3.4 Wyrażenia, równania i nierówności wymierne · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Mnożenie, którego nie wolno zrobić

Nierówność $\dfrac{x - 2}{x + 1} \ge 1$ . Pomnożenie przez $x + 1$ daje $x - 2 \ge x + 1$ , czyli $-2 \ge 1$ : brak rozwiązań. A przecież $x = -2$ daje $\frac{-4}{-1} = 4 \ge 1$ . Błąd: dla $x < -1$ czynnik $x + 1$ jest ujemny i zwrot powinien się odwrócić. Bezpieczna droga to przeniesienie wszystkiego na jedną stronę: $\frac{x - 2}{x + 1} - 1 = \frac{-3}{x + 1} \ge 0$ , co zachodzi dokładnie dla $x + 1 < 0$ . Wynik: $x \in (-\infty,\,-1)$ .

1 Działania na wyrażeniach wymiernych

Wyrażenie wymierne $\dfrac{W(x)}{Q(x)}$

Dziedzina: wszystkie $x$ , dla których $Q(x) \ne 0$ (we wszystkich mianownikach, także tych, które znikną po skróceniu).
Dodawanie: rozłóż mianowniki na czynniki, weź najmniejszy wspólny mianownik, rozszerz ułamki.
Skracanie tylko przez czynnik wspólny licznika i mianownika, nigdy przez składnik.

Przykład 1.1 Suma ułamków

Zapisz w najprostszej postaci $\dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{8}{x^2 - 4}$ i podaj dziedzinę.

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ ; dziedzina $\mathbb R \setminus \{-2,\,2\}$ .
$\dfrac{2(x + 2) - 8}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{2x - 4}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{2(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}$ .

Wynik: $\dfrac{2}{x + 2}$ dla $x \in \mathbb R \setminus \{-2,\,2\}$ . Liczba $2$ zostaje wykluczona, choć zniknęła z mianownika.

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 5 min

Uprość $\dfrac{x}{x + 3} + \dfrac{3}{x - 3} - \dfrac{18}{x^2 - 9}$ .
Odpowiedź
1. Wspólny mianownik $(x - 3)(x + 3)$ .
2. Licznik $x(x - 3) + 3(x + 3) - 18 = x^2 - 9$ .
3. Wynik $1$ dla $x \ne \pm 3$ .
Uprość $\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}$ i podaj wartość dla $x = \sqrt2$ .
Odpowiedź
1. $\dfrac{1}{x(x + 1)}$
2. $\dfrac{1}{2 + \sqrt2} = \dfrac{2 - \sqrt2}{2}$ .

2 Równania wymierne

$\dfrac{W(x)}{Q(x)} = 0 \iff W(x) = 0 \ \text{i}\ Q(x) \ne 0$

Przenieś wszystko na jedną stronę, sprowadź do jednego ułamka, przyrównaj licznik do zera i odrzuć liczby spoza dziedziny.

Przykład 2.1 Odrzucony pierwiastek

Rozwiąż równanie $\dfrac{x}{x - 1} + \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{2}{x^2 - 1}$ .

Dziedzina $x \ne \pm 1$ . Mnożymy przez $x^2 - 1$ (to wolno w równaniu, bo w dziedzinie jest różne od zera): $x(x + 1) + (x - 1) = 2$ .
$x^2 + 2x - 3 = 0$ , czyli $(x + 3)(x - 1) = 0$ .
$x = 1$ nie należy do dziedziny.

Wynik: $x = -3$ .

Zadania · część 2

1 zadanie · ok. 4 min

Rozwiąż równanie $\dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{2}{x} = 1$ .
Odpowiedź
1. $x \ne 0,\,2$ ; $\ 3x - 2(x - 2) = x(x - 2)$ .
2. $x + 4 = x^2 - 2x$ , czyli $x^2 - 3x - 4 = 0$ .
3. $x = -1$ albo $x = 4$ .

3 Nierówności wymierne

$\dfrac{W(x)}{Q(x)} \gtrless 0$

Wyznacz dziedzinę: $Q(x) \ne 0$ .
Przenieś wszystko na jedną stronę i sprowadź do jednego ułamka. Nie mnóż przez mianownik o nieznanym znaku.
Iloraz ma ten sam znak co iloczyn: $\dfrac WQ > 0 \iff W \cdot Q > 0$ ; $\ \dfrac WQ \ge 0 \iff W \cdot Q \ge 0$ i $Q \ne 0$ .
Rozwiąż nierówność wielomianową metodą wężyka (lekcja 3.3 Nierówności wielomianowe i równania dwukwadratowe); pierwiastki mianownika zawsze wykluczone.

Przykład 3.1 Nieostra nierówność wymierna

Rozwiąż nierówność $\dfrac{x + 3}{x - 1} \le 2$ .

