6 Mody podłużne: fugoida i oscylacja krótkookresowa

0 Prolog: Lanchester i jego szybowce

Frederick Lanchester puszczał w ostatnich latach XIX wieku modele szybowców i obserwował, że lecą one po falistym torze: nurkują, nabierają prędkości, wznoszą się, zwalniają, i tak w kółko. W książce Aerodonetics (1908) nazwał ten ruch fugoidą, chcąc oddać greckie słowo „lot”; filolodzy zauważyli potem, że $\varphi\upsilon\gamma\acute\eta$ znaczy raczej ucieczkę. Nazwa została. Lanchester wyjaśnił fugoidę bez równań różniczkowych, samą zasadą zachowania energii, i podał jej okres w zależności od prędkości.

Ten sam rachunek możesz zrobić w pamięci. Szybowiec leci z prędkością $U$ . Gdy prędkość rośnie o $\Delta U$ , siła nośna rośnie jak $U^2$ , czyli o $2\Delta U/U$ ciężaru, i zakrzywia tor w górę. Wznoszenie zamienia prędkość na wysokość i siła nośna znowu spada poniżej ciężaru. Powstaje oscylator: energia przelewa się między prędkością a wysokością, a siłą przywracającą jest nadwyżka albo niedobór siły nośnej względem ciężaru.

Pytanie na start. Jaki okres fugoidy przewiduje zasada zachowania energii dla samolotu lecącego z prędkością 55 m/s, jeśli kąt natarcia się nie zmienia? Pełny model z lekcji 5 daje 30 s. Odpowiedź w części 2.

1 Dwa mody, dwie skale czasu

Wartości własne macierzy $A$ z przykładu 3.3 (lekcja 5 Lot w płaszczyźnie symetrii: model podłużny i pochodne stateczności) to $-0{,}017 \pm 0{,}209i$ i $-2{,}44 \pm 2{,}57i$ . Rozwiązanie ogólne jest kombinacją dwóch ruchów (lekcja 2.3 Wartości i wektory własne, mody normalne), a każdy ma swój wektor własny: proporcje i przesunięcia fazowe, z jakimi zmieniają się $u$ , $\alpha$ , $\theta$ , $q$ . Unormowane tak, żeby amplituda pochylenia $\theta$ była 1 rad:

mod	okres	$\zeta$	$\|u\|$ [m/s]	$\|\alpha\|$ [rad]	faza $u$ względem $\theta$
fugoida	30 s	0,082	46	0,049	$+98^\circ$
krótkookresowa	2,4 s	0,69	2,2	1,36	$+36^\circ$

Fugoida to ruch prędkości i pochylenia przy prawie stałym kącie natarcia (jedna dwudziesta zmian pochylenia). Krótkookresowa to ruch kąta natarcia i pochylenia przy prawie stałej prędkości: $1^\circ$ zmiany $\theta$ to zaledwie 0,04 m/s zmiany $u$ . Mody są dobrze rozdzielone (częstości różnią się 17 razy), co pozwala każdy z nich opisać osobnym, prostym modelem. Tewari pisze dokładnie to: fugoida jest wolną oscylacją $u$ i $\theta$ przy $\alpha \approx 0$ , krótkookresowa szybką oscylacją $\alpha$ i $\theta$ przy $u \approx 0$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 20 min

Fugoida ma okres 30 s i $\zeta = 0{,}082$ . Po ilu okresach amplituda spada o połowę? Ile to sekund?

Odpowiedź
Amplituda maleje jak $e^{-\zeta\omega t}$ , $\zeta\omega = 0{,}017$ /s. Połowa po $\ln 2/0{,}017 = 40$ s, czyli po ok. 1,3 okresu.
W fugoidzie amplituda pochylenia wynosi $2^\circ$ . Jaka jest amplituda prędkości i kąta natarcia?

