigdy.FLP III-2-3

Zadania · część 1

5 zadań · ok. 30 min

Jaką energię (w eV) mają fotony światła czerwonego (700 nm) i fioletowego (400 nm)?

Odpowiedź
$E = hc/\lambda$ : 1,77 eV i 3,10 eV.
Ile fotonów na sekundę wysyła wskaźnik laserowy o mocy 1 mW i długości fali 650 nm?

Odpowiedź
$P\lambda/hc \approx 3{,}3\cdot10^{15}$ fotonów na sekundę.
Praca wyjścia cezu wynosi 2,1 eV. Jaka jest najdłuższa fala, która wybija z niego elektrony? Jaką energię mają elektrony wybite światłem 400 nm?

Odpowiedź
$\lambda_\text{max} = hc/W \approx 590$ nm (żółte). Dla 400 nm: $3{,}1 - 2{,}1 = 1{,}0$ eV.
Jaka jest długość fali de Broglie'a elektronu o energii 1 eV, neutronu termicznego (2200 m/s) i piłki o masie 0,15 kg lecącej z prędkością 40 m/s?

Odpowiedź
Elektron: $h/\sqrt{2mE} \approx 1{,}23$ nm. Neutron: $h/mv \approx 0{,}18$ nm (dlatego neutrony termiczne nadają się do badania kryształów). Piłka: $\approx 1{,}1\cdot10^{-34}$ m.
Pokaż, że dla nierelatywistycznego elektronu przyspieszonego napięciem $V$ (w woltach) $\lambda \approx 1{,}226/\sqrt V$ nm.

Odpowiedź
$\lambda = h/\sqrt{2meV}$ ; podstawienie stałych daje $1{,}226\cdot10^{-9}\ \mathrm m/\sqrt V$ .

2 Doświadczenie z dwiema szczelinami

Feynman porównuje trzy doświadczenia z tym samym układem: przesłona z dwiema szczelinami, za nią ekran z detektorem.FLP III-1-2, III-1-3, III-1-4

Kule z karabinu przychodzą porcjami. Prawdopodobieństwo trafienia przy obu otwartych szczelinach to suma: $P_{12} = P_1 + P_2$ . Nie ma interferencji.
Fale na wodzie przychodzą w sposób ciągły, z dowolnym natężeniem. Natężenie to kwadrat sumy amplitud: $I_{12} = |h_1 + h_2|^2 = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta$ . Jest interferencja.
Elektrony przychodzą porcjami, jak kule, każdy cały w jednym miejscu. Ale rozkład prawdopodobieństwa ma prążki, jak dla fal: $P_{12} \ne P_1 + P_2$ .

Stąd odpowiedź na pytanie z prologu. Zdanie „każdy elektron przechodzi albo przez szczelinę 1, albo przez 2” prowadzi do $P_{12} = P_1 + P_2$ , bo wtedy elektrony dzielą się na dwie grupy, a prawdopodobieństwa dla rozłącznych grup się dodają. Doświadczenie temu przeczy. Nie wolno więc mówić, że elektron przeszedł jedną ze szczelin, a my tylko nie wiemy którą. Można natomiast sprawdzić, którędy przeszedł, np. oświetlając szczeliny i patrząc, gdzie błyśnie rozproszony foton. Wtedy zawsze widzimy cały elektron przy jednej szczelinie, ale prążki znikają: rozkład staje się sumą $P_1 + P_2$ .FLP III-1-6

Zasady · mechaniki kwantowej (Feynman)

(1) Prawdopodobieństwo zdarzenia to kwadrat modułu liczby zespolonej, amplitudy prawdopodobieństwa: $P = |\varphi|^2$ . (2) Gdy zdarzenie może zajść na kilka sposobów, których nie da się odróżnić, amplitudy się dodaje: $\varphi = \varphi_1 + \varphi_2$ , $P = |\varphi_1 + \varphi_2|^2$ . (3) Gdy da się sprawdzić, który sposób zaszedł (nawet jeśli nikt nie patrzy na wynik), dodaje się prawdopodobieństwa: $P = P_1 + P_2$ .FLP III-1-7

Zadania · część 2

5 zadań · ok. 30 min

W pewnym punkcie ekranu $P_1 = P_2 = p$ . Jakie są największe i najmniejsze możliwe $P_{12}$ dla elektronów? A dla kul?

Odpowiedź
Elektrony: od $0$ (amplitudy przeciwne) do $4p$ (zgodne). Kule: zawsze $2p$ .
Elektrony o energii 100 eV padają na dwie szczeliny odległe o 1 µm. Jaki jest kątowy odstęp prążków? Jak daleko trzeba ustawić ekran, by prążki były odległe o 0,1 mm?

Odpowiedź
$\lambda \approx 0{,}123$ nm, odstęp kątowy $\lambda/d \approx 1{,}2\cdot10^{-4}$ rad. Ekran w odległości ok. 0,8 m.
Gdy podglądamy przy szczelinach, ale tylko co drugi elektron jest „przyłapany”, jaki będzie kontrast prążków (różnica maksimum i minimum przez ich sumę)?

