3.2 Równania i nierówności kwadratowe, równania wielomianowe w postaci iloczynowej

0 Cztery czynniki, dwa rozwiązania

Ile rozwiązań ma równanie $3x(x - 2)(x^2 + 9) = 0$ ? Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś czynnik. $3x = 0$ daje $0$ , $x - 2 = 0$ daje $2$ , a $x^2 + 9 = 0$ nie ma rozwiązań, bo $x^2 + 9 \ge 9$ . Odpowiedź: dwa rozwiązania. Kto „rozwiąże” $x^2 + 9 = 0$ jako $x = \pm 3$ , dostaje cztery. Ten sam błąd na odwrót dotyczy pierwiastka podwójnego: $(x - 1)^2 = 0$ ma jedno rozwiązanie, nie dwa.

1 Równanie kwadratowe

Trzy drogi do pierwiastków $ax^2 + bx + c = 0$

Wyłączenie (gdy $c = 0$ ): $ax^2 + bx = x(ax + b)$ .
Wzory skróconego mnożenia (gdy $b = 0$ albo widać kwadrat): $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ .
Wyróżnik: $\Delta = b^2 - 4ac$ ; dla $\Delta > 0$ : $x_{1,2} = \dfrac{-b \mp \sqrt\Delta}{2a}$ ; dla $\Delta = 0$ : $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ ; dla $\Delta < 0$ brak pierwiastków.

Przykład 1.1 Bez wyróżnika

Rozwiąż równania: a) $5x^2 = 15x$ ; b) $4x^2 - 25 = 0$ .

a) $5x^2 - 15x = 5x(x - 3) = 0$ , więc $x = 0$ albo $x = 3$ . Dzielenie przez $x$ zgubiłoby rozwiązanie $0$ .
b) $(2x - 5)(2x + 5) = 0$ , więc $x = \pm\tfrac52$ .

Wynik: a) $\{0,\,3\}$ ; b) $\{-\tfrac52,\,\tfrac52\}$ .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

Rozwiąż równanie $x^2 - 5x - 14 = 0$ .
Odpowiedź
1. $\Delta = 25 + 56 = 81$
2. $x = \dfrac{5 \mp 9}{2}$ : $-2$ i $7$ .
Rozwiąż równanie $9x^2 - 6x + 1 = 0$ .

Odpowiedź
$(3x - 1)^2 = 0$ : jedno rozwiązanie $x = \tfrac13$ .

2 Nierówność kwadratowa: pięć kroków

Algorytm (dokładnie tak punktuje klucz)

Przenieś wszystko na jedną stronę: $ax^2 + bx + c \gtrless 0$ .
Policz pierwiastki trójmianu (wyłączenie, wzory albo $\Delta$ ). Za to jest 1 punkt.
Naszkicuj parabolę: ramiona w górę dla $a > 0$ , w dół dla $a < 0$ , przez pierwiastki.
Odczytaj, gdzie parabola jest nad osią ( $> 0$ ) albo pod nią ( $< 0$ ).
Zapisz zbiór z właściwymi nawiasami: przy $\ge$ , $\le$ pierwiastki należą do zbioru. Za to jest drugi punkt.

Nigdy nie dziel obu stron przez wyrażenie z $x$ : klucz daje za to 0 punktów.

Przykład 2.1 Pełne rozwiązanie za 2 punkty

Rozwiąż nierówność $2x^2 - 3x \ge x + 6$ .

$2x^2 - 4x - 6 \ge 0$ , czyli (po podzieleniu przez $2 > 0$ ) $x^2 - 2x - 3 \ge 0$ .
$\Delta = 4 + 12 = 16$ , $\ x_1 = \dfrac{2 - 4}{2} = -1$ , $\ x_2 = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$ .
Ramiona w górę: parabola jest nad osią na zewnątrz pierwiastków.

Wynik: $x \in (-\infty,\,-1] \cup [3,\,+\infty)$ .