Odpowiedź
$2^\circ = 0{,}035$ rad; $|u| = 46\cdot 0{,}035 = 1{,}6$ m/s, $|\alpha| = 0{,}049\cdot 2^\circ = 0{,}1^\circ$ . Pilot widzi to jako powolne zmiany prędkości i wysokości przy stałym położeniu nosa względem toru.
W fugoidzie $u$ wyprzedza $\theta$ o ok. $90^\circ$ . Co z tego wynika dla toru: gdzie samolot leci najszybciej, a gdzie ma największe pochylenie?

Odpowiedź
Przy przesunięciu $90^\circ$ prędkość jest największa, gdy $\theta$ przechodzi przez zero rosnąco: w dolinie toru, tuż przed wznoszeniem. Pochylenie (≈ kąt toru, bo $\alpha$ stałe) jest największe w połowie wznoszenia. Wysokość jest największa, gdy prędkość najmniejsza: energia przelewa się.

2 Fugoida: wymiana energii

Przybliżenie Lanchestera: kąt natarcia stały, moment pomijamy (samolot sam ustawia się do toru), tłumienie zaniedbujemy. Zostają dwa równania z lekcji 5, dla $u$ i $\theta$ :

\dot u = X_u u/m - g\theta,\qquad 0 = \frac{Z_u}{mU}u + q\ \Rightarrow\ \dot\theta = -\frac{Z_u}{mU}u = \frac{2g}{U^2}u .

Fugoida w przybliżeniu Lanchestera

\ddot u - \frac{X_u}{m}\dot u + \frac{2g^2}{U^2}u = 0,\qquad \omega_p \approx \frac{\sqrt2\,g}{U},\qquad T_p \approx \frac{\pi\sqrt2\,U}{g},\qquad \zeta_p \approx -\frac{X_u}{2m\omega_p} .

Okres rośnie liniowo z prędkością i nie zależy od samolotu. Tłumienie daje opór rosnący z prędkością.

Dla 55 m/s: $\omega_p = 0{,}252$ rad/s, $T_p = 24{,}9$ s, $\zeta_p = 0{,}089$ . Pełny model: 0,209 rad/s, 30,0 s, 0,082. Okres wychodzi o 17% za krótki, tłumienie prawie dokładnie. To jest odpowiedź na pytanie z prologu: sama energia daje 25 s; pozostałe 5 s to wpływ ruchu kąta natarcia, który Lanchester pominął. Ruch ten jest mały ( $|\alpha|/|\theta| = 0{,}05$ ), ale mnoży się przez duże $Z_\alpha/(mU)$ . Uwzględnia go poprawione przybliżenie, wciąż krótkie:

\omega_p^2 \approx -\frac{g}{U}\frac{Z_u}{m}\cdot\frac{M_\alpha}{M_\alpha - \frac{Z_\alpha}{mU}M_q},

które dla przykładu 3.3 daje $\omega_p = 0{,}210$ rad/s i okres 29,9 s, prawie dokładnie. Przy bardzo „sztywnym” $M_\alpha$ drugi czynnik dąży do 1 i wracamy do Lanchestera.

Skąd wymiana energii? Całkowita energia na jednostkę ciężaru to $V^2/(2g) + h$ . W fugoidzie bez oporu jest stała, więc spadek o 28 m daje przyrost prędkości o 5 m/s przy 55 m/s: $\Delta h = U\Delta u/g$ . Symulacja 1 pokazuje tę sumę w ostatnim polu odczytu: w fugoidzie zmienia się tylko powoli, w wyniku tłumienia.

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 25 min

Policz okres fugoidy z przybliżenia Lanchestera dla 30 m/s, 55 m/s i 80 m/s.

Odpowiedź
$T = \pi\sqrt2\,U/g$ : 13,6 s; 24,9 s; 36,2 s. Samolot pasażerski przy 250 m/s: 113 s, prawie dwie minuty.
Wyprowadź częstość fugoidy z energii: samolot na torze $h(t) = H\sin\omega t$ , $V = U + u$ , $V^2/2 + gh = \text{const}$ , siła nośna $L = mg(V/U)^2$ zakrzywia tor: $mU\dot\gamma = L - mg$ .