Odpowiedź
Połowa elektronów daje $P_1 + P_2$ , połowa $|\varphi_1 + \varphi_2|^2$ . Przy $P_1 = P_2$ rozkład jest proporcjonalny do $1 + \tfrac12\cos\delta$ : kontrast 0,5.
Jaka jest najdłuższa fala światła, przy której można jeszcze rozróżnić szczeliny odległe o $d$ ? Co się dzieje z prążkami, gdy stopniowo wydłużamy falę światła używanego do podglądania?

Odpowiedź
Rozdzielczość jest rzędu $\lambda$ , więc potrzeba $\lambda \lesssim d$ . Gdy $\lambda$ rośnie powyżej $d$ , coraz częściej nie wiadomo, przy której szczelinie błysnęło, a odrzut fotonu ( $h/\lambda$ ) jest coraz mniejszy: prążki stopniowo wracają.FLP III-1-6
Dlaczego dla kul karabinowych nie widać prążków, choć według mechaniki kwantowej też powinny być? Oszacuj odstęp prążków dla kuli o masie 1 g lecącej z prędkością 100 m/s, szczelin odległych o 1 cm i ekranu w odległości 10 m.

Odpowiedź
$\lambda = h/mv \approx 6{,}6\cdot10^{-33}$ m, odstęp prążków $\lambda L/d \approx 7\cdot10^{-30}$ m. Każdy detektor uśrednia po ogromnej liczbie prążków i widzi gładkie $P_1 + P_2$ .FLP III-1-6

3 Reguły rachunku amplitud

Amplitudę tego, że cząstka wychodząca ze stanu $s$ trafi do stanu $x$ , zapisujemy w notacji Diraca jako $\langle x|s\rangle$ (czytaj od prawej: „z $s$ do $x$ ”). Feynman podaje trzy reguły, które wystarczają do większości rachunków:FLP III-3-1

Reguły · łączenia amplitud

\text{alternatywy: } \langle x|s\rangle = \langle x|s\rangle_\text{przez 1} + \langle x|s\rangle_\text{przez 2};\qquad \text{kolejne etapy: } \langle x|s\rangle_\text{przez 1} = \langle x|1\rangle\langle 1|s\rangle .

Amplitudy nierozróżnialnych dróg się dodaje, amplitudy kolejnych etapów jednej drogi mnoży. Dla dwóch niezależnych cząstek amplituda zdarzenia złożonego to iloczyn amplitud. Prawdopodobieństwo to $|\langle x|s\rangle|^2$ .

Amplitudy są liczbami zespolonymi (lekcja 1.7 Liczby zespolone i fazory): mają długość i fazę. Feynman w popularnej książce QED rysuje je jako strzałki: dodawanie amplitud to dodawanie strzałek, mnożenie to obracanie i skracanie. Dla cząstki swobodnej o pędzie $\vec p$ i energii $E$ amplituda przelotu z punktu do punktu ma fazę $(\vec p\cdot\vec r - Et)/\hbar$ : im dłuższa droga w jednostkach długości fali, tym bardziej obrócona strzałka. To ta sama faza, co w fali o liczbie falowej $k = p/\hbar$ i częstości $\omega = E/\hbar$ .FLP III-3-1

Ten obraz tłumaczy optykę geometryczną. Foton biegnący od źródła przez lustro do detektora może odbić się w każdym punkcie lustra. Wszystkie drogi są nierozróżnialne, więc trzeba dodać ich strzałki. Tam, gdzie czas przelotu szybko zmienia się z położeniem punktu odbicia, kolejne strzałki obracają się i wzajemnie znoszą; tam, gdzie czas jest stacjonarny (minimalny), strzałki są prawie zgodne i dają całą wypadkową. Stąd zasada Fermata i prawo odbicia (dział 12 „Optyka: zasada najmniejszego czasu, interferencja, dyfrakcja”). Usuwając część lustra, można jednak sprawić, że strzałki z brzegów przestaną się znosić: to siatka dyfrakcyjna.FLP I-26-6

Zadania · część 3

5 zadań · ok. 35 min

Dwie amplitudy mają długości 0,6 i 0,8. Jakie prawdopodobieństwo daje ich suma, gdy są zgodne, przeciwne i prostopadłe?

Odpowiedź
Zgodne: $1{,}4^2 = 1{,}96$ ; przeciwne: $0{,}2^2 = 0{,}04$ ; prostopadłe: $0{,}36 + 0{,}64 = 1$ . (Wartości ponad 1 oznaczają, że to nie są amplitudy całego zdarzenia, tylko jego składniki w jakimś punkcie.)
Płytka światłodzieląca przepuszcza foton z amplitudą $1/\sqrt2$ i odbija z amplitudą $i/\sqrt2$ . Jaka jest amplituda, że foton przejdzie przez dwie takie płytki ustawione kolejno (bez odbicia)? A że odbije się od obu?

