Matematyka i fizyka od podstaw
PLEN

Fizyka › IV. Elektromagnetyzm › 16 gotowa · PDF do druku

Zanim zaczniesz Matematyka 4.7 Równania cząstkowe: fali, dyfuzji i Laplace'a15 Prąd i pole magnetyczne

Fizyka Dział 16

Indukcja, równania Maxwella i fale elektromagnetyczne

Zmienne pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne, a zmienne pole elektryczne magnetyczne. Na pierwszym z tych zjawisk opierają się prądnice, transformatory i każda ładowarka indukcyjna; drugie dopisał Maxwell, żeby równania nie przeczyły zachowaniu ładunku. Razem dają cztery równania, z których wynika, że pole może oderwać się od ładunków i biec przez próżnię z prędkością światła. Światło jest falą elektromagnetyczną, a fala niesie energię i pęd.

Czas
ok. 4,5 h teorii + ok. 5 h zadań
Zadania
25 zadań w treści + 8 feynmanowskich, z odpowiedziami
Źródło
Feynmana wykłady z fizyki, t. II, rozdz. 16–18, 20, 21, 27

0 Prolog: prąd, który płynie tylko przez chwilę

Po odkryciu Ørsteda wielu badaczy szukało zjawiska odwrotnego: skoro prąd wytwarza magnetyzm, to może magnes wytworzy prąd? Magnesy kładziono obok zwojów drutu i nic się nie działo. 29 sierpnia 1831 r. Michael Faraday nawinął dwie cewki na żelazny pierścień. Gdy włączał prąd w pierwszej, igła galwanometru podłączonego do drugiej drgnęła i wróciła do zera; przy wyłączaniu drgnęła w przeciwną stronę. Prąd indukował się tylko wtedy, gdy coś się zmieniało. Dwa miesiące później (28 października) Faraday zbudował pierwszą prądnicę: miedzianą tarczę obracającą się między biegunami magnesu.FLP II-16-1

Trzydzieści lat później James Clerk Maxwell zebrał wszystkie znane prawa elektryczności i magnetyzmu w układ równań, zauważył, że jest on sprzeczny z zachowaniem ładunku, i naprawił go jednym wyrazem. Z poprawionych równań wynikały fale biegnące z prędkością 1/μ0ε01/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}. Tę wielkość zmierzyli wcześniej Weber i Kohlrausch (1856), porównując elektrostatyczną i elektromagnetyczną jednostkę ładunku przy rozładowaniu butelki lejdejskiej; wynik, ok. 3,1⋅1083{,}1\cdot10^8 m/s, był bliski zmierzonej prędkości światła. Maxwell napisał (1862), że trudno uniknąć wniosku, iż światło polega na poprzecznych drganiach tego samego ośrodka, który jest przyczyną zjawisk elektrycznych i magnetycznych. Ośrodek okazał się zbędny (część 7), ale wniosek przetrwał: światło jest falą elektromagnetyczną.FLP II-18-5

Pytanie na start. Dlaczego transformator nie działa na prąd stały, a ładowarka indukcyjna telefonu musi pracować z prądem o częstotliwości ponad 100 kHz? Odpowiedź w części 2.

1 Prawo indukcji Faradaya

Strumień pola magnetycznego przez powierzchnię rozpiętą na obwodzie to ΦB=∫B⃗⋅dA⃗\Phi_B = \int\vec B\cdot d\vec A (jednostka: weber, 1 Wb = 1 T·m²). Faraday odkrył, że siła elektromotoryczna w obwodzie zależy tylko od tempa zmian tego strumienia, niezależnie od tego, czy zmienia się on dlatego, że obwód się porusza, czy dlatego, że zmienia się pole.FLP II-17-1

Prawo · indukcji Faradaya

E=∮E⃗⋅ds⃗=−dΦBdt,∇×E⃗=−∂B⃗∂t.\mathcal E = \oint\vec E\cdot d\vec s = -\frac{d\Phi_B}{dt},\qquad \nabla\times\vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t} .

Znak minus to reguła Lenza: indukowany prąd płynie tak, by jego pole magnetyczne przeciwdziałało zmianie strumienia. Gdyby było odwrotnie, każda zmiana by się sama wzmacniała i dostalibyśmy energię z niczego. Dla cewki o NN zwojach E=−N dΦ/dt\mathcal E = -N\,d\Phi/dt.

Za tym jednym prawem stoją dwa różne mechanizmy. Gdy przewód porusza się w stałym polu, na jego elektrony działa siła Lorentza qv⃗×B⃗q\vec v\times\vec B (Dział 15: Prąd i pole magnetyczne): to ona pcha ładunki wzdłuż przewodu. Gdy obwód stoi, a pole się zmienia, siły magnetycznej qv⃗×B⃗q\vec v\times\vec B nie ma (ładunki stoją), a ładunki pcha pole elektryczne wytworzone przez zmienne pole magnetyczne. To pole jest wirowe, nie ma potencjału: jego cyrkulacja nie jest zerowa. Feynman podkreśla, że to, iż oba mechanizmy dają ten sam wzór, jest głęboką wskazówką (wyjaśnia ją teoria względności), a w kilku sytuacjach, np. w tarczy Faradaya, „reguła strumienia” zawodzi i trzeba wrócić do F⃗=q(E⃗+v⃗×B⃗)\vec F = q(\vec E + \vec v\times\vec B).FLP II-17-2

Symulacja 1 Pręt przesuwany po szynach w polu magnetycznym zamyka obwód z opornikiem. Siła elektromotoryczna BLvBLv napędza prąd, a siła BILBIL hamuje pręt. Porównaj moc, którą wkładasz, z mocą cieplną, i zobacz, jak pchnięty pręt zwalnia.

Prądnica: ramka o NN zwojach i polu AA obracana z prędkością kątową ω\omega w polu BB ma strumień NBAcos⁡ωtNBA\cos\omega t, więc siłę elektromotoryczną E=NBAωsin⁡ωt\mathcal E = NBA\omega\sin\omega t: napięcie przemienne. Prawie każda elektrownia (poza fotowoltaiczną), od wodnej po jądrową, kręci w ten sposób magnesami we wnętrzu cewek. Silnik elektryczny to prądnica pracująca odwrotnie; obracający się silnik też wytwarza siłę elektromotoryczną, przeciwną do zasilającej, dlatego przy rozruchu, gdy jeszcze się nie kręci, pobiera największy prąd.FLP II-17-5

Symulacja 2 Przekrój długiego solenoidu, w którym pole BB zmienia się sinusoidalnie (symbole ⊙ i ⊗ w środku). Zmienne B⃗\vec B wytwarza wirowe pole E⃗\vec E: wewnątrz rośnie jak rr, na zewnątrz, gdzie B=0B = 0, maleje jak 1/r1/r. Przeciągnij pętlę: cyrkulacja E⃗\vec E to −dΦB/dt-d\Phi_B/dt przez pętlę, a dla pętli obok solenoidu wynosi zero, chociaż linie E⃗\vec E są zamknięte. Uruchom animację i porównaj kierunek E⃗\vec E z regułą Lenza.