Odpowiedź
Z energii: $Uu = -gh$ (pierwszy rząd). Z równania toru: $U\dot\gamma = g\cdot 2u/U = -2g^2h/U^2$ . Ale $\dot h = U\gamma$ , więc $\ddot h = U\dot\gamma = -\frac{2g^2}{U^2}h$ : oscylator o $\omega = \sqrt2\,g/U$ ✓.
Policz $\zeta_p \approx -X_u/(2m\omega_p)$ i porównaj z modelem dwustanowym $(u, \theta)$ , którego macierz to $\begin{bmatrix} X_u/m & -g\\ -Z_u/(mU) & 0\end{bmatrix}$ .

Odpowiedź
$0{,}045/(2\cdot 0{,}252) = 0{,}089$ . Model dwustanowy: wielomian $s^2 + 0{,}045s + 0{,}0642 = 0$ , $\omega = 0{,}253$ , $\zeta = 0{,}089$ . Te same liczby: przybliżenie z ramki to właśnie ten model (z dokładnym $-Z_u/(mU) = 0{,}36/55$ zamiast $2g/U^2$ ).

3 Oscylacja krótkookresowa: wahadło w pochyleniu

Przez dwie sekundy prędkość nie ma czasu się zmienić. Wyrzucamy więc równanie dla $u$ , kładziemy $u = 0$ i zostaje model dwustanowy $(\alpha, q)$ :

\dot\alpha = \frac{Z_\alpha}{mU}\alpha + q,\qquad \dot q = \left(\frac{M_\alpha}{J_y} + \frac{M_{\dot\alpha}}{J_y}\frac{Z_\alpha}{mU}\right)\alpha + \left(\frac{M_q}{J_y} + \frac{M_{\dot\alpha}}{J_y}\right)q .

Oscylacja krótkookresowa (model dwustanowy)

s^2 + 2\zeta_s\omega_s s + \omega_s^2 = 0,\qquad \omega_s^2 = \frac{Z_\alpha}{mU}\frac{M_q}{J_y} - \frac{M_\alpha}{J_y},\qquad 2\zeta_s\omega_s = -\left(\frac{Z_\alpha}{mU} + \frac{M_q}{J_y} + \frac{M_{\dot\alpha}}{J_y}\right) .

To jest wahadło. Sztywnością jest głównie $-M_\alpha/J_y$ , statyczna stateczność z lekcji 4 Stateczność statyczna i trym: dlaczego samolot ma ogon, plus wkład $Z_\alpha M_q$ (tu 31% całości): obrót, który zakrzywia tor, zmienia kąt natarcia. Tłumienie ma trzy źródła: usterzenie hamujące obrót ( $M_q$ ), opóźnione odchylenie strumienia ( $M_{\dot\alpha}$ ) i siła nośna, która zakrzywia tor i sama zmniejsza kąt natarcia ( $Z_\alpha$ ). Dla przykładu 3.3: $\omega_s^2 = 3{,}93 + 8{,}6 = 12{,}53$ , $\omega_s = 3{,}54$ rad/s; $2\zeta_s\omega_s = 1{,}96 + 2 + 0{,}9 = 4{,}86$ , $\zeta_s = 0{,}687$ . Pełny model: 3,542 i 0,688. Przybliżenie jest praktycznie dokładne.

Pallett opisuje ten ruch słowami pilota (rys. 1.14): po podmuchu nos szybko wraca, z jednym lekkim przestrzałem albo bez niego. Ten ruch leży w paśmie, w którym pilot steruje (ok. 1–10 rad/s), więc musi być dobrze tłumiony sam z siebie: słabo tłumiona krótkookresowa sprzęga się z ruchami drążka i grozi oscylacjami wzbudzanymi przez pilota. Fugoidę pilot koryguje sam, zwykle nieświadomie: jest tak wolna, że wystarczy patrzeć na prędkościomierz.

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 25 min

Policz $\omega_s$ i $\zeta_s$ z modelu dwustanowego, gdy $M_\alpha/J_y$ zmaleje dwukrotnie (środek ciężkości bliżej punktu neutralnego).