Odpowiedź
Etapy się mnoży: $(1/\sqrt2)^2 = 1/2$ ; $(i/\sqrt2)^2 = -1/2$ . Prawdopodobieństwa po $1/4$ .
Atom może wysłać foton do detektora drogą przez lustro A z amplitudą $a$ i drogą przez lustro B z amplitudą $b$ . Gdy lustro B drga i jego położenie się zmienia, faza $b$ zmienia się chaotycznie. Jakie średnie prawdopodobieństwo zmierzymy?

Odpowiedź
$|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2\,\mathrm{Re}(a\bar b)$ ; człon interferencyjny uśrednia się do zera: $|a|^2 + |b|^2$ . Tak traci się koherencję bez „patrzenia”.
Wyjaśnij za pomocą strzałek, dlaczego światło odbija się od lustra pod kątem równym kątowi padania.

Odpowiedź
Faza strzałki jest proporcjonalna do długości drogi; długość drogi jest stacjonarna (minimalna) dla punktu, w którym kąty są równe. W jego otoczeniu strzałki są prawie zgodne, a dalej obracają się coraz szybciej i znoszą.
Amplituda przelotu cząstki swobodnej na odległość $r$ ma fazę $pr/\hbar$ . Dla elektronu 100 eV o ile musi zmienić się długość drogi, żeby strzałka obróciła się o pełny obrót?

Odpowiedź
Faza zmienia się o $2\pi$ , gdy $\Delta r = h/p = \lambda \approx 0{,}12$ nm.

4 Zasada nieoznaczoności

Cząstka o określonym pędzie ma amplitudę $e^{ipx/\hbar}$ : falę rozciągniętą na całą przestrzeń, bez określonego położenia. Żeby cząstka była zlokalizowana, trzeba złożyć wiele takich fal o różnych pędach w paczkę falową. Funkcja falowa w położeniu i rozkład amplitud pędu to para transformat Fouriera (lekcja 4.3 Transformata Fouriera i delta Diraca): im węższa paczka w $x$ , tym szerszy rozkład w $p$ .FLP III-2-2

Zasada · nieoznaczoności Heisenberga

\Delta x\,\Delta p_x \ge \frac\hbar2,\qquad \Delta E\,\Delta t \gtrsim \frac\hbar2 .

$\Delta$ to odchylenia standardowe; równość osiąga paczka gaussowska w chwili, gdy jest najwęższa (np. dla $t = 0$ w symulacji 3). Druga nierówność ma inny status (czas nie jest obserwablą, tylko parametrem), ale ma prosty sens: stan żyjący przez czas $\tau$ ma energię rozmytą o ok. $\hbar/\tau$ (dział 6 „Drgania, rezonans i układy liniowe”: $\Delta\omega\cdot\tau \approx 1$ ).FLP III-1-8

To nie jest ograniczenie przyrządów, tylko własność fal: dźwięk trwający milisekundę nie ma określonej częstotliwości, a elektron zamknięty w obszarze o rozmiarze $a$ nie ma określonego pędu. Feynman wyprowadza z tego rozmiar atomu. Elektron w odległości ok. $a$ od protonu ma pęd rzędu $\hbar/a$ , więc energię kinetyczną rzędu $\hbar^2/2ma^2$ ; energia potencjalna to $-e^2/4\pi\varepsilon_0a$ . Gdy elektron zbliża się do jądra, potencjalna maleje, ale kinetyczna rośnie szybciej. Minimum sumy wypada przy promieniu Bohra $a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/me^2 = 0{,}53\cdot10^{-10}$ m, a energia wynosi $-13{,}6$ eV (przykład 17.5). Zasada nieoznaczoności wyjaśnia więc, dlaczego atom nie zapada się tak, jak przewiduje fizyka klasyczna (dział 16 „Indukcja, równania Maxwella i fale elektromagnetyczne”).FLP III-2-4

Zadania · część 4

5 zadań · ok. 35 min

Elektron jest zamknięty w obszarze o rozmiarze 0,1 nm. Jaka jest minimalna nieokreśloność pędu i odpowiadająca jej energia kinetyczna (w eV)?

Odpowiedź
$\Delta p \ge \hbar/2\Delta x \approx 5{,}3\cdot10^{-25}$ kg·m/s; $\Delta p^2/2m \approx 1$ eV. Typowe energie elektronów w atomach są tego rzędu.
Piłka o masie 0,15 kg ma prędkość określoną z dokładnością 1 mm/s. Jak dokładnie może być określone jej położenie?

Odpowiedź
$\Delta x \ge \hbar/(2m\Delta v) \approx 3{,}5\cdot10^{-31}$ m, nieskończenie lepiej, niż da się zmierzyć.
Wyprowadź promień Bohra: zminimalizuj $E(a) = \hbar^2/2ma^2 - e^2/4\pi\varepsilon_0a$ .