Zadania · część 1

5 zadań · ok. 30 min

  1. Ramka 10 cm × 10 cm leży prostopadle do pola 1 T, które spada do zera w 0,1 s. Jaka średnia siła elektromotoryczna się indukuje?

    Odpowiedź

    ΔΦ=0,01\Delta\Phi = 0{,}01 Wb; E=0,01/0,1=0,1\mathcal E = 0{,}01/0{,}1 = 0{,}1 V.

  2. Magnes zbliża się biegunem N do pierścienia z drutu. W którą stronę płynie indukowany prąd (patrząc od strony magnesu)? Czy pierścień przyciąga, czy odpycha magnes?

    Odpowiedź

    Strumień skierowany od magnesu rośnie, więc prąd wytwarza pole skierowane ku magnesowi: pierścień ma od strony magnesu biegun N, a prąd płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Pierścień odpycha magnes (Lenz).

  3. Samolot o rozpiętości skrzydeł 60 m leci poziomo z prędkością 250 m/s, a pionowa składowa pola Ziemi wynosi 40 µT. Jakie napięcie pojawia się między końcami skrzydeł? Czy da się je wykorzystać do zasilania żarówki?

    Odpowiedź

    BLv=0,6BLv = 0{,}6 V. Nie: przewody łączące żarówkę z końcami skrzydeł poruszają się razem z samolotem i indukuje się w nich ta sama siła elektromotoryczna. W obwodzie zamkniętym, który porusza się w jednorodnym polu bez obrotu, strumień się nie zmienia.

  4. Prądnica ma 100 zwojów o polu 0,01 m² i obraca się 50 razy na sekundę w polu 0,5 T. Jakie jest maksymalne i skuteczne napięcie?

    Odpowiedź

    Emax=NBAω≈157\mathcal E_\text{max} = NBA\omega \approx 157 V; skuteczne Emax/2≈111\mathcal E_\text{max}/\sqrt2 \approx 111 V.

  5. W długiej zwojnicy o promieniu RR pole rośnie w tempie dB/dtdB/dt. Jakie jest indukowane pole elektryczne w odległości rr od osi, wewnątrz i na zewnątrz?

    Odpowiedź

    Z symetrii linie E⃗\vec E to okręgi. Wewnątrz: E⋅2πr=πr2 dB/dtE\cdot2\pi r = \pi r^2\,dB/dt, E=r2 dB/dtE = \tfrac r2\,dB/dt. Na zewnątrz: E=R22r dB/dtE = \tfrac{R^2}{2r}\,dB/dt, choć tam pola magnetycznego prawie nie ma. Na tym działa betatron (zadanie feynmanowskie 3).

2 Indukcyjność, transformator i obwód LC

Prąd w cewce wytwarza strumień proporcjonalny do prądu: NΦ=LIN\Phi = LI. Współczynnik LL to indukcyjność własna (jednostka: henr, 1 H = 1 V·s/A). Gdy prąd się zmienia, cewka wytwarza siłę elektromotoryczną −L dI/dt-L\,dI/dt, przeciwną do zmiany: zachowuje się jak bezwładność prądu. Dla długiej zwojnicy o nn zwojach na metr, przekroju AA i długości ll: L=μ0n2AlL = \mu_0n^2Al. Dwie cewki, przez które przechodzi wspólny strumień, łączy indukcyjność wzajemna MM: zmiana prądu w jednej indukuje napięcie w drugiej.FLP II-17-6, II-17-7

Wzór · energia pola magnetycznego

U=12LI2,uB=B22μ0.U = \frac12LI^2,\qquad u_B = \frac{B^2}{2\mu_0} .

Żeby rozpędzić prąd do wartości II, źródło musi wykonać pracę przeciw sile elektromotorycznej cewki; ta energia siedzi w polu magnetycznym z gęstością B2/2μ0B^2/2\mu_0, odpowiednikiem 12ε0E2\tfrac12\varepsilon_0E^2 z działu 14 „Potencjał, przewodniki i kondensatory”.FLP II-17-8

Transformator to dwie cewki nawinięte na wspólny rdzeń z żelaza, który prowadzi prawie cały strumień przez obie. Każdy zwój obejmuje ten sam zmienny strumień, więc napięcia mają się jak liczby zwojów: V2/V1=N2/N1V_2/V_1 = N_2/N_1. W idealnym transformatorze moc się nie zmienia, więc prądy mają się odwrotnie. Przy prądzie stałym strumień się nie zmienia i transformator nie działa. Ładowarka indukcyjna telefonu nie ma rdzenia łączącego cewki, więc przez cewkę odbiorczą przechodzi tylko część strumienia; żeby mimo to uzyskać wystarczające napięcie przy małych cewkach, strumień musi zmieniać się bardzo szybko, stąd częstotliwości ponad 100 kHz.FLP II-16-2

Zmienny strumień indukuje prądy także w litym metalu: prądy wirowe. Grzeją rdzenie transformatorów (dlatego składa się je z cienkich, izolowanych blach), hamują magnes spadający w miedzianej rurze, a w kuchence indukcyjnej robią z dna garnka grzałkę.FLP II-16-3

2.1 Obwód LC

Naładowany kondensator połączony z cewką rozładowuje się, ale prąd nie może nagle zniknąć: cewka przenosi ładunek dalej i ładuje kondensator odwrotnie. Równanie Lq¨+Rq˙+q/C=0L\ddot q + R\dot q + q/C = 0 to dokładnie równanie oscylatora tłumionego z działu 6 „Drgania, rezonans i układy liniowe”: indukcyjność gra rolę masy, 1/C1/C sztywności sprężyny, a opór tarcia. Częstotliwość drgań f0=1/(2πLC)f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}). Energia przelewa się między polem elektrycznym kondensatora i magnetycznym cewki, jak między energią potencjalną i kinetyczną wahadła. Obwody LC wybierają stację w odbiorniku radiowym i wyznaczają częstotliwość nadajnika.

Symulacja 3 Obwód RLC: kondensator naładowany do 10 V rozładowuje się przez cewkę i opornik. Wykres pokazuje ładunek i prąd, słupki energię pola elektrycznego, magnetycznego i ciepło. Zmień opór i znajdź tłumienie krytyczne.

Zadania · część 2

5 zadań · ok. 35 min

  1. Zwojnica ma 1000 zwojów na metr, przekrój 10 cm² i długość 10 cm. Jaka jest jej indukcyjność i energia przy prądzie 1 A?

    Odpowiedź

    L=μ0n2Al≈1,26⋅10−4L = \mu_0n^2Al \approx 1{,}26\cdot10^{-4} H; U=12LI2≈63U = \tfrac12LI^2 \approx 63 µJ.