Odpowiedź
$\omega_s^2 = 3{,}93 + 4{,}3 = 8{,}23$ , $\omega_s = 2{,}87$ rad/s; $\zeta_s = 4{,}86/(2\cdot 2{,}87) = 0{,}85$ . Wolniej i bardziej tłumione. Pełny model: 2,87 i 0,85 (symulacja 2 lekcji 5 z mnożnikiem 0,5).
Przy jakim $M_\alpha/J_y$ oscylacja krótkookresowa przestaje być oscylacją ( $\zeta_s = 1$ )? Przy jakim staje się niestateczna?

Odpowiedź
$\zeta_s = 1$ gdy $\omega_s = 4{,}86/2 = 2{,}43$ , czyli $\omega_s^2 = 5{,}91$ , $M_\alpha/J_y = 3{,}93 - 5{,}91 = -1{,}98$ /s². Niestateczna (w modelu dwustanowym), gdy $\omega_s^2 < 0$ : $M_\alpha/J_y > 3{,}93$ /s². To jest granica „punktu manewrowego”, położona za punktem neutralnym. Pełny model daje dywergencję już przy $M_\alpha > 0$ , ale bardzo powolną: wchodzi w nią ruch prędkości, czyli dawna fugoida.
Dlaczego w modelu dwustanowym można pominąć $\theta$ , choć występuje w pełnym modelu?

Odpowiedź
$\theta$ wchodzi do równań tylko przez grawitację w równaniu dla $u$ ( $-g\theta$ ). Gdy $u$ wyrzucamy, $\theta$ zostaje tylko jako całka z $q$ i nie wpływa na $\alpha$ ani $q$ . Model $(\alpha, q)$ jest zamknięty; $\theta$ dostaje się z niego przez całkowanie.

4 Mody a położenie środka ciężkości

W lekcji 4 zapas stateczności był liczbą z geometrii. Tu widać, jak zmienia dynamikę. W modelu z lekcji 4 (pochodne z geometrii, nie z Tewariego) przesuwamy środek ciężkości od 15% do 60% cięciwy:

przy dużym zapasie krótkookresowa jest szybką oscylacją: $h = 0{,}15$ : $\omega_s = 7{,}8$ rad/s, $h = 0{,}30$ : 6,4 rad/s, z prawie stałą częścią rzeczywistą $-4{,}9$ /s (tłumienie nie zależy od $M_\alpha$ );
przy $h \approx 0{,}43$ para krótkookresowa spotyka się na osi rzeczywistej i rozchodzi na dwa pierwiastki rzeczywiste: nos wraca bez przestrzału;
fugoida wolnieje (okres z 28 s do 90 s przy $h = 0{,}50$ ), a tuż przed punktem neutralnym rozpada się na dwa pierwiastki rzeczywiste;
za punktem neutralnym ( $h_n = 0{,}51$ ) jeden z nich przechodzi na prawą półpłaszczyznę: niestateczność statyczna z lekcji 4 jest niestatecznością dynamiczną modu, który był fugoidą.

Zadania · część 4

3 zadania · ok. 25 min

Dlaczego część rzeczywista biegunów krótkookresowej prawie nie zależy od położenia środka ciężkości, a część urojona tak?

Odpowiedź
Część rzeczywista to $-\zeta\omega = \frac12(Z_\alpha/(mU) + M_q/J_y + M_{\dot\alpha}/J_y)$ : tłumienie od usterzenia i siły nośnej, niezależne od $h$ (w naszym modelu ramię usterzenia liczymy od skrzydła). $M_\alpha$ zmienia tylko $\omega^2$ , czyli „sztywność”: wpływa na część urojoną.
W symulacji 2 zwiększ prędkość z 55 do 75 m/s przy $h = 0{,}30$ . Co dzieje się z częstością krótkookresowej i okresem fugoidy? Wyjaśnij skalowanie.

Odpowiedź
$M_\alpha \propto \bar q \propto U^2$ , więc $\omega_s \propto U$ : krótkookresowa szybsza (ok. 8,7 rad/s). Fugoida: $\omega_p \approx \sqrt2 g/U$ maleje, okres rośnie mniej więcej liniowo z $U$ (pełny model: z 30 do 42 s). Mody rozchodzą się jeszcze bardziej.
Przy $h = 0{,}52$ pierwiastek niestateczny to $+0{,}058$ /s. Ile to czasu podwojenia? Czy wygląda to bardziej na fugoidę, czy na krótkookresową?