Odpowiedź
$dE/da = -\hbar^2/ma^3 + e^2/4\pi\varepsilon_0a^2 = 0$ daje $a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/me^2$ ; podstawienie: $E = -me^4/[2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2] \approx -13{,}6$ eV. To, że wynik jest dokładny, jest po części szczęśliwym trafem: oszacowanie gwarantuje tylko rząd wielkości.
Stan wzbudzony atomu sodu żyje ok. 16 ns. Jaka jest naturalna szerokość linii (w MHz) i jej względna szerokość dla żółtej linii 589 nm?

Odpowiedź
$\Delta f \approx 1/(2\pi\tau) \approx 10$ MHz; $f = c/\lambda \approx 5{,}1\cdot10^{14}$ Hz, względnie ok. $2\cdot10^{-8}$ .
Paczka gaussowska o szerokości $\Delta x_0$ rozmywa się tak, że $\Delta x(t) = \Delta x_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m\Delta x_0^2)^2}$ . Po jakim czasie podwoi szerokość paczka elektronu o $\Delta x_0 = 0{,}1$ nm? A paczka ziarnka pyłu o masie $10^{-15}$ kg i $\Delta x_0 = 1$ µm?

Odpowiedź
Gdy $\hbar t/2m\Delta x_0^2 = \sqrt3$ : $t = 2\sqrt3\,m\Delta x_0^2/\hbar$ . Elektron: ok. $3\cdot10^{-16}$ s. Ziarnko: ok. $3\cdot10^7$ s, mniej więcej rok.

5 Cząstki identyczne: bozony i fermiony

Dwie cząstki zderzają się, a detektor pod kątem $\theta$ rejestruje jedną z nich. Jeśli cząstki są różne, np. cząstka α i jądro tlenu, da się sprawdzić, którą złapaliśmy, więc dodajemy prawdopodobieństwa: $|f(\theta)|^2 + |f(\pi - \theta)|^2$ (złapana mogła być α albo jądro tlenu, odrzucone w przeciwnym kierunku). Jeśli cząstki są identyczne, np. dwie cząstki α, obu możliwości nie da się odróżnić nawet w zasadzie, więc trzeba dodać amplitudy.FLP III-3-4

Zasada · cząstki identyczne

P_\text{bozony} = |f(\theta) + f(\pi - \theta)|^2,\qquad P_\text{fermiony} = |f(\theta) - f(\pi - \theta)|^2 .

Przy zamianie dwóch identycznych cząstek amplituda bozonów (spin całkowity: fotony, cząstki α, mezony π) się nie zmienia, a fermionów (spin połówkowy: elektrony, protony, neutrony) zmienia znak. Dla fermionów o przeciwnych spinach, które da się w zasadzie odróżnić po spinie, interferencji nie ma (o ile oddziaływanie nie zmienia spinów).FLP III-4-1

Przy $\theta = 90°$ obie amplitudy są równe. Dla bozonów wychodzi $|2f|^2$ , dwa razy więcej niż dla cząstek rozróżnialnych ( $2|f|^2$ ); dla fermionów o zgodnych spinach zero. Doświadczenia z rozpraszaniem cząstek α na helu i protonów na wodorze potwierdzają to w szczegółach (wzór Motta, 1930).

Skutki sięgają daleko. Bozony „lubią” być w tym samym stanie: prawdopodobieństwo, że foton zostanie wyemitowany do stanu, w którym jest już $n$ fotonów, jest $n + 1$ razy większe niż do pustego. Na tym działa laser (emisja wymuszona), nadciekłość helu i kondensat Bosego-Einsteina. Dwa fermiony nie mogą być w tym samym stanie, bo amplituda $\varphi - \varphi = 0$ : to zakaz Pauliego. Z niego wynika budowa powłok elektronowych i układ okresowy (dział 19 „Atom wodoru i układ okresowy”), a także to, że materia jest sztywna i nie zapada się.FLP III-4-4, III-4-7

Zadania · część 5

5 zadań · ok. 35 min

Które z cząstek są bozonami, a które fermionami: foton, elektron, proton, cząstka α (2 protony + 2 neutrony), atom ⁴He, atom ³He?

Odpowiedź
Bozony: foton, α, ⁴He (parzysta liczba fermionów). Fermiony: elektron, proton, ³He (nieparzysta liczba: 2 protony, 1 neutron, 2 elektrony). Dlatego ⁴He staje się nadciekły w 2,2 K, a ³He dopiero w milikelwinach.
Przy jakim kącie rozproszenia (w układzie środka masy) prawdopodobieństwo dla dwóch fermionów o zgodnych spinach jest zawsze zerowe? Dlaczego?

Odpowiedź
Przy 90°: $f(\theta) = f(\pi - \theta)$ , więc $f - f = 0$ .
Wiązka niespolaryzowanych protonów rozprasza się na protonach. Pokaż, że przy 90° prawdopodobieństwo wynosi połowę wyniku dla cząstek rozróżnialnych.

Odpowiedź
W 1/4 przypadków para ma stan singletowy (amplituda przestrzenna symetryczna: $|2f|^2 = 4|f|^2$ ), w 3/4 tripletowy (antysymetryczna: 0). Średnio $|f|^2$ , a rozróżnialne dają $2|f|^2$ .
Atom może wysłać foton do pustego modu albo do modu, w którym jest już 1000 fotonów. Ile razy większe jest prawdopodobieństwo w drugim przypadku? Do czego to prowadzi w laserze?

