3.3 Nierówności wielomianowe i równania dwukwadratowe

0 Znak iloczynu

Iloczyn $(x + 2)(x - 1)(x - 3)$ jest dodatni, gdy ujemnych czynników jest parzyście wiele. Dla bardzo dużego $x$ wszystkie trzy są dodatnie, więc iloczyn też. Przy przejściu przez $x = 3$ czynnik $x - 3$ zmienia znak, więc zmienia się znak całości. Potem tak samo przy $1$ i przy $-2$ . Stąd zbiór $(x + 2)(x - 1)(x - 3) > 0$ to $(-2,\,1) \cup (3,\,+\infty)$ . Rysunek, na którym znak „wije się” przez kolejne pierwiastki, nazywa się w szkole wężykiem.

1 Metoda „wężyka”

Przepis na $W(x) \gtrless 0$

Rozłóż $W$ na czynniki liniowe i kwadratowe bez pierwiastków: $W(x) = a(x - x_1)^{k_1}\cdots(x - x_n)^{k_n}\cdot Q(x)$ , gdzie $Q > 0$ .
Zaznacz pierwiastki na osi. Zacznij z prawej strony od znaku $a$ .
Idąc w lewo, przy pierwiastku nieparzystej krotności zmień znak, przy parzystej zostaw (wykres się odbija).
Odczytaj przedziały; przy $\ge$ i $\le$ dołącz wszystkie pierwiastki, także te parzystej krotności, wokół których znak jest „zły”.

Przykład 1.1 Pierwiastek podwójny

Rozwiąż nierówność $(x + 3)(x + 1)(x - 2)^2 \le 0$ .

Pierwiastki: $-3$ (1), $-1$ (1), $2$ (2). Współczynnik przy $x^4$ dodatni.
Znaki od prawej: $(2,\,+\infty)$ : $+$ ; przy $2$ bez zmiany: $(-1,\,2)$ : $+$ ; przy $-1$ zmiana: $(-3,\,-1)$ : $-$ ; przy $-3$ zmiana: $(-\infty,\,-3)$ : $+$ .
$\le 0$ : przedział ze znakiem $-$ z końcami oraz pierwiastek $2$ .

Wynik: $x \in [-3,\,-1] \cup \{2\}$ .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 5 min

Rozwiąż nierówność $-x(x - 4)(x + 1) > 0$ .
Odpowiedź
1. Pierwiastki $-1$ , $0$ , $4$ ; współczynnik przy $x^3$ ujemny.
2. Znaki od prawej: $-$ , $+$ , $-$ , $+$ .
3. $x \in (-\infty,\,-1) \cup (0,\,4)$ .
Rozwiąż nierówność $(x - 1)^2(x + 2) > 0$ .
Odpowiedź
1. Dla $x \ne 1$ kwadrat jest dodatni, więc znak to znak $x + 2$ .
2. $x > -2$ i $x \ne 1$ : $(-2,\,1) \cup (1,\,+\infty)$ .

2 Najpierw rozkład

Narzędzia rozkładu są w lekcji 2.2 Wielomiany: dzielenie, rozkład na czynniki, pierwiastki całkowite: wyłączanie przed nawias, grupowanie, wzory skróconego mnożenia, pierwiastki całkowite i dzielenie przez dwumian. Zanim zaczniesz szukać pierwiastków, sprawdź grupowanie: często wystarcza.

Przykład 2.1 Grupowanie

Rozwiąż nierówność $x^3 - 2x^2 - 9x + 18 \ge 0$ .

$x^2(x - 2) - 9(x - 2) = (x - 2)(x^2 - 9) = (x - 2)(x - 3)(x + 3)$ .
Pierwiastki $-3$ , $2$ , $3$ (pojedyncze), współczynnik dodatni: od prawej $+$ , $-$ , $+$ , $-$ .

Wynik: $x \in [-3,\,2] \cup [3,\,+\infty)$ .

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 8 min

Rozwiąż nierówność $x^3 + 4x^2 + 4x < 0$ .
Odpowiedź
1. $x(x + 2)^2 < 0$ .
2. Dla $x \ne -2$ znak to znak $x$ : $x < 0$ , $x \ne -2$ .
3. $(-\infty,\,-2) \cup (-2,\,0)$ .
Rozwiąż nierówność $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 \le 0$ .
Odpowiedź
1. $x^2(x - 3) - 4(x - 3) = (x - 3)(x - 2)(x + 2)$ .
2. Znaki od prawej: $+$ , $-$ , $+$ , $-$ .
3. $x \in (-\infty,\,-2] \cup [2,\,3]$ .

