Trening: funkcja kwadratowa, trzy postacie i wykres

a) $W(2,\,-1)$   b) $W(-1,\,-9)$   c) $W(3,\,9)$   d) $W(-2,\,-3)$   e) $W(1,\,2)$   f) $W(1,\,\frac52)$

a) $W(4,\,1)$, $[1,\,+\infty)$, rosnąca w $[4,\,+\infty)$   b) $W(-2,\,5)$, $(-\infty,\,5]$, rosnąca w $(-\infty,\,-2]$   c) $W(1,\,-6)$, $[-6,\,+\infty)$, rosnąca w $[1,\,+\infty)$   d) $W(-3,\,0)$, $(-\infty,\,0]$, rosnąca w $(-\infty,\,-3]$   e) $W(-5,\,-2)$, $[-2,\,+\infty)$, rosnąca w $[-5,\,+\infty)$

a) $2$ i $-6$, $p = -2$   b) $-1$ i $7$, $p = 3$   c) $0$ i $5$, $p = \frac52$   d) tylko $-4$, $p = -4$   e) $3$ i $-3$, $p = 0$

a) $t = 5$   b) $t = -6$   c) $6$   d) $-2$   e) $t = -5$

a) $(x - 3)^2 + 2$   b) $(x + 2)^2 - 5$   c) $2(x - 3)^2 - 5$   d) $-(x + 1)^2 + 4$   e) $3(x + 1)^2 - 3$   f) $\left(x - \frac12\right)^2 + \frac34$

a) $(x - 2)(x - 3)$   b) $(x + 4)(x - 3)$   c) $2(x - 2)(x + 2)$   d) $-(x - 2)^2$   e) nie da się: $\Delta = 4 - 12 = -8 < 0$   f) $3(x - 2)(x + 1)$

a) $2x^2 - 4x + 5$   b) $-x^2 - 4x - 3$   c) $x^2 + 2x - 15$   d) $-2x^2 + 6x + 8$

a) $(-1,\,1)$   b) $(3,\,1)$   c) $(2,\,-3)$   d) $(0,\,6)$   e) $(6,\,0)$

a) $-(x + 2)^2 + 3 = -x^2 - 4x - 1$   b) $p = 4$, $f(4) = -4a = 8$, $a = -2$: $-2x^2 + 16x - 24$   c) $W(1,\,2)$, $a + 2 = 4$, $a = 2$: $2x^2 - 4x + 4$   d) $a(x - 1)(x - 3)$, $f(2) = -a = -2$, $a = 2$: $2x^2 - 8x + 6$

a) $p = m = 3$   b) $\Delta = b^2 - 36 = 0$: $b = 6$ albo $b = -6$   c) $-\frac b2 = 2$, więc $b = -4$; $f(2) = 4 - 8 + c = -5$, więc $c = -1$

B.

1. Wierzchołek w połowie między miejscami zerowymi $2$ i $-4$:
2. $p = -1$.
3. D i A to same miejsca zerowe.

A.

1. $p = 3$
2. $q = f(3) = 9 - 18 + 1 = -8$.
3. D to $p$ zamiast $q$, C to $c$.

A. $f(0) = a + 3 = 5$.

D. $p = -\frac{b}{2\cdot(-2)} = \frac b4 = 2$, więc $b = 8$. Znak $a$ w mianowniku to częsta pułapka.

A. $p = -1$, $q = 2\cdot 2\cdot(-2) = -8$, ramiona w górę. C myli zbiór wartości z $p$, D to przedział między miejscami zerowymi.

A. $x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$, więc $f(x) = (x + 4)^2 - 6$.

A. $f(x) = (x + 3)(x - 5) = x^2 - 2x - 15$. C to wartość $c$.

A. $\Delta = 16 - 20 = -4 < 0$. (Wierzchołek $W(2,\,-1)$ leży pod osią, a ramiona idą w dół.)

B.

1. $-5$ i $t$ leżą symetrycznie względem osi $x = 1$:
2. $t = 2\cdot 1 - (-5) = 7$.
3. A to odbicie względem zera, C to druga współrzędna wierzchołka.

a) A. Z punktu $(0,\,3)$: $3 = 4a - 5$, więc $a = 2 > 0$, ramiona w górę i funkcja maleje na lewo od wierzchołka. C i D mylą przedział argumentów z wartością $q$.

b) PF. $-1$ i $5$ leżą symetrycznie względem osi $x = 2$. Przy $a > 0$ zbiór wartości to $[-5,\,+\infty)$.

c) $4$, odbicie $0$ względem osi $x = 2$.

A, C.

1. Postać kanoniczna. z wierzchołka: $f(x) = a(x + 1)^2 + 4$.
2. Współczynnik $a$. $f(1) = 4a + 4 = 0$, więc $a = -1$.
3. Postać ogólna. $-(x + 1)^2 + 4 = -x^2 - 2x + 3$.
4. Pozostałe. B i D to wierzchołek z błędem znaku; E ma dobre miejsca zerowe, ale $a = 1$; F ma ramiona w górę.