  2. Transformator zasilacza obniża 230 V do 12 V przy mocy 1 kW. Jaki jest stosunek liczby zwojów i jakie prądy płyną w uzwojeniach?

    Odpowiedź

    N1/N2≈19N_1/N_2 \approx 19; I1≈4,3I_1 \approx 4{,}3 A, I2≈83I_2 \approx 83 A. Uzwojenie wtórne musi być z grubego drutu.

  3. Jaka jest częstotliwość drgań obwodu z cewką 10 mH i kondensatorem 1 µF? Jaki największy prąd popłynie, jeśli kondensator naładowano do 10 V?

    Odpowiedź

    f0≈1,59f_0 \approx 1{,}59 kHz. Z zasady zachowania energii 12CV2=12LI2\tfrac12CV^2 = \tfrac12LI^2: Imax=VC/L=0,1I_\text{max} = V\sqrt{C/L} = 0{,}1 A.

  4. Odbiornik radiowy ma kondensator 10 pF. Jaka indukcyjność pozwoli odebrać stację na 100 MHz?

    Odpowiedź

    L=1/[(2πf)2C]≈0,25L = 1/[(2\pi f)^2C] \approx 0{,}25 µH, kilka zwojów drutu.

  5. Przez cewkę 1 H płynie prąd 1 A. Wyłącznik przerywa obwód w 1 ms. Jakie napięcie pojawi się na wyłączniku? Co się tam stanie?

    Odpowiedź

    L ΔI/Δt≈1000L\,\Delta I/\Delta t \approx 1000 V: między stykami przeskoczy iskra, w której wydzieli się energia 12LI2=0,5\tfrac12LI^2 = 0{,}5 J. Dlatego cewki przekaźników bocznikuje się diodą. Na tym samym zjawisku działała cewka zapłonowa w samochodach.

3 Równania Maxwella

Weźmy dywergencję prawa Ampère'a w postaci z działu 15 „Prąd i pole magnetyczne”, ∇×B⃗=μ0j⃗\nabla\times\vec B = \mu_0\vec j. Dywergencja rotacji jest zawsze zerowa (lekcja 3.6 Twierdzenia Greena, Stokesa i Gaussa), więc wychodzi ∇⋅j⃗=0\nabla\cdot\vec j = 0. A przecież gdy kondensator się ładuje, prąd wpływa do okładki i nie wypływa: ∇⋅j⃗=−∂ρ/∂t≠0\nabla\cdot\vec j = -\partial\rho/\partial t \ne 0. Maxwell zauważył, że z prawa Gaussa ∂ρ/∂t=ε0∇⋅∂E⃗/∂t\partial\rho/\partial t = \varepsilon_0\nabla\cdot\partial\vec E/\partial t, więc wystarczy do prądu dodać wyraz ε0 ∂E⃗/∂t\varepsilon_0\,\partial\vec E/\partial t, nazwany prądem przesunięcia, by sprzeczność zniknęła. Zmienne pole elektryczne wytwarza pole magnetyczne, tak jak prąd.FLP II-18-2

Prawa · równania Maxwella (w próżni, z ładunkami i prądami)

∇⋅E⃗=ρε0,∇×E⃗=−∂B⃗∂t,∇⋅B⃗=0,∇×B⃗=μ0j⃗+μ0ε0∂E⃗∂t.\nabla\cdot\vec E = \frac\rho{\varepsilon_0},\qquad \nabla\times\vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t},\qquad \nabla\cdot\vec B = 0,\qquad \nabla\times\vec B = \mu_0\vec j + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t} .

Postać całkowa: strumień E⃗\vec E przez zamkniętą powierzchnię to Q/ε0Q/\varepsilon_0; cyrkulacja E⃗\vec E to −dΦB/dt-d\Phi_B/dt; strumień B⃗\vec B przez zamkniętą powierzchnię to zero; cyrkulacja B⃗\vec B to μ0I+μ0ε0 dΦE/dt\mu_0I + \mu_0\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt. Razem z siłą Lorentza F⃗=q(E⃗+v⃗×B⃗)\vec F = q(\vec E + \vec v\times\vec B) opisują całą klasyczną elektrodynamikę.FLP II-18-1

Feynman zestawia w tablicy „całą fizykę klasyczną”: równania Maxwella, zachowanie ładunku, siłę Lorentza, prawo ruchu Newtona w wersji relatywistycznej i grawitację. Wszystko, co do początku XX wieku wiedziano o zjawiskach niekwantowych, mieści się na pół strony.FLP II-18-3

Zadania · część 3

5 zadań · ok. 30 min

  1. Pokaż, że z równań Maxwella wynika równanie ciągłości ∇⋅j⃗=−∂ρ/∂t\nabla\cdot\vec j = -\partial\rho/\partial t.

    Odpowiedź

    Weź dywergencję czwartego równania: 0=μ0∇⋅j⃗+μ0ε0 ∂(∇⋅E⃗)/∂t=μ0(∇⋅j⃗+∂ρ/∂t)0 = \mu_0\nabla\cdot\vec j + \mu_0\varepsilon_0\,\partial(\nabla\cdot\vec E)/\partial t = \mu_0(\nabla\cdot\vec j + \partial\rho/\partial t).

  2. Kondensator z kołowymi okładkami o promieniu RR ładuje się prądem II. Jakie pole magnetyczne jest między okładkami w odległości r<Rr < R od osi?

    Odpowiedź

    Prąd przesunięcia przez koło o promieniu rr to Ir2/R2I r^2/R^2. Pętla Ampère'a: B⋅2πr=μ0Ir2/R2B\cdot2\pi r = \mu_0Ir^2/R^2, B=μ0Ir/(2πR2)B = \mu_0Ir/(2\pi R^2), jak wewnątrz przewodu o promieniu RR.

  3. Które z równań Maxwella mówi, że nie ma ładunków magnetycznych? A które opisuje prądnicę?

    Odpowiedź

    ∇⋅B⃗=0\nabla\cdot\vec B = 0; prądnicę opisuje ∇×E⃗=−∂B⃗/∂t\nabla\times\vec E = -\partial\vec B/\partial t (razem z siłą Lorentza dla ruchomych części).

  4. Gdyby istniały monopole magnetyczne o gęstości ρm\rho_m i prądzie j⃗m\vec j_m, jak należałoby zmienić drugie i trzecie równanie, żeby zachować symetrię i zachowanie „ładunku magnetycznego”?

    Odpowiedź

    ∇⋅B⃗=μ0ρm\nabla\cdot\vec B = \mu_0\rho_m i ∇×E⃗=−∂B⃗/∂t−μ0j⃗m\nabla\times\vec E = -\partial\vec B/\partial t - \mu_0\vec j_m (przy takiej normalizacji ładunku magnetycznego). Dywergencja drugiego daje wtedy równanie ciągłości dla ρm\rho_m. Monopoli dotąd nie znaleziono.