Odpowiedź
$n + 1 = 1001$ razy. Fotony „ciągną” kolejne do tego samego stanu: powstaje silna, spójna wiązka w jednym modzie.FLP III-4-4
Dwa identyczne bozony trafiają z dwóch stron na płytkę światłodzielącą 50/50 (efekt Hong-Ou-Mandela). Pokaż, że nigdy nie wychodzą różnymi wyjściami. Wskazówka: amplituda przejścia $1/\sqrt2$ , odbicia $i/\sqrt2$ .

Odpowiedź
Różne wyjścia osiąga się na dwa nierozróżnialne sposoby: oba przechodzą ( $\tfrac1{\sqrt2}\cdot\tfrac1{\sqrt2} = \tfrac12$ ) albo oba się odbijają ( $\tfrac i{\sqrt2}\cdot\tfrac i{\sqrt2} = -\tfrac12$ ). Dla bozonów amplitudy się dodaje: $\tfrac12 - \tfrac12 = 0$ . Fotony zawsze wychodzą razem.

6 Metoda i przykłady rozwiązane

Metoda dla amplitud

Wypisz drogi od stanu początkowego do końcowego; sprawdź, które są rozróżnialne (choćby w zasadzie).
Dla każdej drogi pomnóż amplitudy kolejnych etapów.
Nierozróżnialne drogi: dodaj amplitudy, potem weź kwadrat modułu. Rozróżnialne: dodaj prawdopodobieństwa.
Cząstki identyczne: dodaj amplitudę zamiany ze znakiem + (bozony) lub − (fermiony).
Oszacowania: $p \approx \hbar/\Delta x$ , $E \approx \hbar/\tau$ , $\lambda = h/p$ ; $hc \approx 1240$ eV·nm.
Sprawdzenie: suma prawdopodobieństw wszystkich wyników to 1.

Przykład 17.1 Ile fotonów daje światło?

Ile fotonów na sekundę pada na metr kwadratowy nad atmosferą (1361 W/m², na powierzchni Ziemi ok. 1000 W/m²; średnia energia fotonu ok. 1,5 eV)? A ile na źrenicę oka (średnica 3 mm) z żarówki 60 W odległej o 100 m, przyjmując, że 3 W wypromieniowuje jako światło widzialne o średniej energii fotonu 2 eV?

Słońce: $1361/(1{,}5\cdot1{,}6\cdot10^{-19}) \approx 5{,}7\cdot10^{21}$ fotonów/(m²·s).
Żarówka: $3/(2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}) \approx 9\cdot10^{18}$ fotonów/s; na źrenicę o polu $7\cdot10^{-6}$ m² w odległości 100 m: $9\cdot10^{18}\cdot7\cdot10^{-6}/(4\pi\cdot10^4) \approx 5\cdot10^8$ fotonów/s.

Wynik: ogromne liczby. Ziarnistość światła widać dopiero przy bardzo słabych źródłach i czułych detektorach.

Sprawdzenie: oko widzi błysk złożony z ok. 10 fotonów, więc żarówkę dostrzegłoby z odległości wielu kilometrów, gdyby nie tło i rozpraszanie ✓.

Przykład 17.2 Zjawisko fotoelektryczne

Na cez (praca wyjścia 2,1 eV) pada światło o długości 400 nm. Jaka jest maksymalna energia wybitych elektronów i jakie napięcie je zatrzyma? Co się zmieni, gdy natężenie światła wzrośnie dwukrotnie?

Energia fotonu $hc/\lambda = 1240/400 \approx 3{,}1$ eV; $E_k = 3{,}1 - 2{,}1 = 1{,}0$ eV.
Napięcie hamujące 1,0 V. Przy dwa razy silniejszym świetle: dwa razy więcej elektronów, ale z tą samą energią.

Wynik: 1,0 eV i 1,0 V. Energia elektronów zależy od częstotliwości, a nie od natężenia, czego nie da się wyjaśnić falą klasyczną.

Sprawdzenie: nachylenie zależności napięcia hamującego od częstotliwości to $h/e$ ; tak Millikan zmierzył $h$ ✓.

Przykład 17.3 Doświadczenie Davissona i Germera

Elektrony o energii 54 eV odbijają się od powierzchni kryształu niklu, w którym odstęp rzędów atomów wynosi $d = 0{,}215$ nm. Wiązka pada prostopadle do powierzchni. Pod jakim kątem do normalnej (czyli do wiązki padającej, mierzonym wstecz) wystąpi maksimum pierwszego rzędu?

$\lambda = h/\sqrt{2mE} \approx 0{,}167$ nm.
Atomy powierzchni działają jak siatka dyfrakcyjna: $d\sin\theta = \lambda$ , $\sin\theta \approx 0{,}776$ , $\theta \approx 51°$ .

Wynik: ok. 51°; Davisson i Germer zmierzyli 50°. Elektrony uginają się jak fale o długości $h/p$ .