Odpowiedź
$\ln 2/0{,}058 = 12$ s. Powolny, rzeczywisty: to dawna fugoida (ruch prędkości i toru), nie krótkookresowa. Samolot powoli zadziera albo opuszcza nos i rozpędza się lub zwalnia.

5 Jakie mody lubi pilot

Stateczność to za mało: samolot z krótkookresową tłumioną przez $\zeta = 0{,}1$ jest stateczny, ale „pływa” po każdym ruchu drążka, a z $\zeta = 3$ reaguje ospale. Wymagania jakości pilotażu (amerykańska norma MIL-F-8785C, w praktyce wzór dla innych przepisów) podają dla krótkookresowej w podstawowych fazach lotu przedział $0{,}35 \le \zeta_s \le 1{,}3$ , a dla fugoidy $\zeta_p \ge 0{,}04$ dla najlepszego poziomu jakości; na drugim poziomie wystarcza $\zeta_p \ge 0$ , a na trzecim dopuszcza się lekko niestateczną fugoidę z czasem podwojenia co najmniej 55 s. Samolot z przykładu 3.3 spełnia oba warunki: $\zeta_s = 0{,}69$ , $\zeta_p = 0{,}082$ .

Gdy samolot ich nie spełnia (np. samolot odrzutowy na dużej wysokości ma słabo tłumioną krótkookresową, bo maleje $M_q$ ; zadanie 8.1 lekcji 5), dodaje się automatyczny tłumik pochylenia. To jest temat lekcji 8 Augmentacja stateczności: tłumik odchylenia i pochylenia.

Zadania · część 5

2 zadania · ok. 15 min

Samolot ma krótkookresową $\omega_s = 3$ rad/s, $\zeta_s = 0{,}2$ . Jakie $M_q/J_y$ trzeba dodać (np. tłumikiem), żeby osiągnąć $\zeta_s = 0{,}7$ , nie zmieniając $\omega_s$ ? Pomiń zmianę $\omega_s$ od członu $Z_\alpha M_q$ .

Odpowiedź
$2\zeta\omega$ musi wzrosnąć z $1{,}2$ do $4{,}2$ /s, czyli o 3/s. Trzeba dodać $\Delta M_q/J_y = -3$ /s. Tłumik pochylenia daje dokładnie taki człon: wychylenie steru proporcjonalne do $q$ działa jak dodatkowe $M_q$ .
Dlaczego dla fugoidy wymaganie tłumienia jest tak łagodne ( $\zeta \ge 0{,}04$ , a nawet dopuszcza się lekką niestateczność)?

Odpowiedź
Fugoida ma okres kilkudziesięciu sekund: pilot ma mnóstwo czasu, żeby ją zauważyć na prędkościomierzu i wysokościomierzu i poprawić. Krótkookresowa leży w paśmie, w którym pilot sam steruje; słabo tłumiona sprzęgałaby się z jego ruchami drążka, więc musi być dobrze tłumiona „sama z siebie”.

6 Metoda i przykłady rozwiązane

Metoda: analiza modów podłużnych

Wartości własne macierzy $A$ : dwie pary, wolna i szybka.
Wektory własne: unormuj do $\theta$ ; sprawdź, które zmienne dominują.
Przybliżenia: fugoida z Lanchestera, krótkookresowa z modelu $(\alpha, q)$ ; porównaj z pełnym modelem.
Wrażliwość: jak mody zależą od $h$ , $U$ , wysokości.
Sprawdzenie z wymaganiami jakości pilotażu.

Przykład 6.1 Fugoida Lanchestera przy 55 m/s

Oszacuj okres i tłumienie fugoidy z energii i porównaj z pełnym modelem.