Dziedzina $x \ne 1$ . $\ \dfrac{x + 3}{x - 1} - 2 = \dfrac{x + 3 - 2x + 2}{x - 1} = \dfrac{-x + 5}{x - 1} \le 0$ .
$\iff (5 - x)(x - 1) \le 0$ i $x \ne 1$ , czyli $(x - 5)(x - 1) \ge 0$ , $x \ne 1$ .
$(x - 5)(x - 1) \ge 0$ dla $x \le 1$ albo $x \ge 5$ ; wykluczamy $1$ .

Wynik: $x \in (-\infty,\,1) \cup [5,\,+\infty)$ .

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 8 min

Rozwiąż nierówność $\dfrac{2x - 1}{x + 2} > 1$ .
Odpowiedź
1. $\dfrac{x - 3}{x + 2} > 0$
2. $(x - 3)(x + 2) > 0$ : $x \in (-\infty,\,-2) \cup (3,\,+\infty)$ .
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 2x - 3} \ge 0$ .
Odpowiedź
1. $\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 3)(x + 1)} \ge 0$ , dziedzina $x \ne -1,\,3$ .
2. Pierwiastki $-2$ , $-1$ , $2$ , $3$ ; znaki od prawej: $+$ , $-$ , $+$ , $-$ , $+$ .
3. $x \in (-\infty,\,-2] \cup (-1,\,2] \cup (3,\,+\infty)$ .

4 Nierówność wymierna z parametrem

Przykład 4.1 Etap z zadania o wzorach Viète'a

Pierwiastki równania $(3 - m)x^2 + 2x + m + 5 = 0$ mają iloczyn $x_1x_2 = \dfrac{m + 5}{3 - m}$ . Dla jakich $m$ ten iloczyn jest dodatni?

$\dfrac{m + 5}{3 - m} > 0 \iff (m + 5)(3 - m) > 0$ .
Parabola w zmiennej $m$ z ramionami w dół, pierwiastki $-5$ i $3$ .

Wynik: $m \in (-5,\,3)$ . Mnożenie „na krzyż” do $m + 5 > 3 - m$ dałoby $m > -1$ : błąd, za który w kluczu traci się punkt etapu.

Zadania · część 4

1 zadanie · ok. 4 min

Dla jakich $m$ zachodzi $\dfrac{2m - 1}{m + 2} < 1$ ?
Odpowiedź
1. $\dfrac{m - 3}{m + 2} < 0$
2. $(m - 3)(m + 2) < 0$ : $m \in (-2,\,3)$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 23 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · wyrażenia

Zestawy A

Uprość i podaj dziedzinę.
1. $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x + 1}$
2. $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$
Odpowiedzi
a) $\dfrac{3x + 1}{x(x + 1)}$ ; $x \ne 0,\,-1$ b) $\dfrac{x - 3}{x}$ ; $x \ne 0,\,-3$

Poziom B · równania

Zestawy B

Rozwiąż.
1. $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$
2. $\dfrac{x + 1}{x - 1} - \dfrac{x - 1}{x + 1} = \dfrac{8}{x^2 - 1}$
Odpowiedzi
a) $-2$ b) $2$

Poziom C · nierówności

Zestawy C

Rozwiąż nierówność.
1. $\dfrac{x - 4}{x + 1} < 0$
2. $\dfrac{x}{x - 1} \le 2$
Odpowiedzi
a) $(-1,\,4)$ b) $(-\infty,\,1) \cup [2,\,+\infty)$
Wyznacz wartości parametru.
1. $\dfrac{m + 4}{1 - m} > 0$
Odpowiedzi
a) $(-4,\,1)$

Pełny trening (23 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach rozszerzonych z lat 2024–2026 nie było samodzielnego zadania z nierównością wymierną. Takie nierówności są jednak etapem prawie każdego zadania z parametrem i wzorami Viète'a (lekcja 3.6 Wzory Viète'a i równania z parametrem), np. warunek $\frac{m + 8}{2 - m} > 0$ w maju 2025. W informatorze CKE dwie nierówności wymierne od parametru są częścią zadania za 6 punktów. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