Sprawdzenie: $\lambda < d$ , więc maksimum pierwszego rzędu istnieje ✓.

Przykład 17.4 Mikroskop elektronowy

Mikroskop elektronowy przyspiesza elektrony napięciem 100 kV. Jaka jest ich długość fali? Ile wynosi błąd, jeśli pominąć teorię względności?

Relatywistycznie: $pc = \sqrt{E_k^2 + 2E_kmc^2} = \sqrt{100^2 + 2\cdot100\cdot511}$ keV $\approx 335$ keV; $\lambda = hc/pc = 1240\ \text{eV·nm}/335\ \text{keV} \approx 3{,}7$ pm.
Nierelatywistycznie $\lambda = h/\sqrt{2mE_k} \approx 3{,}9$ pm, błąd ok. 5%.

Wynik: 3,7 pm, sto tysięcy razy mniej niż światło widzialne. Rozdzielczość ogranicza nie długość fali, tylko wady soczewek magnetycznych; najlepsze mikroskopy rozróżniają ułamki angstremów.

Sprawdzenie: $E_k/mc^2 \approx 0{,}2$ , więc poprawka rzędu kilku procent jest rozsądna ✓.

Przykład 17.5 Rozmiar atomu wodoru z zasady nieoznaczoności

Oszacuj rozmiar i energię atomu wodoru, przyjmując, że elektron w odległości $a$ od protonu ma pęd $\hbar/a$ .

$E(a) = \hbar^2/2ma^2 - e^2/4\pi\varepsilon_0a$ ; minimum przy $a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/me^2 \approx 0{,}53\cdot10^{-10}$ m.
$E(a_0) = -e^2/(8\pi\varepsilon_0a_0) \approx -13{,}6$ eV.

Wynik: 0,53 Å i −13,6 eV. Atom ma taki rozmiar, bo dalsze ściśnięcie elektronu kosztowałoby więcej energii kinetycznej, niż dałoby energii potencjalnej.

Sprawdzenie: z doświadczenia energia jonizacji wodoru to 13,6 eV ✓ (dokładna zgodność to po części przypadek oszacowania).FLP III-2-4

Przykład 17.6 Dlaczego w jądrze nie ma elektronów

Kiedyś sądzono, że jądro zawiera protony i elektrony. Oszacuj energię elektronu zamkniętego w obszarze $10^{-14}$ m i porównaj z energiami wiązania w jądrach (kilka MeV na nukleon) oraz z energią protonu w tym samym obszarze.

$p \approx \hbar/\Delta x \approx 1{,}05\cdot10^{-20}$ kg·m/s, $pc \approx 20$ MeV: elektron jest ultrarelatywistyczny, $E \approx pc \approx 20$ MeV.
Proton: $p^2/2m \approx 0{,}2$ MeV, mało w porównaniu z energią wiązania.

Wynik: elektronu nie da się utrzymać w jądrze siłami elektrycznymi (ok. 1 MeV), a ciężkie nukleony mieszczą się tam bez trudu. Elektrony z rozpadu β powstają w chwili rozpadu, a nie siedzą wcześniej w jądrze.

Sprawdzenie: energie elektronów z rozpadu β to rzeczywiście rząd MeV ✓.

7 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„Elektron przechodzi przez jedną szczelinę, tylko nie wiemy przez którą.”: Wtedy rozkład byłby sumą $P_1 + P_2$ , bez prążków. Doświadczenie temu przeczy.
„Zasada nieoznaczoności wynika z niedoskonałości przyrządów.”: Wynika z tego, że stan opisuje fala: paczka nie może być jednocześnie wąska w położeniu i w pędzie, tak jak krótki dźwięk nie ma określonej wysokości.
„Funkcja falowa to rozmazany elektron.”: Detektor zawsze rejestruje cały elektron w jednym miejscu. Kwadrat modułu funkcji falowej to gęstość prawdopodobieństwa, gdzie to nastąpi.
„Mechanika kwantowa dotyczy tylko mikroświata.”: Bez niej nie da się wyjaśnić, dlaczego stół jest twardy, metal przewodzi, dioda świeci, a laser daje spójną wiązkę.
„Foton to kulka światła lecąca po określonym torze.”: Między źródłem a detektorem nie ma toru: są amplitudy dla wszystkich dróg, które się sumuje.
„Interferencja to oddziaływanie między elektronami.”: Prążki powstają także wtedy, gdy w aparaturze jest naraz tylko jeden elektron. Każdy interferuje sam ze sobą.