$\omega_p = \sqrt2\cdot 9{,}81/55 = 0{,}252$ rad/s, $T_p = 2\pi/0{,}252 = 24{,}9$ s.
$\zeta_p = 0{,}045/(2\cdot 0{,}252) = 0{,}089$ .
Pełny model: $\omega_p = 0{,}209$ rad/s, $T_p = 30{,}0$ s, $\zeta_p = 0{,}082$ .

Wynik: okres 25 s zamiast 30 s (17% za krótki), tłumienie z błędem 9%.

Sprawdzenie: różnicę okresu usuwa poprawione przybliżenie z części 2 (29,9 s); wyzerowanie $X_\alpha$ w pełnym modelu nie zmienia okresu, więc winny jest skończony $M_\alpha$ , czyli mały ruch kąta natarcia ✓.

Przykład 6.2 Krótkookresowa z modelu dwustanowego

Policz $\omega_s$ , $\zeta_s$ i okres dla przykładu 3.3.

$Z_\alpha/(mU) = -1{,}964$ /s, $M_q/J_y = -2$ /s, $M_{\dot\alpha}/J_y = -0{,}9$ /s, $M_\alpha/J_y = -8{,}6$ /s².
$\omega_s^2 = (-1{,}964)(-2) + 8{,}6 = 12{,}53$ , $\omega_s = 3{,}54$ rad/s.
$2\zeta_s\omega_s = 1{,}964 + 2 + 0{,}9 = 4{,}864$ , $\zeta_s = 0{,}687$ ; okres tłumiony $2\pi/(\omega_s\sqrt{1 - \zeta_s^2}) = 2{,}44$ s.

Wynik: $\omega_s = 3{,}54$ rad/s, $\zeta_s = 0{,}69$ , okres 2,4 s.

Sprawdzenie: pełny model 3,542 rad/s, 0,688 ✓.

Przykład 6.3 Podmuch: oba mody naraz

Pionowy podmuch zwiększa nagle kąt natarcia o $3^\circ$ . Opisz odpowiedź samolotu z przykładu 3.3.

Pierwsza sekunda: krótkookresowa. Samolot obraca się nosem w dół, ustawiając się do nowego napływu jak wiatrowskaz (pochylenie spada do $-1{,}7^\circ$ ), kąt natarcia wraca do trymu (po 3 s zostaje $-0{,}04^\circ$ ), a dodatkowa siła nośna zakrzywia tor w górę.
Następne minuty: fugoida pobudzona tym zakrzywieniem: prędkość waha się o ok. 1,2 m/s, pochylenie o ok. $1{,}3$ – $1{,}5^\circ$ , wysokość o ok. 8 m, z okresem 30 s.

Wynik: szybkie wygaszenie kąta natarcia i powolne, słabo tłumione falowanie toru.

Sprawdzenie: amplituda wysokości $\approx U|u|/g = 55\cdot 1{,}2/9{,}81 = 6{,}7$ m, rząd 8 m z symulacji ✓ (energia nie jest tu dokładnie stała, bo podmuch ją zmienił).

7 Błędne intuicje, których trzeba się oduczyć

„Fugoida to wahania nosa samolotu.”: To wahania toru i prędkości. Nos wędruje razem z torem, a kąt natarcia prawie się nie zmienia. Wahania nosa względem toru to oscylacja krótkookresowa.
„Okres fugoidy zależy od konstrukcji samolotu.”: W pierwszym przybliżeniu tylko od prędkości: $T \approx \pi\sqrt2 U/g$ . Konstrukcja wpływa na poprawki i na tłumienie.
„Lepiej mieć jak najmocniej tłumioną krótkookresową.”: Zbyt mocne tłumienie daje ospałą reakcję na drążek. Pilot chce $\zeta$ w okolicach 0,5–0,8.
„Niestateczność statyczna od razu wywraca samolot.”: Tuż za punktem neutralnym niestateczny jest powolny mod (dawna fugoida), z czasem podwojenia kilkunastu sekund. Groźna staje się dopiero kilka procent cięciwy dalej.
„Przybliżenia to tylko ćwiczenie; liczy się pełny model.”: Przybliżenia mówią, które pochodne sterują którym modem. Inżynier projektujący usterzenie albo tłumik myśli właśnie nimi, a pełny model służy do sprawdzenia.