3 Równania dwukwadratowe

$ax^4 + bx^2 + c = 0$

Podstaw $t = x^2$ z warunkiem $t \ge 0$ : $at^2 + bt + c = 0$ . Każde $t > 0$ daje dwa rozwiązania $x = \pm\sqrt t$ , $t = 0$ daje jedno ( $x = 0$ ), $t < 0$ nie daje żadnego.

Przykład 3.1 Podstawienie

Rozwiąż równanie $x^4 - 7x^2 - 18 = 0$ .

$t = x^2 \ge 0$ : $t^2 - 7t - 18 = 0$ , $(t - 9)(t + 2) = 0$ .
$t = 9$ daje $x = \pm 3$ ; $t = -2 < 0$ odrzucamy.

Wynik: $x \in \{-3,\,3\}$ .

Zadania · część 3

1 zadanie · ok. 4 min

Rozwiąż nierówność $x^4 - 10x^2 + 9 < 0$ .
Odpowiedź
1. $(x^2 - 1)(x^2 - 9) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)$ .
2. Znaki od prawej: $+$ , $-$ , $+$ , $-$ , $+$ .
3. $x \in (-3,\,-1) \cup (1,\,3)$ .

4 Liczba rozwiązań z parametrem

Przykład 4.1 Cztery rozwiązania

Dla jakich $m$ równanie $x^4 - 4x^2 + m = 0$ ma cztery różne rozwiązania?

$t = x^2$ : $t^2 - 4t + m = 0$ musi mieć dwa różne dodatnie pierwiastki.
$\Delta = 16 - 4m > 0$ , czyli $m < 4$ .
Oba dodatnie: $t_1 + t_2 = 4 > 0$ ✓ i $t_1 t_2 = m > 0$ .

Wynik: $m \in (0,\,4)$ . Dla $m = 0$ jest $t = 0$ i $t = 4$ : trzy rozwiązania ( $0$ , $\pm 2$ ).

Zadania · część 4

1 zadanie · ok. 5 min

Dla jakich $m$ równanie $x^4 - 2x^2 + m - 3 = 0$ ma dokładnie dwa rozwiązania?
Odpowiedź
1. $t^2 - 2t + m - 3 = 0$ , $t \ge 0$ . Dwa rozwiązania $x$ są wtedy, gdy jest dokładnie jedno $t > 0$ (i nie ma $t = 0$ ).
2. Podwójny pierwiastek $t = 1$ : $\Delta = 4 - 4(m - 3) = 0$ , czyli $m = 4$ .
3. Albo pierwiastki różnych znaków: $t_1 t_2 = m - 3 < 0$ , czyli $m < 3$ .
4. $m \in (-\infty,\,3) \cup \{4\}$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 25 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · postać iloczynowa

Zestawy A

Rozwiąż nierówność.
1. $(x - 1)(x + 2)(x - 4) < 0$
2. $(x + 1)^2(x - 3) \le 0$
Odpowiedzi
a) $(-\infty,\,-2) \cup (1,\,4)$ b) $(-\infty,\,3]$

Poziom B · najpierw rozkład

Zestawy B

Rozłóż i rozwiąż.
1. $x^3 - 4x \ge 0$
2. $x^3 - 7x + 6 \le 0$
Odpowiedzi
a) $[-2,\,0] \cup [2,\,+\infty)$ b) $(-\infty,\,-3] \cup [1,\,2]$

Poziom C · dwukwadratowe

Zestawy C

Rozwiąż.
1. $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
Odpowiedzi
a) $\pm 2,\ \pm 3$
Podaj liczbę rozwiązań równania $x^4 - 6x^2 + m = 0$ dla podanego $m$ .
1. $m = 5$
Odpowiedzi
a) $4$

Pełny trening (25 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach rozszerzonych z lat 2024–2026 nie było osobnego zadania z nierównością wielomianową. Nierówności tego typu pojawiają się jako etap: w zadaniu z wartością bezwzględną z maja 2026 jedna z dróg prowadziła przez nierówność stopnia czwartego z pierwiastkiem podwójnym, a sprawozdanie CKE odnotowuje, że często pomijano warunek $x \ne 3$ . W informatorze nierówności wielomianowe od parametru są fragmentem zadania za 6 punktów. Poniższe zadania są nasze; ćwiczą to samo narzędzie w osobnych zadaniach.

Zadania w stylu maturalnym

4 zadania · 12 pkt · ok. 30 min

(0–3 pkt) Rozwiąż nierówność $x^3 + x^2 - 8x - 12 \ge 0$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Pierwiastek. dzielniki $12$ ; $W(3) = 27 + 9 - 24 - 12 = 0$ .
2. Rozkład. Horner przez $x - 3$ : $1$ ; $4$ ; $4$ ; $0$ , czyli $W(x) = (x - 3)(x^2 + 4x + 4) = (x - 3)(x + 2)^2$ .
3. Znak. $(x + 2)^2 \ge 0$ ; dla $x \ne -2$ znak to znak $x - 3$ .
4. Wynik. $x \in \{-2\} \cup [3,\,+\infty)$ .
1 pkt za znalezienie pierwiastka $3$ . 2 pkt za rozkład $(x - 3)(x + 2)^2$ . 3 pkt za zbiór $\{-2\} \cup [3,\,+\infty)$ .