  5. Oszacuj stosunek prądu przesunięcia do prądu przewodzenia w miedzi dla pola zmiennego o częstotliwości 1 GHz (σ=6⋅107\sigma = 6\cdot10^7 S/m).

    Odpowiedź

    ε0ωE/(σE)=ε0ω/σ≈9⋅10−10\varepsilon_0\omega E/(\sigma E) = \varepsilon_0\omega/\sigma \approx 9\cdot10^{-10}. W metalach prąd przesunięcia jest pomijalny aż do częstotliwości optycznych.

4 Fale elektromagnetyczne

W pustej przestrzeni (ρ=0\rho = 0, j⃗=0\vec j = 0) równania Maxwella są niemal symetryczne (różnią się znakiem): zmienne B⃗\vec B wytwarza wirowe E⃗\vec E, a zmienne E⃗\vec E wirowe B⃗\vec B. Biorąc rotację drugiego równania i podstawiając czwarte (z tożsamością ∇×∇×E⃗=∇(∇⋅E⃗)−∇2E⃗\nabla\times\nabla\times\vec E = \nabla(\nabla\cdot\vec E) - \nabla^2\vec E), dostajemy równanie falowe (lekcja 4.7 Równania cząstkowe: fali, dyfuzji i Laplace'a):FLP II-18-6

Wynik · równanie falowe dla pola

∇2E⃗=μ0ε0∂2E⃗∂t2,c=1μ0ε0=299 792 458 m/s.\nabla^2\vec E = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2},\qquad c = \frac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = 299\,792\,458\ \mathrm{m/s} .

To samo równanie spełnia B⃗\vec B. Fala płaska biegnąca wzdłuż xx: E⃗\vec E i B⃗\vec B są prostopadłe do xx i do siebie, drgają w zgodnej fazie, a E=cBE = cB. Fala jest poprzeczna: wynika to z ∇⋅E⃗=0\nabla\cdot\vec E = 0 i ∇⋅B⃗=0\nabla\cdot\vec B = 0.FLP II-20-1

Symulacja 4 Równania Maxwella rozwiązywane krok po kroku na siatce wzdłuż osi xx (pole EyE_y pionowo, BzB_z poziomo, przeskalowane przez vv). Nic tu nie zakłada istnienia fali: program w każdym punkcie stosuje tylko prawo Faradaya ∂tBz=−∂xEy\partial_tB_z = -\partial_xE_y i prawo Ampère'a–Maxwella ∂tEy=−1εμ∂xBz\partial_tE_y = -\tfrac{1}{\varepsilon\mu}\partial_xB_z. Zielone pętle i strzałki pokazują oba prawa w wybranym punkcie. Zmień εr\varepsilon_r i μr\mu_r i porównaj zmierzoną prędkość z 1/εμ1/\sqrt{\varepsilon\mu}. Wyłącz prąd przesunięcia i zobacz, że fala znika. Przeciągnij rysunek, żeby go obrócić.

Ważne jest, że w tym wyniku nie ma żadnego ośrodka. Fala dźwiękowa to drgania powietrza; fala elektromagnetyczna to drgania samego pola, które podtrzymuje się samo: zmiana E⃗\vec E wytwarza B⃗\vec B, zmiana B⃗\vec B wytwarza E⃗\vec E. Hertz (1887) wytworzył i wykrył takie fale iskrownikiem, zmierzył ich długość i pokazał, że odbijają się i załamują jak światło.

Długość fali i częstotliwość łączy λf=c\lambda f = c. Fale radiowe (kilometry do milimetrów), mikrofale (kuchenka: 12 cm), podczerwień, światło widzialne (400–700 nm), nadfiolet, promieniowanie rentgenowskie i gamma to ta sama fala o różnej długości (dział 12 „Optyka: zasada najmniejszego czasu, interferencja, dyfrakcja”).

4.1 Skąd się biorą fale

Ładunek w spoczynku ma pole kulombowskie, ładunek w ruchu jednostajnym niesie je ze sobą. Promieniuje dopiero ładunek przyspieszany. Feynman podaje wzór, w którym jest cała optyka: pole promieniowania w odległości rr jest proporcjonalne do składowej przyspieszenia prostopadłej do kierunku obserwacji, z opóźnieniem r/cr/c, i maleje jak 1/r1/r:FLP I-28-2

E⃗prom=−q a⃗⊥(t−r/c)4πε0c2r.\vec E_\text{prom} = -\frac{q\,\vec a_\perp(t - r/c)}{4\pi\varepsilon_0c^2r} .

Antena, w której ładunki drgają w górę i w dół, promieniuje najsilniej w płaszczyźnie prostopadłej do swojej osi i wcale wzdłuż niej: natężenie jest proporcjonalne do sin⁡2θ/r2\sin^2\theta/r^2.FLP II-21-4

Symulacja 5 Promieniowanie pionowej anteny dipolowej (widok z boku). Kolor pokazuje zwrot pola elektrycznego fali, a nasycenie jego wartość: maleje jak 1/r1/r i znika wzdłuż osi anteny. W rogu wykres biegunowy natężenia. Zmień długość fali.

Zadania · część 4

5 zadań · ok. 30 min

  1. Oblicz cc z wartości μ0≈4π⋅10−7\mu_0 \approx 4\pi\cdot10^{-7} T·m/A i ε0≈8,854⋅10−12\varepsilon_0 \approx 8{,}854\cdot10^{-12} F/m.

    Odpowiedź

    1/μ0ε0≈2,998⋅1081/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} \approx 2{,}998\cdot10^8 m/s.

  2. Jaką długość mają fale kuchenki mikrofalowej (2,45 GHz), radia FM (100 MHz) i sieci energetycznej (50 Hz)?

    Odpowiedź

    12,2 cm, 3 m i ok. 6000 km. Sieć 50 Hz praktycznie nie promieniuje, bo jej przewody są znikomo krótkie w porównaniu z długością fali.

  3. Fala płaska ma pole elektryczne o amplitudzie 100 V/m. Jaka jest amplituda pola magnetycznego? Dlaczego to nie znaczy, że pole magnetyczne jest „mniej ważne”?

    Odpowiedź

    B0=E0/c≈3,3⋅10−7B_0 = E_0/c \approx 3{,}3\cdot10^{-7} T. Gęstości energii są równe: 12ε0E2=B2/2μ0\tfrac12\varepsilon_0E^2 = B^2/2\mu_0 dla E=cBE = cB. Mała liczba w teslach wynika z układu jednostek; siła magnetyczna na ładunek jest v/cv/c razy mniejsza od elektrycznej.

  4. Pokaż, że E⃗=E0sin⁡(kx−ωt) y^\vec E = E_0\sin(kx - \omega t)\,\hat y spełnia równanie falowe, jeśli ω/k=c\omega/k = c. Z prawa Faradaya znajdź towarzyszące pole B⃗\vec B.