8 Zadania feynmanowskie

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

Zadania feynmanowskie

8 zadań · ok. 2 godziny

Jeden foton naraz. W 1909 r. G. I. Taylor fotografował prążki dyfrakcyjne w bardzo słabym świetle, naświetlając kliszę przez miesiące. Przyjmij, że do aparatu docierało $10^6$ fotonów na sekundę. Jaka była średnia odległość między kolejnymi fotonami? Czy prążki mogły powstać z „oddziaływania fotonów”?
Rozwiązanie
1. Odległość $c/10^6 \approx 300$ m, a aparat miał długość rzędu metra: niemal zawsze był w nim co najwyżej jeden foton.
2. Prążki były takie same jak w silnym świetle. Każdy foton interferuje sam ze sobą; amplitudy dotyczą jednej cząstki.
Mikroskop Heisenberga. Elektron oglądamy w mikroskopie przy świetle o długości $\lambda$ , przez obiektyw o kącie aperturowym $\theta$ . Oszacuj nieokreśloność położenia i pędu po rozproszeniu jednego fotonu.
Rozwiązanie
1. Rozdzielczość mikroskopu: $\Delta x \approx \lambda/\sin\theta$ .
2. Foton wpada do obiektywu pod nieznanym kątem w zakresie $\pm\theta$ , więc poprzeczny pęd przekazany elektronowi jest nieznany o $\Delta p \approx (h/\lambda)\sin\theta$ . Iloczyn $\approx h$ , niezależnie od $\lambda$ i $\theta$ .FLP III-1-8
Interferometr Macha-Zehndera. Foton trafia na płytkę 50/50, potem dwie drogi o równej długości spotykają się na drugiej płytce 50/50 przed dwoma detektorami. Amplituda przejścia przez płytkę to $1/\sqrt2$ , odbicia $i/\sqrt2$ . Do którego detektora trafia foton? Co się stanie, gdy zasłonimy jedną drogę?
Rozwiązanie
1. Do detektora A (wyjście równoległe do wiązki wejściowej) prowadzą: przejście–odbicie i odbicie–przejście, każda z amplitudą $i/2$ : suma $i$ , prawdopodobieństwo 1. Do drugiego: przejście–przejście ( $1/2$ ) i odbicie–odbicie ( $-1/2$ ): suma 0.
2. Po zasłonięciu jednej drogi zostaje po jednej amplitudzie do każdego detektora: po 1/4, a w połowie przypadków foton jest pochłonięty przez zasłonę. Zasłonięcie drogi sprawia, że foton czasem trafia do detektora, do którego wcześniej nie trafiał nigdy.
Energia drgań zerowych. Oscylator harmoniczny o masie $m$ i częstości $\omega$ ma energię $p^2/2m + m\omega^2x^2/2$ . Korzystając z $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ , znajdź najmniejszą możliwą energię. Dlaczego hel nie krzepnie pod ciśnieniem atmosferycznym nawet w zerze bezwzględnym?
Rozwiązanie
1. $E \ge \hbar^2/(8m\Delta x^2) + m\omega^2\Delta x^2/2$ ; minimum przy $\Delta x^2 = \hbar/2m\omega$ daje $E = \tfrac12\hbar\omega$ , dokładnie wynik mechaniki kwantowej (ta sama metoda co dla atomu).FLP III-2-4
2. Atomy helu są lekkie, a siły między nimi słabe: energia drgań zerowych jest większa niż głębokość dołka potencjału w krysztale, więc hel zostaje cieczą.
Rezonans Δ. Cząstka Δ(1232) widziana jest jako maksimum w rozpraszaniu pionów na protonach o szerokości ok. 117 MeV. Jaki jest jej czas życia? Ile czasu potrzebuje światło, by przelecieć przez proton (średnica ok. 1,7 fm)?
Rozwiązanie
1. $\tau \approx \hbar/\Gamma = 6{,}58\cdot10^{-22}\ \text{MeV·s}/117\ \text{MeV} \approx 5{,}6\cdot10^{-24}$ s.
2. Światło przelatuje przez proton w ok. $6\cdot10^{-24}$ s: cząstka Δ żyje mniej więcej tyle, ile światło potrzebuje na przelot przez proton. Takich cząstek nie widać jako śladów w detektorze, tylko jako maksima w prawdopodobieństwie rozpraszania.
Dlaczego stół jest twardy? Atomy to głównie pusta przestrzeń. Dlaczego ręka nie przenika przez stół? Wyjaśnij rolę zakazu Pauliego i zasady nieoznaczoności.
Rozwiązanie
1. Zbliżenie dwóch atomów wymagałoby upchnięcia ich elektronów w mniejszym obszarze. Zakaz Pauliego nie pozwala im zająć tych samych stanów, więc muszą przejść do stanów o krótszej długości fali, czyli większym pędzie.
2. Zasada nieoznaczoności każe za to zapłacić energią kinetyczną $\sim\hbar^2/ma^2$ , która szybko rośnie przy ściskaniu. To ta energia (skutek zakazu Pauliego i zasady nieoznaczoności), a nie odpychanie elektryczne (które jest ekranowane), daje twardość materii. Dyson i Lenard (1967) udowodnili, że dzięki zakazowi Pauliego energia wiązania rośnie tylko proporcjonalnie do liczby cząstek, więc materia jest stabilna; Dyson pokazał też, że naładowane bozony takiej stabilności nie mają.FLP III-4-7
Co to znaczy „nie da się odróżnić”? Rozpraszamy cząstki α na ⁴He i mierzymy przy 90°. Ktoś proponuje: „pomalujmy” jedną z cząstek, np. użyjmy ³He zamiast ⁴He. Co się zmieni w wyniku i dlaczego?
Rozwiązanie
1. ⁴He i ³He różnią się masą, więc da się sprawdzić, która cząstka trafiła do detektora (choćby mierząc jej energię). Drogi są rozróżnialne: prawdopodobieństwa się dodaje i znika podwojenie przy 90°.
2. Wystarczy, że rozróżnienie jest możliwe w zasadzie; nie trzeba go wykonywać. Jądro ⁴He z kolei nie ma żadnej cechy, która odróżniałaby egzemplarze.
Fulereny w interferometrze. W 1999 r. cząsteczki C₆₀ (masa 720 u) o prędkości ok. 220 m/s dały prążki na siatce o okresie 100 nm. Jaka jest ich długość fali i odstęp kątowy prążków? Dlaczego ciepłe cząsteczki tracą interferencję, gdy temperatura rośnie powyżej ok. 3000 K?
Rozwiązanie
1. $\lambda = h/mv \approx 2{,}5$ pm, odstęp kątowy $\lambda/d \approx 25$ µrad: przy detektorze odległym o 1,25 m to ok. 31 µm.
2. Gorąca cząsteczka emituje fotony podczerwone; gdy jest ich dużo i mają krótką falę, każdy niesie informację o drodze (reguła 3), więc interferencja zanika (dekoherencja). Tak to zmierzono w 2004 r. dla cząsteczek C₇₀.