8 Zadania do przemyślenia

Te zadania wymagają więcej myślenia niż liczenia.

Zadania do przemyślenia

5 zadań · ok. 1,5 godziny

Sterowanie ciągiem. W 1989 roku załoga DC-10 lotu 232 straciła wszystkie układy hydrauliczne i sterowała tylko ciągiem silników. Jak, w świetle tej lekcji i lekcji 5, można sterować torem samym ciągiem i dlaczego było to tak trudne?
Rozwiązanie
1. Ciąg ustala kąt toru (lekcja 5), a silniki pod skrzydłami dodają moment pochylający (podnoszą nos przy dodaniu gazu). Dodanie gazu zaczyna wznoszenie, ujęcie opadanie; różnica ciągów silników daje skręt.
2. Ciąg działa przez fugoidę: odpowiedź ma okres dziesiątek sekund i jest słabo tłumiona. Załoga musiała tłumić fugoidę samymi silnikami, z opóźnieniem ich reakcji, co przy podejściu do lądowania jest niezwykle trudne. Po tym wypadku NASA badała automatyczne sterowanie ciągiem (PCA).
Szybowiec. Szybowiec przy 25 m/s. Jaki okres fugoidy przewiduje Lanchester? Dlaczego fugoidę szybowca łatwo zobaczyć, a samolotu odrzutowego trudno?
Rozwiązanie
1. $T = \pi\sqrt2\cdot 25/9{,}81 = 11$ s.
2. Szybowiec ma bardzo mały opór, więc $X_u$ jest małe i fugoida jest słabo tłumiona i krótka: widać ją jako wyraźne falowanie po puszczeniu drążka. Samolot odrzutowy ma fugoidę o okresie ponad minuty: zmiany są powolne i giną w korektach autopilota.
Rozdzielenie modów. Przybliżenia działają, bo częstości różnią się 17 razy. Dla jakich samolotów lub warunków to rozdzielenie się psuje?
Rozwiązanie
1. Gdy $\omega_s$ maleje (mały zapas stateczności, mała prędkość) albo $\omega_p$ rośnie (mała prędkość). Stosunek $\omega_s/\omega_p$ rośnie z prędkością, więc najgorzej jest przy małej prędkości i środku ciężkości z tyłu.
2. Wtedy mody mieszają się (symulacja 2 przy $h \approx 0{,}5$ ), a przybliżenia przestają obowiązywać. Tak bywa przy podejściu do lądowania lekkich samolotów z tylnym środkiem ciężkości i w samolotach z bardzo małym zapasem.
Odwracalność fugoidy. Fugoida bez oporu zachowuje energię. Czy to znaczy, że samolot bez oporu nigdy nie wróci do lotu ustalonego po zaburzeniu? Jak tę „pamięć” zaburzenia usuwa autopilot?
Rozwiązanie
1. Tak: bez tłumienia oscylacja trwa wiecznie, z amplitudą ustaloną przez zaburzenie. Rzeczywiste samoloty tłumią ją oporem, słabo.
2. Autopilot utrzymujący wysokość lub prędkość zamyka pętlę na zmiennych fugoidy (np. wysokość przez ster wysokości albo prędkość przez przepustnicę) i daje jej sztuczne tłumienie. To pętle zewnętrzne z lekcji 9 Autopilot: pętle wewnętrzne i zewnętrzne.
Krótkookresowa i podmuchy. Pilot czuje turbulencję jako przyspieszenia pionowe. Jak częstość krótkookresowej wpływa na to, które podmuchy odczuwa najsilniej? (Wskazówka: rezonans, lekcja Dział 6: Drgania, rezonans i układy liniowe.)
Rozwiązanie
1. W modelu bryły sztywnej z siłami quasi-stacjonarnymi odpowiedź przyspieszenia normalnego na podmuch pionowy jest filtrem górnoprzepustowym z częstością narożną ok. $\omega_s$ (długość fali $2\pi U/\omega_s \approx 98$ m). Podmuchy dłuższe samolot „przejeżdża”: obraca się i zmienia tor, zanim przyrost siły nośnej narośnie. Krótsze przenosi w całości: bezwładność pochylenia nie pozwala mu się do nich dostosować. Przy $\zeta = 0{,}69$ szczyt rezonansowy jest prawie niewidoczny.
2. Bardzo krótkie podmuchy są w rzeczywistości łagodzone przez zjawiska, których ten model nie zawiera: skrzydło wchodzi w podmuch stopniowo, a siła nośna narasta z opóźnieniem (efekt Küssnera). Słabo tłumiona krótkookresowa dawałaby wyraźny rezonans i nieprzyjemne kołysanie: kolejny powód wymagań z części 5.