    Odpowiedź

    ∂x2E=−k2E\partial_x^2E = -k^2E, ∂t2E=−ω2E\partial_t^2E = -\omega^2E, więc potrzeba k2=ω2/c2k^2 = \omega^2/c^2. ∂tB⃗=−∇×E⃗=−kE0cos⁡(kx−ωt) z^\partial_t\vec B = -\nabla\times\vec E = -kE_0\cos(kx - \omega t)\,\hat z, więc B⃗=(kE0/ω)sin⁡(kx−ωt) z^=(E/c) z^\vec B = (kE_0/\omega)\sin(kx - \omega t)\,\hat z = (E/c)\,\hat z.

  5. Antena dipolowa wysyła pod kątem 90° do swojej osi natężenie I0I_0. Jakie natężenie wysyła pod kątem 30°? Jak ustawić antenę odbiorczą względem fali spolaryzowanej pionowo?

    Odpowiedź

    I0sin⁡230∘=I0/4I_0\sin^230^\circ = I_0/4. Antenę odbiorczą ustawia się równolegle do pola E⃗\vec E, czyli pionowo: pole fali porusza wtedy ładunki wzdłuż anteny.

5 Energia i pęd pola

Pole ma energię o gęstości u=12ε0E2+B2/2μ0u = \tfrac12\varepsilon_0E^2 + B^2/2\mu_0. Gdy energia w jakiejś objętości maleje, musi z niej wypływać przez brzeg (albo zamieniać się w pracę nad ładunkami). Z równań Maxwella wynika, czym jest ten przepływ:FLP II-27-3

Wzór · wektor Poyntinga

S⃗=1μ0E⃗×B⃗,∂u∂t+∇⋅S⃗=−E⃗⋅j⃗.\vec S = \frac1{\mu_0}\vec E\times\vec B,\qquad \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\vec S = -\vec E\cdot\vec j .

S⃗\vec S to moc przepływająca przez jednostkę powierzchni (W/m²). Dla fali płaskiej S=cuS = cu, a średnie natężenie fali o amplitudzie E0E_0 to I=12cε0E02I = \tfrac12c\varepsilon_0E_0^2.

Wynik bywa zaskakujący. Energia, którą bateria dostarcza do opornika, nie płynie wewnątrz przewodów razem z elektronami. Płynie przez przestrzeń wokół nich i wchodzi do opornika z boku: pole E⃗\vec E jest wzdłuż przewodu, pole B⃗\vec B okrąża go, więc E⃗×B⃗\vec E\times\vec B wskazuje do środka (zadanie feynmanowskie 5).FLP II-27-5

Fala niesie też pęd: gęstość pędu to S⃗/c2\vec S/c^2, a energia UU niesie pęd U/cU/c. Światło pochłaniane przez powierzchnię wywiera na nią ciśnienie I/cI/c, a odbijane 2I/c2I/c. Ciśnienie światła słonecznego przy Ziemi to ok. 4,5 µPa: mało, ale wystarcza, by wypychać z Układu Słonecznego pył drobniejszy niż ułamek mikrometra, kształtować warkocze komet i napędzać żagle słoneczne (japoński IKAROS, 2010). Fizycznie rzecz biorąc: pole elektryczne fali porusza elektrony ośrodka, a pole magnetyczne działa na te poruszające się elektrony siłą qv⃗×B⃗q\vec v\times\vec B w kierunku biegu fali.FLP I-34-9

Symulacja 6 Fala elektromagnetyczna płaska w rzucie ukośnym: pole E⃗\vec E i pole cB⃗c\vec B prostopadłe do siebie i do kierunku biegu fali. Wybierz polaryzację i amplitudę; odczyty podają natężenie i ciśnienie promieniowania w porównaniu ze światłem słonecznym.

Zadania · część 5

5 zadań · ok. 35 min

  1. Natężenie światła słonecznego przy Ziemi to 1361 W/m². Jakie są amplitudy pól EE i BB?

    Odpowiedź

    E0=2I/cε0≈1010E_0 = \sqrt{2I/c\varepsilon_0} \approx 1010 V/m; B0=E0/c≈3,4B_0 = E_0/c \approx 3{,}4 µT, mniej niż jedna dziesiąta pola Ziemi.

  2. Wskaźnik laserowy o mocy 1 mW skupia światło na 1 mm². Jakie jest natężenie i amplituda pola elektrycznego?

    Odpowiedź

    I=1000 W/m2I = 1000\ \mathrm{W/m^2}, prawie jak Słońce; E0≈870E_0 \approx 870 V/m. Dlatego nie wolno patrzeć w wiązkę: oko skupia ją dalej, do plamki o rozmiarze mikrometrów.

  3. Telefon wysyła moc 2 W równomiernie we wszystkich kierunkach. Jakie jest natężenie i amplituda pola w odległości 1 m? A stacji radiowej o mocy 100 kW w odległości 10 km?

    Odpowiedź

    Telefon: I=2/4π≈0,16 W/m2I = 2/4\pi \approx 0{,}16\ \mathrm{W/m^2}, E0≈11E_0 \approx 11 V/m. Stacja: I≈8⋅10−5 W/m2I \approx 8\cdot10^{-5}\ \mathrm{W/m^2}, E0≈0,25E_0 \approx 0{,}25 V/m (przy założeniu promieniowania izotropowego).

  4. Żagiel słoneczny 100 m × 100 m doskonale odbija światło. Jaka siła na niego działa w odległości Ziemi od Słońca? Jakie przyspieszenie nada sondzie o masie 100 kg?

    Odpowiedź

    F=2IA/c≈0,09F = 2IA/c \approx 0{,}09 N, a≈9⋅10−4 m/s2a \approx 9\cdot10^{-4}\ \mathrm{m/s^2}: po roku daje to prędkość ok. 29 km/s, porównywalną z prędkością orbitalną Ziemi.

  5. Jaką siłą światło Słońca naciska na całą Ziemię (zakładając pełne pochłanianie)? Porównaj z przyciąganiem grawitacyjnym Słońca.

    Odpowiedź

    F=IπR2/c≈5,8⋅108F = I\pi R^2/c \approx 5{,}8\cdot10^8 N; grawitacja ok. 3,5⋅10223{,}5\cdot10^{22} N, 6⋅10136\cdot10^{13} razy więcej. Dla małych ziaren stosunek rośnie jak 1/r1/r (powierzchnia do objętości).