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 6 min

Rozwiąż nierówność $x(x - 4) \le 12$ .
Odpowiedź
1. $x^2 - 4x - 12 \le 0$
2. $\Delta = 64$ , pierwiastki $-2$ i $6$ .
3. $x \in [-2,\,6]$ .
Rozwiąż nierówność $-x^2 + 6x - 9 < 0$ .
Odpowiedź
1. $-(x - 3)^2 < 0 \iff (x - 3)^2 > 0$
2. $x \in \mathbb R \setminus \{3\}$ .

3 Równanie w postaci iloczynowej

$W(x) = 0$ , gdy $W$ jest iloczynem

Iloczyn jest równy zero $\iff$ któryś czynnik jest równy zero. Rozwiązania to suma rozwiązań poszczególnych czynników, przy czym:

stała różna od zera (np. $3$ ) nie daje rozwiązań;
czynnik bez pierwiastków ( $x^2 + 9$ , $x^2 + 2x + 5$ z $\Delta < 0$ ) nie daje rozwiązań;
ten sam pierwiastek z dwóch czynników liczymy raz.

Przykład 3.1 Suma rozwiązań z parametrem

Równanie $2(x - 4)(x + m)(3x + 6) = 0$ ma trzy różne rozwiązania, których suma jest równa $0$ . Wyznacz $m$ .

Rozwiązania: $4$ , $-m$ , $-2$ .
$4 - m - 2 = 0$ , więc $m = 2$ . Wtedy rozwiązania to $4$ , $-2$ , $-2$ : tylko dwa różne!
Warunek „trzy różne” wymaga $-m \ne 4$ i $-m \ne -2$ . Dla $m = 2$ nie jest spełniony.

Wynik: nie ma takiego $m$ . Gdyby pominąć słowo „różne”, wynik $m = 2$ też nie byłby poprawny, bo suma rozwiązań $\{4,\,-2\}$ wynosi $2$ , a nie $0$ .

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 6 min

Ile rozwiązań ma równanie $5(x + 1)^2(x^2 - 16) = 0$ ?

Odpowiedź
$-1$ , $-4$ , $4$ : trzy rozwiązania.
Ile rozwiązań ma równanie $x(x^2 - 5)(x^2 + x + 1) = 0$ ?
Odpowiedź
1. $0$ , $\pm\sqrt5$ ; $\ x^2 + x + 1$ ma $\Delta = -3 < 0$ .
2. Trzy rozwiązania.
Równanie $(x - 3)(x + m)(2x - 4) = 0$ ma rozwiązania, których suma jest równa $10$ . Wyznacz $m$ (rozwiązania liczymy bez powtórzeń).
Odpowiedź
1. Rozwiązania $3$ , $2$ , $-m$ .
2. Jeśli $-m \notin \{2,\,3\}$ : $5 - m = 10$ , więc $m = -5$ ( $-m = 5$ ✓).

4 Równanie wymierne prowadzące do kwadratowego

Przykład 4.1 Rozwiązanie z przedziału

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania $\dfrac{2x + 3}{x - 2} = \dfrac{x + 1}{x}$ należące do przedziału $(-\infty,\,0)$ .

Dziedzina: $x \ne 2$ , $x \ne 0$ .
Na krzyż: $x(2x + 3) = (x + 1)(x - 2)$ , czyli $2x^2 + 3x = x^2 - x - 2$ .
$x^2 + 4x + 2 = 0$ , $\ \Delta = 8$ , $\ x = -2 \mp \sqrt2$ .
Oba są ujemne: $-2 - \sqrt2 \approx -3{,}41$ i $-2 + \sqrt2 \approx -0{,}59$ .

Wynik: $x = -2 - \sqrt2$ albo $x = -2 + \sqrt2$ .