Uwaga: odpowiedź $[3,\,+\infty)$ bez $-2$ to typowa utrata ostatniego punktu.
(0–2 pkt) Rozwiąż równanie $2x^4 - 7x^2 - 4 = 0$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Podstawienie. $t = x^2 \ge 0$ : $2t^2 - 7t - 4 = 0$ , $\Delta = 81$ , $t = 4$ albo $t = -\tfrac12$ .
2. Wynik. $t = 4$ : $x = \pm 2$ ; $t = -\frac12$ odrzucamy.
1 pkt za rozwiązania równania w $t$ . 2 pkt za $x = \pm 2$ z odrzuceniem $t < 0$ .
(0–3 pkt) Rozwiąż nierówność $(x^2 - 4)(x^2 - 6x + 9) < 0$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Rozkład. $(x - 2)(x + 2)(x - 3)^2$ .
2. Znak. dla $x \ne 3$ znak to znak $(x - 2)(x + 2)$ : ujemny dla $-2 < x < 2$ .
3. Wynik. $x \in (-2,\,2)$ (liczba $3$ nie spełnia nierówności ostrej i nie leży w tym przedziale).
1 pkt za rozkład na czynniki liniowe. 2 pkt za poprawny układ znaków z uwzględnieniem pierwiastka podwójnego. 3 pkt za zbiór $(-2,\,2)$ .
(0–4 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^4 - (m + 1)x^2 + m = 0$ ma dokładnie cztery różne rozwiązania.
Rozwiązanie i punktacja
1. Podstawienie. $t = x^2$ : $t^2 - (m + 1)t + m = (t - 1)(t - m) = 0$ , czyli $t = 1$ albo $t = m$ .
2. Warunek. potrzeba dwóch różnych dodatnich $t$ : $m > 0$ i $m \ne 1$ .
3. Wynik. $m \in (0,\,1) \cup (1,\,+\infty)$ .
1 pkt za równanie w $t$ . 2 pkt za pierwiastki $t = 1$ , $t = m$ (albo za warunki $\Delta > 0$ , $t_1t_2 > 0$ , $t_1 + t_2 > 0$ ). 3 pkt za warunki $m > 0$ i $m \ne 1$ . 4 pkt za odpowiedź.

7 Najczęstsze błędy

„Przy każdym pierwiastku znak się zmienia.”: Tylko przy pierwiastku nieparzystej krotności. Przy $(x - 2)^2$ znak zostaje.
„ $(x - 3)^2(x + 1) \ge 0$ , więc $x \ge -1$ .”: To prawda, ale przy $> 0$ trzeba wykluczyć $x = 3$ , a przy $\le 0$ dołączyć $\{3\}$ do $(-\infty,\,-1]$ .
„Zaczynam od znaku $+$ z prawej.”: Zaczynasz od znaku współczynnika przy najwyższej potędze. Przy $-x^3 + \dots$ z prawej jest $-$ .
„ $x^2 + 4$ to czynnik z pierwiastkami $\pm 2$ .”: $x^2 + 4 > 0$ zawsze. Nie zmienia znaku i nie daje pierwiastków.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jaki znak ma

-2x^5 + \dots

dla bardzo dużych

x

Ujemny.

2 Czy

x = 1

należy do zbioru rozwiązań

(x - 1)^4(x + 5) > 0

Nie: tam wielomian jest równy $0$ .

3 Ile rozwiązań ma

x^4 = 16

Dwa: $\pm 2$ .

4 Ile rozwiązań daje

t = x^2 = 0

Jedno: $x = 0$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Wężyk

start z prawej: znak $a_n$

nieparzysta krotność: zmiana; parzysta: odbicie

$\ge$ , $\le$ : dołącz wszystkie pierwiastki

Dwukwadratowe

$t = x^2 \ge 0$

$t > 0$ : dwa $x$ , $\ t = 0$ : jedno, $\ t < 0$ : żadne

Broszura CKE „Wybrane wzory matematyczne” nie opisuje metody wężyka ani podstawienia $t = x^2$ .

Dalej: równania i nierówności wymierne (lekcja 3.4 Wyrażenia, równania i nierówności wymierne), wartość bezwzględna (3.5 Równania i nierówności z wartością bezwzględną).