6 Metoda i przykłady rozwiązane

Metoda dla indukcji i fal

  1. Indukcja: wybierz powierzchnię rozpiętą na obwodzie, policz strumień Φ(t)\Phi(t), zróżniczkuj; kierunek prądu z reguły Lenza.
  2. Ruchome przewody: sprawdź wynik siłą Lorentza qv⃗×B⃗q\vec v\times\vec B; przy elementach ślizgowych i tarczach licz siłę zamiast strumienia.
  3. Bilans energii: moc mechaniczna = moc elektryczna EI\mathcal EI = ciepło I2RI^2R (+ zmiana energii pola 12LI2\tfrac12LI^2).
  4. Obwody LC: przepisz na oscylator: L↔mL \leftrightarrow m, 1/C↔k1/C \leftrightarrow k, R↔R \leftrightarrow tłumienie.
  5. Fale: λf=c\lambda f = c, E=cBE = cB, I=12cε0E02I = \tfrac12c\varepsilon_0E_0^2, ciśnienie I/cI/c lub 2I/c2I/c; natężenie źródła punktowego P/4πr2P/4\pi r^2.
  6. Sprawdzenie: jednostki (V = Wb/s, H = Wb/A) i znaki: indukcja zawsze przeciwdziała zmianie.

Przykład 16.1 Pręt na szynach

Pręt o długości 20 cm przesuwamy ze stałą prędkością 2 m/s po szynach połączonych opornikiem 0,1 Ω, w polu 0,5 T prostopadłym do płaszczyzny szyn. Oblicz siłę elektromotoryczną, prąd, siłę potrzebną do ciągnięcia i moc.

  1. E=BLv=0,5⋅0,2⋅2=0,2\mathcal E = BLv = 0{,}5\cdot0{,}2\cdot2 = 0{,}2 V; I=E/R=2I = \mathcal E/R = 2 A.
  2. Siła hamująca BIL=0,2BIL = 0{,}2 N; tyle trzeba ciągnąć.
  3. Moc mechaniczna Fv=0,4Fv = 0{,}4 W; moc cieplna I2R=0,4I^2R = 0{,}4 W.

Wynik: 0,2 V, 2 A, 0,2 N, 0,4 W. Cała praca zamienia się w ciepło; gdyby w miejsce opornika był akumulator, częściowo w energię chemiczną.

Sprawdzenie: Fv=B2L2v2/R=E2/RFv = B^2L^2v^2/R = \mathcal E^2/R ✓; to zasada zachowania energii, a reguła Lenza jest jej konsekwencją.

Przykład 16.2 Prądnica i sieć

Ramka ma 200 zwojów o powierzchni 0,02 m² i obraca się 50 razy na sekundę w polu 1 T. Jakie napięcie daje? Jak elektrownie uzyskują kilkanaście kilowoltów?

  1. Emax=NBAω=200⋅1⋅0,02⋅2π⋅50≈1,26\mathcal E_\text{max} = NBA\omega = 200\cdot1\cdot0{,}02\cdot2\pi\cdot50 \approx 1{,}26 kV; skuteczne ok. 0,89 kV.
  2. Generator elektrowni ma pole ok. 1–2 T, uzwojenia o długości kilku metrów, a napięcie wyjściowe rzędu 10–25 kV; transformator podnosi je do 400 kV na potrzeby przesyłu (Dział 15: Prąd i pole magnetyczne).

Wynik: ok. 1,26 kV amplitudy. Napięcie rośnie z liczbą zwojów, polem, powierzchnią i prędkością obrotów.

Sprawdzenie: jednostki: T·m²/s = Wb/s = V ✓.

Przykład 16.3 Hamowanie pchniętego pręta

Ten sam pręt (masa 50 g) pchnięto z prędkością 2 m/s i puszczono. Jak zwalnia i ile ciepła wydzieli się w oporniku?

  1. m dv/dt=−B2L2v/Rm\,dv/dt = -B^2L^2v/R, więc v=v0e−t/τv = v_0e^{-t/\tau} z τ=mR/(BL)2=0,05⋅0,1/0,01=0,5\tau = mR/(BL)^2 = 0{,}05\cdot0{,}1/0{,}01 = 0{,}5 s.
  2. Droga do zatrzymania: v0τ=1v_0\tau = 1 m. Ciepło: cała energia kinetyczna, 12mv02=0,1\tfrac12mv_0^2 = 0{,}1 J.

Wynik: wykładnicze hamowanie ze stałą czasową 0,5 s; pręt zatrzymuje się po ok. metrze. Tak hamują pociągi z hamulcami wiroprądowymi; hamulec nie zużywa się, ale nie zatrzymuje pojazdu do zera.

Sprawdzenie: ∫I2R dt=(B2L2v02/R)⋅τ/2=0,4⋅0,25=0,1\int I^2R\,dt = (B^2L^2v_0^2/R)\cdot\tau/2 = 0{,}4\cdot0{,}25 = 0{,}1 J ✓.

Przykład 16.4 Światło Słońca

Przy Ziemi natężenie promieniowania Słońca wynosi 1361 W/m². Oblicz amplitudy pól, gęstość energii i ciśnienie promieniowania.

  1. E0=2I/(cε0)≈1010E_0 = \sqrt{2I/(c\varepsilon_0)} \approx 1010 V/m; B0=E0/c≈3,4B_0 = E_0/c \approx 3{,}4 µT.
  2. Gęstość energii u=I/c≈4,5 µJ/m3u = I/c \approx 4{,}5\ \mathrm{µJ/m^3}; ciśnienie przy pochłanianiu I/c≈4,5I/c \approx 4{,}5 µPa, przy odbiciu 9 µPa.

Wynik: 1 kV/m, 3,4 µT, 4,5 µPa. Pola są słabe, a mimo to niosą 1,4 kW na metr kwadratowy, bo energia biegnie z prędkością światła.

Sprawdzenie: 12ε0E02=B02/2μ0≈4,5 µJ/m3\tfrac12\varepsilon_0E_0^2 = B_0^2/2\mu_0 \approx 4{,}5\ \mathrm{µJ/m^3} to wartości szczytowe; średnio każda część ma połowę tego, 14ε0E02\tfrac14\varepsilon_0E_0^2, a ich suma to 12ε0E02=I/c\tfrac12\varepsilon_0E_0^2 = I/c ✓.

Przykład 16.5 Obwód strojenia radia

Odbiornik FM ma kondensator nastawny 5–20 pF i cewkę 0,15 µH. Jaki zakres częstotliwości obejmuje?

  1. f=1/(2πLC)f = 1/(2\pi\sqrt{LC}): dla 20 pF f≈92f \approx 92 MHz, dla 5 pF f≈184f \approx 184 MHz.
  2. Pasmo FM (87,5–108 MHz) mieści się w dolnej części zakresu.

Wynik: ok. 92–184 MHz. Zmiana pojemności o czynnik 4 zmienia częstotliwość o czynnik 2.

Sprawdzenie: f∝C−1/2f \propto C^{-1/2}, a 20/5=2\sqrt{20/5} = 2 ✓.

Przykład 16.6 Klasyczny atom się zapada

Elektron krążący wokół protonu po orbicie o promieniu a0=0,53⋅10−10a_0 = 0{,}53\cdot10^{-10} m ma przyspieszenie dośrodkowe, więc według wzoru Feynmana powinien promieniować. Wypromieniowana moc to P=e2a2/(6πε0c3)P = e^2a^2/(6\pi\varepsilon_0c^3) (wzór Larmora). Jak długo trwałby atom?