Zadania · część 4

1 zadanie · ok. 5 min

Rozwiąż równanie $\dfrac{x + 2}{x - 1} = \dfrac{2x}{x + 1}$ i wybierz rozwiązania z przedziału $(1,\,+\infty)$ .
Odpowiedź
1. Dziedzina $x \ne \pm 1$ .
2. $(x + 2)(x + 1) = 2x(x - 1)$ , czyli $x^2 + 3x + 2 = 2x^2 - 2x$ .
3. $x^2 - 5x - 2 = 0$ , $x = \dfrac{5 \mp \sqrt{33}}{2}$ .
4. Do $(1,\,+\infty)$ należy tylko $\dfrac{5 + \sqrt{33}}{2} \approx 5{,}37$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 31 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · równania

Zestawy A

Rozwiąż równanie.
1. $3x^2 = 12x$
2. $x^2 + 2x - 15 = 0$
Odpowiedzi
a) $0,\ 4$ b) $-5,\ 3$

Poziom B · nierówności

Zestawy B

Rozwiąż nierówność.
1. $x^2 - 3x - 10 < 0$
2. $x^2 + 4x + 4 > 0$
Odpowiedzi
a) $(-2,\,5)$ b) $\mathbb R \setminus \{-2\}$
Przenieś na jedną stronę i rozwiąż.
1. $x(x + 3) \le 10$
Odpowiedzi
a) $[-5,\,2]$

Poziom C · iloczyn i równania wymierne

Zestawy C

Podaj liczbę rozwiązań (albo ich sumę, gdy napisano „suma”).
1. $2x(x - 3)(x^2 + 4) = 0$
Odpowiedzi
a) $2$
Rozwiąż (z dziedziną).
1. $\dfrac{x + 3}{x} = \dfrac{x}{2}$
Odpowiedzi
a) $x \ne 0$ ; $1 - \sqrt7,\ 1 + \sqrt7$

Pełny trening (31 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W każdej sesji z lat 2024–2026 była dokładnie jedna nierówność kwadratowa za 2 punkty. Według sprawozdań CKE zdający uzyskali za nią średnio 68% punktów w 2025 i 73% w 2026, kiedy była najłatwiejszym zadaniem otwartym arkusza. Najczęstsze błędy to zakończenie na pierwiastkach, zły kierunek przy odczycie z paraboli i pomyłki w $\Delta$ . Zadania zamknięte z równaniem w postaci iloczynowej miały łatwość 62–64%: gubiono czynnik bez pierwiastków albo liczono podwójny pierwiastek dwa razy. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 8 pkt · ok. 20 min

(0–2 pkt) Rozwiąż nierówność $2x^2 + 5x \le 3x + 12$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Jedna strona. $2x^2 + 2x - 12 \le 0$ , czyli $x^2 + x - 6 \le 0$ .
2. Pierwiastki. $\Delta = 25$ , $x_1 = -3$ , $x_2 = 2$ .
3. Zbiór. ramiona w górę, parabola pod osią między pierwiastkami: $x \in [-3,\,2]$ .
1 pkt za pierwiastki $-3$ i $2$ . 2 pkt za zbiór $[-3,\,2]$ (albo za poprawny rysunek z zaznaczonym zbiorem).

Uwaga: zapis zbioru musi jednoznacznie pokazywać domknięcie końców.
(0–1 pkt) Równanie $4x(x + 2)^2(x^2 + 16) = 0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

A.dwa rozwiązaniaB.trzy rozwiązaniaC.cztery rozwiązaniaD.pięć rozwiązań
Odpowiedź
A.
1. $0$ i $-2$ ; czynnik $x^2 + 16$ nie ma pierwiastków.
2. D to „pięć czynników liniowych”, C to $\pm 4$ z $x^2 + 16$ .
(0–1 pkt) Równanie $(x + 5)(x - m)(3x - 6) = 0$ ma trzy różne rozwiązania, których suma jest równa $4$ . Wtedy

A. $m = -7$ B. $m = -1$ C. $m = 1$ D. $m = 7$
Odpowiedź
D.
1. Rozwiązania $-5$ , $m$ , $2$ .
2. $-3 + m = 4$ , więc $m = 7$ (różne od $-5$ i $2$ ✓).
(0–1 pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-x^2 + 4 > 0$ jest