4 zadania · 12 pkt · ok. 30 min

(0–3 pkt) Rozwiąż nierówność $\dfrac{x + 1}{x - 2} \ge \dfrac{x}{x + 2}$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Dziedzina. $x \ne \pm 2$ .
2. Jeden ułamek. $\dfrac{(x + 1)(x + 2) - x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{5x + 2}{(x - 2)(x + 2)} \ge 0$ .
3. Wężyk. pierwiastki $-2$ , $-\tfrac25$ , $2$ ; iloczyn $(5x + 2)(x - 2)(x + 2) \ge 0$ dla $x \in [-2,\,-\tfrac25] \cup [2,\,+\infty)$ .
4. Dziedzina. wykluczamy $\pm 2$ : $x \in (-2,\,-\tfrac25] \cup (2,\,+\infty)$ .
1 pkt za dziedzinę i sprowadzenie do jednego ułamka. 2 pkt za nierówność wielomianową równoważną. 3 pkt za zbiór z wykluczonymi $\pm 2$ .
(0–3 pkt) Rozwiąż równanie $\dfrac{2}{x + 1} + \dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{6}{x^2 - x - 2}$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Dziedzina. $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ , więc $x \ne -1,\,2$ .
2. Mnożenie. $2(x - 2) + x(x + 1) = 6$ , czyli $x^2 + 3x - 10 = 0$ .
3. Wynik. $(x + 5)(x - 2) = 0$ ; $x = 2$ poza dziedziną, zostaje $x = -5$ .
1 pkt za dziedzinę. 2 pkt za równanie kwadratowe i jego pierwiastki. 3 pkt za odrzucenie $2$ i odpowiedź $-5$ .
(0–2 pkt) Wyznacz wszystkie wartości $m$ , dla których $\dfrac{m^2 - 9}{m - 1} \le 0$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Iloczyn. $(m - 3)(m + 3)(m - 1) \le 0$ , $m \ne 1$ .
2. Wynik. znaki od prawej: $+$ , $-$ , $+$ , $-$ : $m \in (-\infty,\,-3] \cup (1,\,3]$ .
1 pkt za nierówność wielomianową z warunkiem $m \ne 1$ . 2 pkt za zbiór.
(0–4 pkt) Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ takich, że $a + b = 2$ , prawdziwa jest nierówność $\dfrac{1}{a + 1} + \dfrac{1}{b + 1} \ge 1$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Jeden ułamek. $\dfrac{(b + 1) + (a + 1)}{(a + 1)(b + 1)} = \dfrac{4}{ab + a + b + 1} = \dfrac{4}{ab + 3}$ .
2. Równoważność. mianownik dodatni, więc nierówność $\iff 4 \ge ab + 3 \iff ab \le 1$ .
3. Szacowanie. $b = 2 - a$ : $\ ab = 2a - a^2 = 1 - (a - 1)^2 \le 1$ .
4. Wniosek. nierówność prawdziwa; równość dla $a = b = 1$ .
1 pkt za sprowadzenie do $\frac{4}{ab + 3}$ . 2 pkt za równoważną nierówność $ab \le 1$ z uzasadnieniem znaku mianownika. 3 pkt za $ab = 1 - (a - 1)^2$ (albo nierówność między średnimi). 4 pkt za pełny dowód.

7 Najczęstsze błędy

„ $\frac{x - 2}{x + 1} \ge 1$ , więc $x - 2 \ge x + 1$ .”: Mnożenie przez $x + 1$ wymagałoby znajomości jego znaku. Przenieś na jedną stronę.
„Po skróceniu $(x - 2)$ dziedzina się rozszerza.”: Dziedzinę wyznacza się przed skróceniem i ona się nie zmienia.
„ $\frac{W}{Q} \ge 0 \iff W \cdot Q \ge 0$ .”: Trzeba dodać $Q \ne 0$ : pierwiastki mianownika spełniają $W \cdot Q = 0$ , ale nie należą do dziedziny.
„ $\frac{x + 3}{x} = 1 + 3$ .”: Skraca się czynniki, nie składniki: $\frac{x + 3}{x} = 1 + \frac3x$ .

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Kiedy

\frac{W(x)}{Q(x)} = 0

Gdy $W(x) = 0$ i $Q(x) \ne 0$ .

2 Jaki znak ma

\frac{a}{b}

w porównaniu z

ab

Ten sam (dla $b \ne 0$ ).

3 Jaka jest dziedzina

\frac{x - 1}{x^2 - x}

$\mathbb R \setminus \{0,\,1\}$ .

4 Czy w równaniu wymiernym wolno pomnożyć przez mianownik?

Tak, w dziedzinie (jest tam różny od zera). W nierówności nie, jeśli nie znasz jego znaku.

9 Karta wzorów i co dalej

Równanie

$\frac WQ = 0 \iff W = 0 \wedge Q \ne 0$

dziedzina przed skracaniem

Nierówność

jedna strona, jeden ułamek

$\frac WQ \gtrless 0 \iff WQ \gtrless 0$ , $Q \ne 0$

Broszura CKE „Wybrane wzory matematyczne” nie zawiera reguł z tej lekcji.

Dalej: wartość bezwzględna (lekcja 3.5 Równania i nierówności z wartością bezwzględną) i wzory Viète'a z parametrem (3.6 Wzory Viète'a i równania z parametrem).