  1. a=e2/(4πε0mea02)≈9⋅1022 m/s2a = e^2/(4\pi\varepsilon_0m_ea_0^2) \approx 9\cdot10^{22}\ \mathrm{m/s^2}; P≈4,6⋅10−8P \approx 4{,}6\cdot10^{-8} W.
  2. Energia wiązania 13,6 eV ≈2,2⋅10−18\approx 2{,}2\cdot10^{-18} J. Elektron spada po spirali, a moc rośnie, gdy promień maleje; całkowanie daje czas a03/(4re2c)≈1,6⋅10−11a_0^3/(4r_e^2c) \approx 1{,}6\cdot10^{-11} s (rer_e to klasyczny promień elektronu).

Wynik: ok. 10−1110^{-11} s. Atomy istnieją miliardy lat, więc fizyka klasyczna w ich wnętrzu zawodzi; odpowiedź daje mechanika kwantowa (dział 19 „Atom wodoru i układ okresowy”).

Sprawdzenie: rząd wielkości: energia/moc ≈2,2⋅10−18/4,6⋅10−8≈5⋅10−11\approx 2{,}2\cdot10^{-18}/4{,}6\cdot10^{-8} \approx 5\cdot10^{-11} s ✓ (przyspieszający spadek skraca czas kilkakrotnie).

7 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„Indukcja wymaga poruszającego się magnesu.”
Wystarczy zmiana strumienia, np. zmiana prądu w sąsiedniej cewce, jak w transformatorze, gdzie nic się nie rusza.
„Transformator podnosi napięcie, więc daje energię za darmo.”
Moc wyjściowa jest co najwyżej równa wejściowej: gdy napięcie rośnie, prąd maleje.
„Fala elektromagnetyczna to drgania eteru.”
To drgania samego pola, które podtrzymuje się samo. Doświadczenia (Michelson i Morley, 1887) nie wykryły żadnego ośrodka, a teoria względności go nie potrzebuje.
„Prąd przesunięcia to prąd jakichś ładunków w próżni.”
W próżni między okładkami nie płyną żadne ładunki. „Prąd przesunięcia” to tylko nazwa wyrazu ε0 ∂E⃗/∂t\varepsilon_0\,\partial\vec E/\partial t, który wytwarza pole magnetyczne jak prąd.
„Pole magnetyczne fali jest pomijalne, bo w teslach wychodzi tak mało.”
Niesie dokładnie połowę energii fali. Liczba w teslach jest mała, bo B=E/cB = E/c, a cc jest duże.
„Energia elektryczna płynie wewnątrz przewodów.”
Według wektora Poyntinga płynie w przestrzeni wokół przewodów i wnika do odbiorników z boku. Przewody prowadzą pole, a elektrony dryfują powoli.

8 Zadania feynmanowskie

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

Zadania feynmanowskie

8 zadań · ok. 2 godziny

  1. Tarcza Faradaya. Miedziana tarcza o promieniu RR obraca się z prędkością kątową ω\omega w jednorodnym polu BB równoległym do osi. Szczotki dotykają osi i brzegu. Jakie napięcie powstaje? Czy zmienia się strumień przez obwód?

    Rozwiązanie
    1. Na elektron w odległości rr działa siła evB=eωrBevB = e\omega rB wzdłuż promienia; całkując: E=∫0RωrB dr=12ωBR2\mathcal E = \int_0^R\omega rB\,dr = \tfrac12\omega BR^2.
    2. Obwód (oś, promień tarczy w miejscu styku, szczotka, przewody) się nie zmienia, strumień przez niego jest stały. „Reguła strumienia” zawodzi, bo materiał, w którym płynie prąd, porusza się względem obwodu; trzeba liczyć siłę Lorentza.FLP II-17-2

  2. Magnes w miedzianej rurze. Silny magnes puszczony w pionowej miedzianej rurze opada powoli, ze stałą prędkością. Wyjaśnij to i powiedz, jak prędkość zależy od przewodności rury i od siły magnesu.

    Rozwiązanie
    1. Ruch magnesu zmienia strumień przez pierścienie rury; prądy wirowe hamują go (Lenz) siłą proporcjonalną do prędkości, jak opór lepki. Prędkość graniczna: siła hamująca równa ciężarowi.
    2. Siła ∝σB2v\propto\sigma B^2v (siła elektromotoryczna ∝Bv\propto Bv, prąd ∝σBv\propto\sigma Bv, siła ∝B⋅\propto B\cdotprąd), więc vgr∝mg/(σB2)v_\text{gr} \propto mg/(\sigma B^2). W rurze ze stali nierdzewnej (mała przewodność) magnes spada prawie swobodnie. Energia potencjalna zamienia się w ciepło w rurze.

  3. Warunek betatronu. W betatronie elektrony krążą po okręgu o stałym promieniu RR i są przyspieszane polem elektrycznym indukowanym przez rosnący strumień. Pokaż, że promień jest stały, jeśli pole na orbicie jest połową średniego pola wewnątrz orbity.

    Rozwiązanie
    1. Pole indukowane na orbicie: E⋅2πR=dΦ/dtE\cdot2\pi R = d\Phi/dt, więc dp/dt=eE=e2πR dΦ/dtdp/dt = eE = \tfrac{e}{2\pi R}\,d\Phi/dt i p=eΦ/2πRp = e\Phi/2\pi R (od zera).
    2. Promień stały, gdy p=eBorbRp = eB_\text{orb}R. Z porównania Borb=Φ/(2πR2)=12BˉB_\text{orb} = \Phi/(2\pi R^2) = \tfrac12\bar B, gdzie Bˉ=Φ/πR2\bar B = \Phi/\pi R^2.FLP II-17-3

  4. Paradoks tarczy. Na nieruchomej tarczy, która może się swobodnie obracać, siedzą naładowane kulki, a w środku jest zwojnica z prądem. Prąd wyłączamy. Pole indukowane popycha kulki i tarcza zaczyna się kręcić. Skąd wziął się moment pędu?

    Rozwiązanie
    1. Przed wyłączeniem w układzie było pole elektryczne kulek i pole magnetyczne zwojnicy; ich iloczyn E⃗×B⃗\vec E\times\vec B krąży wokół osi, więc pole niesie moment pędu.
    2. Po wyłączeniu prądu pole magnetyczne znika, a moment pędu pola przechodzi na tarczę. Zasada zachowania obowiązuje, jeśli liczyć pęd i moment pędu pola.FLP II-17-4, II-27-6

  5. Energia wchodzi z boku. Przez prosty opornik walcowy o długości ll i promieniu aa płynie prąd II przy napięciu VV. Policz wektor Poyntinga na jego powierzchni i całkowity strumień energii do środka.