A. $(-2,\,2)$ B. $(-\infty,\,-2) \cup (2,\,+\infty)$ C. $(-4,\,4)$ D. $(-\infty,\,2)$
Odpowiedź
A.
1. $x^2 < 4$
2. $-2 < x < 2$ .
(0–3 pkt) Rozwiąż równanie $\dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{x + 1}{2x}$ . Podaj rozwiązania należące do przedziału $(0,\,+\infty)$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Dziedzina. $x \ne -2$ , $x \ne 0$ .
2. Na krzyż. $2x(3x - 1) = (x + 1)(x + 2)$ , czyli $6x^2 - 2x = x^2 + 3x + 2$ .
3. Kwadratowe. $5x^2 - 5x - 2 = 0$ , $\ \Delta = 25 + 40 = 65$ : $x = \frac{5 \mp \sqrt{65}}{10}.$
4. Wybór. $\frac{5 - \sqrt{65}}{10} < 0$ , $\ \frac{5 + \sqrt{65}}{10} \approx 1{,}31 > 0$ .
1 pkt za równanie kwadratowe $5x^2 - 5x - 2 = 0$ . 2 pkt za oba rozwiązania. 3 pkt za wybór $x = \frac{5 + \sqrt{65}}{10}$ .

Uwaga: błędne wymnożenie, np. $(3x - 1)(x + 1) = (x + 2) \cdot 2x$ , to błąd metody i daje 0 pkt.

7 Najczęstsze błędy

„Policzyłem pierwiastki, więc koniec.”: To 1 punkt z 2. Zbiór rozwiązań nierówności trzeba zapisać.
„ $x^2 \le 9$ , więc $x \le 3$ .”: $x^2 \le 9 \iff -3 \le x \le 3$ . Pierwiastkowanie nierówności gubi ujemne liczby.
„ $5x^2 = 15x$ , dzielę przez $x$ : $x = 3$ .”: Zgubione rozwiązanie $x = 0$ . Wyłączaj, nie dziel.
„ $x^2 + 9 = 0$ daje $x = \pm 3$ .”: $x^2 = -9$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.
„ $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ , więc $A \cdot C = B \cdot D$ .”: Na krzyż to $A \cdot D = B \cdot C$ . Pomyłka jest błędem metody: 0 punktów.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Dla

a > 0

\Delta > 0

: gdzie jest zbiór rozwiązań

ax^2 + bx + c < 0

Między pierwiastkami.

2 Jaki jest zbiór rozwiązań

x^2 + 1 > 0

$\mathbb R$ .

3 Ile rozwiązań ma

(x - 2)^2(x + 2) = 0

Dwa: $2$ i $-2$ .

4 Co trzeba zrobić z rozwiązaniami równania wymiernego?

Sprawdzić, czy należą do dziedziny (i do przedziału, jeśli zadanie go podaje).

9 Karta wzorów i co dalej

Kwadratowe

$\Delta = b^2 - 4ac$ , $\ x_{1,2} = \frac{-b \mp \sqrt\Delta}{2a}$

$a > 0$ : $> 0$ na zewnątrz, $< 0$ między

Iloczyn

zero, gdy któryś czynnik zero

$x^2 + k$ , $k > 0$ : brak pierwiastków

pierwiastek podwójny liczymy raz

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są wzory na $\Delta$ , pierwiastki i postać iloczynową trójmianu. Algorytmu nierówności broszura nie podaje.

Dalej: dla rozszerzenia nierówności wielomianowe (lekcja 3.3 Nierówności wielomianowe i równania dwukwadratowe) i wzory Viète'a z parametrem (3.6 Wzory Viète'a i równania z parametrem); funkcję kwadratową opisuje lekcja 5.3 Funkcja kwadratowa: trzy postacie i wykres.