2 pkt za dwie poprawne litery, 1 pkt za jedną poprawną (gdy wybrano jedną albo dwie litery). Trzy litery lub więcej: 0 pkt.

1. Wierzchołek. $p = \frac{0 + 4}{2} = 2$, a zbiór wartości $(-\infty,\,8]$ daje $q = 8$.
2. Postać kanoniczna. $f(x) = a(x - 2)^2 + 8$.
3. Współczynnik $a$. z miejsca zerowego $0$: $f(0) = 4a + 8 = 0$, więc $a = -2$.
4. Postać ogólna. $$f(x) = -2(x - 2)^2 + 8 = -2x^2 + 8x.$$

1 pkt za zapisanie $f(x) = a(x - 2)^2 + 8$ ALBO $f(x) = ax(x - 4)$ z warunkiem $f(2) = 8$. 2 pkt za wzór $f(x) = -2x^2 + 8x$.

Uwaga: samo $a = -2$ „odczytane” bez rachunku: 1 pkt.

1. Współczynnik $b$. $p = -\frac b2 = -1$, więc $b = 2$.
2. Współczynnik $c$. $f(-1) = 1 - 2 + c = -4$, więc $c = -3$.
3. Miejsca zerowe. $$\begin{aligned}x^2 + 2x - 3 &= (x + 3)(x - 1) = 0\\ x &= -3 \ \text{lub}\ x = 1.\end{aligned}$$

1 pkt za $b = 2$ ALBO za zapisanie $f(x) = (x + 1)^2 - 4$. 2 pkt za $b = 2$ i $c = -3$ (albo za postać $x^2 + 2x - 3$). 3 pkt za miejsca zerowe $-3$ i $1$.

Uwaga: błąd rachunkowy przy poprawnej metodzie i konsekwentne dokończenie: co najwyżej 2 pkt.

1. Wierzchołek $f$. $f(x) = (x - 2)^2 - 1$, więc $(2,\,-1)$.
2. Przesunięcie. $f(x + 1)$: o $1$ w lewo; $+2$: o $2$ w górę. Wierzchołek $g$: $(1,\,1)$.
3. Wzór $g$. $$g(x) = (x - 1)^2 + 1 = x^2 - 2x + 2.$$

1 pkt za wierzchołek $(1,\,1)$ ALBO za podstawienie $g(x) = (x + 1)^2 - 4(x + 1) + 3 + 2$. 2 pkt za wzór $g(x) = x^2 - 2x + 2$ i wierzchołek.

Uwaga: przesunięcie w złą stronę (wierzchołek $(3,\,1)$) i konsekwentny wzór: co najwyżej 1 pkt.

1. Postać kanoniczna. oś $x = 3$ daje $f(x) = a(x - 3)^2 + q$.
2. Układ równań. $$\begin{cases} f(0) = 9a + q = 5\\ f(1) = 4a + q = 0 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad 5a = 5,\ a = 1,\ q = -4.$$
3. Postać ogólna. $$f(x) = (x - 3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 5.$$

1 pkt za postać $a(x - 3)^2 + q$ z układem równań na $a$ i $q$ ALBO za drugie miejsce zerowe $5$ (odbicie $1$ względem osi) i postać $a(x - 1)(x - 5)$. 2 pkt za $a = 1$ (i $q = -4$). 3 pkt za wzór $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

1. Miejsca zerowe. $-x^2 + 2x + 8 = -(x - 4)(x + 2)$, więc $A = (-2,\,0)$, $B = (4,\,0)$ i $|AB| = 6$.
2. Wierzchołek. $p = 1$, $q = f(1) = 9$: $C = (1,\,9)$, wysokość trójkąta to $9$.
3. Pole. $$P_{ABC} = \tfrac12\cdot 6\cdot 9 = 27.$$

1 pkt za miejsca zerowe ALBO za wierzchołek $C = (1,\,9)$. 2 pkt za miejsca zerowe i wierzchołek. 3 pkt za pole $27$.

1. Miejsce zerowe $f$. $g(3) = f(3 - 3) = f(0) = 0$, więc $0$ jest miejscem zerowym $f$.
2. Współczynnik $a$. $f(x) = a(x + 2)^2 + 8$ i $f(0) = 4a + 8 = 0$, więc $a = -2$.
3. Drugie miejsce zerowe. odbicie $0$ względem osi $x = -2$: $-4$.
4. Postać iloczynowa. $$f(x) = -2x(x + 4).$$

1 pkt za jedno z: miejsce zerowe $f$ równe $0$; wierzchołek wykresu $g$ w punkcie $(1,\,8)$; postać $f(x) = a(x + 2)^2 + 8$. 2 pkt za postać kanoniczną z warunkiem $f(0) = 0$ (równanie $4a + 8 = 0$) ALBO za $f(x) = ax(x + 4)$. 3 pkt za $a = -2$. 4 pkt za wzór $f(x) = -2x(x + 4)$.

Uwaga: zły kierunek przesunięcia (np. miejsce zerowe $f$ równe $6$) i konsekwentne dokończenie: co najwyżej 2 pkt.