9 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Czym różnią się fugoida i oscylacja krótkookresowa?

Fugoida: wolna (dziesiątki sekund), słabo tłumiona wymiana prędkości i wysokości przy stałym $\alpha$ . Krótkookresowa: szybka (sekundy), dobrze tłumiona zmiana $\alpha$ i $\theta$ przy stałej prędkości.

2 Jaki okres fugoidy daje przybliżenie Lanchestera?

$T \approx \pi\sqrt2\,U/g$ ; przy 55 m/s 25 s (pełny model 30 s).

3 Co tłumi fugoidę?

Opór rosnący z prędkością ( $X_u$ ): $\zeta_p \approx -X_u/(2m\omega_p)$ .

4 Jaki jest model krótkookresowej?

Dwustanowy $(\alpha, q)$ : $\omega_s^2 = Z_\alpha M_q/(mUJ_y) - M_\alpha/J_y$ , $2\zeta_s\omega_s = -(Z_\alpha/(mU) + (M_q + M_{\dot\alpha})/J_y)$ .

5 Co się dzieje z modami, gdy środek ciężkości zbliża się do punktu neutralnego?

Krótkookresowa wolnieje i staje się aperiodyczna, fugoida wolnieje i rozpada się na pierwiastki rzeczywiste; za punktem neutralnym jeden z nich staje się dodatni.

6 Jakie tłumienie krótkookresowej uznaje się za dobre?

Ok. 0,35–1,3 (MIL-F-8785C, podstawowe fazy lotu), najlepiej 0,5–0,8.

10 Karta wzorów i co dalej

Fugoida

$\omega_p \approx \sqrt2\,g/U$ , $T_p \approx \pi\sqrt2\,U/g$

$\zeta_p \approx -X_u/(2m\omega_p)$

$\Delta h \approx U\Delta u/g$ (energia)

przykład 3.3: 0,209 rad/s, 30 s, $\zeta = 0{,}082$

Krótkookresowa

$\omega_s^2 = \frac{Z_\alpha M_q}{mUJ_y} - \frac{M_\alpha}{J_y}$

$2\zeta_s\omega_s = -\left(\frac{Z_\alpha}{mU} + \frac{M_q + M_{\dot\alpha}}{J_y}\right)$

przykład 3.3: 3,54 rad/s, 2,4 s, $\zeta = 0{,}69$

dobre: $0{,}35 \le \zeta_s \le 1{,}3$ ; fugoida $\zeta_p \ge 0{,}04$

Do przeczytania

Obowiązkowo: A. Tewari, Advanced Control of Aircraft, Spacecraft and Rockets, przykład 3.3 i omówienie przybliżeń obu modów (s. 143–144).
Dla chętnych: E. H. J. Pallett, S. Coyle, Automatic Flight Control, rozdz. 1A (stateczność dynamiczna, rys. 1.14, opis modów z perspektywy pilota); P. H. Zipfel, rozdz. 7.4.2.

Ruch w płaszczyźnie symetrii jest opisany. Ale samolot przechyla się i odchyla, a te ruchy są ze sobą splecione silniej niż ruch podłużny: przechylenie wywołuje ślizg, ślizg odchylenie, odchylenie przechylenie. Następna lekcja odkrywa w tym splocie trzy mody o bardzo różnym charakterze, w tym jeden z najbardziej podstępnych w lotnictwie: powolną spiralę.