    Rozwiązanie
    1. Pole elektryczne wzdłuż osi E=V/lE = V/l, magnetyczne na powierzchni B=μ0I/2πaB = \mu_0I/2\pi a, prostopadłe do siebie. S=EB/μ0=VI/(2πal)S = EB/\mu_0 = VI/(2\pi al), skierowane do osi.
    2. Przez powierzchnię boczną 2πal2\pi al wpływa S⋅2πal=VIS\cdot2\pi al = VI: dokładnie moc wydzielana jako ciepło.FLP II-27-5

  6. Pył wydmuchiwany przez światło. Dla jakiego promienia ziarna o gęstości 2000 kg/m³, całkowicie pochłaniającego światło, ciśnienie promieniowania Słońca (moc 3,8·10²⁶ W) równoważy grawitację Słońca? Czy zależy to od odległości?

    Rozwiązanie
    1. Obie siły maleją jak 1/d21/d^2, więc wynik nie zależy od odległości. L4πd2cπr2=GMd243πr3ρ\tfrac{L}{4\pi d^2c}\pi r^2 = \tfrac{GM}{d^2}\tfrac43\pi r^3\rho daje r=3L/(16πcGMρ)≈0,3r = 3L/(16\pi cGM\rho) \approx 0{,}3 µm.
    2. Mniejsze ziarna są wydmuchiwane z Układu Słonecznego. (Dla rzeczywistych ziaren rozpraszanie i dyfrakcja zmieniają wynik o czynnik rzędu jedności.)

  7. Dlaczego fala jest poprzeczna? Pokaż, że fala płaska E⃗=E⃗0cos⁡(kx−ωt)\vec E = \vec E_0\cos(kx - \omega t) w próżni nie może mieć składowej wzdłuż xx. Czy fala dźwiękowa w powietrzu może być poprzeczna?

    Rozwiązanie
    1. ∇⋅E⃗=−kE0xsin⁡(kx−ωt)=0\nabla\cdot\vec E = -kE_{0x}\sin(kx - \omega t) = 0 dla wszystkich x,tx, t wymaga E0x=0E_{0x} = 0.
    2. Dźwięk w gazie jest podłużny: gaz nie stawia oporu ścinaniu, więc nie ma siły, która by podtrzymała drgania poprzeczne. W ciałach stałych fale poprzeczne istnieją (fale S w trzęsieniach ziemi).

  8. Atom, który nie powinien istnieć. W przykładzie 16.6 klasyczny atom zapada się w 10−1110^{-11} s. Jaka prosta obserwacja z działu 12 „Optyka: zasada najmniejszego czasu, interferencja, dyfrakcja” świadczy dodatkowo, że elektrony w atomach nie krążą klasycznie?

    Rozwiązanie
    1. Spadający po spirali elektron zmieniałby częstotliwość obiegu w sposób ciągły i promieniował widmo ciągłe.
    2. Atomy gazu świecą natomiast w ostrych liniach widmowych o ściśle określonych długościach fal (np. czerwona linia wodoru 656 nm). To jeden z faktów, które doprowadziły do mechaniki kwantowej.

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Co mówi prawo Faradaya?

Siła elektromotoryczna w obwodzie równa się minus tempu zmian strumienia pola magnetycznego przez obwód.

2 Co mówi reguła Lenza i z czego wynika?

Indukowany prąd przeciwdziała zmianie strumienia; wynika z zasady zachowania energii.

3 Dlaczego transformator nie działa na prąd stały?

Stały prąd daje stały strumień, a indukcja wymaga zmiany strumienia.

4 Ile energii mieści cewka i z jaką gęstością jest ona rozłożona?

12LI2\tfrac12LI^2; B2/2μ0B^2/2\mu_0.

5 Po co Maxwell dodał prąd przesunięcia?

Bez niego prawo Ampère'a przeczyłoby zachowaniu ładunku dla zmiennych prądów; z nim równania dają fale.

6 Jak wyrazić prędkość światła przez stałe elektryczne i magnetyczne?

c=1/μ0ε0c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}.

7 Jak są ustawione względem siebie E⃗\vec E, B⃗\vec B i kierunek biegu fali?

Wzajemnie prostopadle; fala biegnie w kierunku E⃗×B⃗\vec E\times\vec B, a E=cBE = cB.

8 Jakie ciśnienie wywiera światło o natężeniu II na powierzchnię pochłaniającą, a jakie na lustro?

I/cI/c i 2I/c2I/c.

10 Karta wzorów i co dalej

Indukcja i obwody

E=−dΦB/dt\mathcal E = -d\Phi_B/dt;   ΦB=∫B⃗⋅dA⃗\;\Phi_B = \int\vec B\cdot d\vec A;   \;ruchomy pręt BLvBLv;   \;prądnica NBAωsin⁡ωtNBA\omega\sin\omega t

EL=−L dI/dt\mathcal E_L = -L\,dI/dt;   \;zwojnica L=μ0n2AlL = \mu_0n^2Al;   U=12LI2\;U = \tfrac12LI^2;   uB=B2/2μ0\;u_B = B^2/2\mu_0

transformator V2/V1=N2/N1V_2/V_1 = N_2/N_1;   \;LC: f0=1/(2πLC)f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC});   \;dobroć Q=ω0L/RQ = \omega_0L/R

Maxwell i fale

∇⋅E⃗=ρ/ε0\nabla\cdot\vec E = \rho/\varepsilon_0;   ∇×E⃗=−∂tB⃗\;\nabla\times\vec E = -\partial_t\vec B;   ∇⋅B⃗=0\;\nabla\cdot\vec B = 0;   ∇×B⃗=μ0j⃗+μ0ε0∂tE⃗\;\nabla\times\vec B = \mu_0\vec j + \mu_0\varepsilon_0\partial_t\vec E

c=1/μ0ε0c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0};   E=cB\;E = cB;   λf=c\;\lambda f = c;   \;promieniowanie E∝a⊥/rE \propto a_\perp/r,   I∝sin⁡2θ/r2\;I \propto\sin^2\theta/r^2

S⃗=E⃗×B⃗/μ0\vec S = \vec E\times\vec B/\mu_0;   I=12cε0E02\;I = \tfrac12c\varepsilon_0E_0^2;   \;pęd U/cU/c;   \;ciśnienie I/cI/c (odbicie 2I/c2I/c)

Do przeczytania u Feynmana

  • Obowiązkowo: t. II, rozdz. 17 (prawa indukcji), 18 (równania Maxwella), 20 (fale w próżni), 27 (energia i pęd pola).
  • Dla chętnych: t. II, rozdz. 16 (prądy indukowane, transformatory), 21 (pole drgającego dipola); t. I, rozdz. 28 (promieniowanie elektromagnetyczne).

Na tym kończy się część o elektromagnetyzmie. Następny dział: Amplitudy prawdopodobieństwa. Klasyczny atom zapada się w 10−1110^{-11} s, a światło okazuje się docierać do detektora w porcjach. Żeby to zrozumieć, trzeba porzucić tory i trajektorie i liczyć amplitudy, jak Feynman w trzecim tomie.