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jaką energię ma foton o częstotliwości

f

i jaką długość fali ma cząstka o pędzie

p

$E = hf$ ; $\lambda = h/p$ .

2 Kiedy dodaje się amplitudy, a kiedy prawdopodobieństwa?

Amplitudy, gdy drogi są nierozróżnialne (nawet w zasadzie); prawdopodobieństwa, gdy da się sprawdzić, która zaszła.

3 Co się dzieje z prążkami, gdy sprawdzamy, którą szczeliną przeszedł elektron?

Znikają; rozkład staje się sumą $P_1 + P_2$ .

4 Jak łączy się amplitudy kolejnych etapów jednej drogi?

Mnoży się je: $\langle x|s\rangle = \langle x|1\rangle\langle1|s\rangle$ .

5 Co mówi zasada nieoznaczoności i skąd się bierze?

$\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ ; z tego, że funkcja falowa w położeniu i rozkład amplitud pędu tworzą parę transformat Fouriera.

6 Dlaczego atom ma rozmiar ok. 0,5 Å?

Ściśnięcie elektronu zwiększa jego energię kinetyczną $\sim\hbar^2/ma^2$ szybciej, niż maleje energia potencjalna; minimum przy promieniu Bohra.

7 Czym różnią się bozony od fermionów?

Przy zamianie dwóch identycznych cząstek amplituda bozonów się nie zmienia, a fermionów zmienia znak.

8 Skąd zakaz Pauliego?

Dla dwóch fermionów w tym samym stanie amplituda z zamianą i bez niej się odejmują: wynik zero.

10 Karta wzorów i co dalej

Kwanty i fale

$E = hf = \hbar\omega$ ; $\;p = h/\lambda = \hbar k$ ; $\;hc \approx 1240$ eV·nm; $\;h = 6{,}626\cdot10^{-34}$ J·s

fotoefekt: $E_k = hf - W$ ; $\;$ elektron: $\lambda \approx 1{,}226/\sqrt V$ nm (nierel.)

$\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ ; $\;\Delta E\,\Delta t \gtrsim \hbar/2$ ; $\;a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/me^2$

Amplitudy

$P = |\varphi|^2$ ; $\;$ nierozróżnialne: $\varphi_1 + \varphi_2$ ; $\;$ rozróżnialne: $P_1 + P_2$

kolejne etapy: $\langle x|s\rangle = \sum_i\langle x|i\rangle\langle i|s\rangle$ ; $\;$ cząstka swobodna: faza $(\vec p\cdot\vec r - Et)/\hbar$

identyczne: $f(\theta) \pm f(\pi - \theta)$ (+ bozony, − fermiony); $\;$ emisja do modu z $n$ fotonami: $\times(n + 1)$

Do przeczytania u Feynmana

Obowiązkowo: t. III, rozdz. 1 (zachowanie kwantowe), 2 (fale i cząstki), 3 (amplitudy prawdopodobieństwa).
Dla chętnych: t. III, rozdz. 4 (cząstki identyczne); R. P. Feynman, QED: osobliwa teoria światła i materii (strzałki w wersji popularnej).

Następny dział: Stany kwantowe, układy dwustanowe i spin. Amplitudy tworzą wektory w przestrzeni stanów, a ich zmianę w czasie opisuje macierz, hamiltonian. Najprostszy przypadek, układ z dwoma stanami, wyjaśnia cząsteczkę amoniaku, maser, spin elektronu w polu magnetycznym i rezonans magnetyczny.