3.6 Wzory Viète'a i równania z parametrem · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Cztery etapy, cztery punkty

Zadanie z parametrem wygląda groźnie, ale jego klucz jest zawsze podobny: osobny punkt za $\Delta > 0$ , punkt za warunek znaku (jeśli jest), trzy punkty za przeliczenie warunku na nierówność w $m$ i jej rozwiązanie, punkt za część wspólną. Kto zapisze $\Delta > 0$ i wzory Viète'a, ma już punkty, nawet jeśli nie dokończy rachunku. Kto napisze $\Delta \ge 0$ przy „dwóch różnych” pierwiastkach, traci punkt pierwszego etapu.

1 Wzory Viète'a

Dla $ax^2 + bx + c = 0$ , $a \ne 0$ , $\Delta \ge 0$

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = s, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a} = p.

Wzory działają tylko wtedy, gdy pierwiastki istnieją, dlatego warunek na $\Delta$ jest zawsze pierwszym etapem. Gdy $a$ zależy od parametru, osobno rozpatrz $a = 0$ (równanie liniowe) albo wpisz $a \ne 0$ do warunków.

Przykład 1.1 Suma i iloczyn bez liczenia pierwiastków

Pierwiastki równania $2x^2 - 6x + 1 = 0$ to $x_1$ , $x_2$ . Oblicz $x_1 + x_2$ , $x_1x_2$ i $\frac1{x_1} + \frac1{x_2}$ .

$\Delta = 36 - 8 = 28 > 0$ ✓.
$s = 3$ , $p = \tfrac12$ .
$\dfrac1{x_1} + \dfrac1{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \dfrac{3}{1/2} = 6$ .

Wynik: $3$ , $\tfrac12$ , $6$ .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

Dla równania $x^2 + 5x - 3 = 0$ oblicz $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$ .
Odpowiedź
1. $\Delta = 37 > 0$ ; $s = -5$ , $p = -3$ .
2. $x_1x_2(x_1 + x_2) = 15$ .
Dla jakich $m$ równanie $(m - 1)x^2 + 4x + 1 = 0$ ma dwa różne pierwiastki?
Odpowiedź
1. $a \ne 0$ : $m \ne 1$ .
2. $\Delta = 16 - 4(m - 1) = 20 - 4m > 0$ : $m < 5$ .
3. $m \in (-\infty,\,1) \cup (1,\,5)$ .

2 Wyrażenia symetryczne przez $s$ i $p$

Najczęstsze przekształcenia

\begin{aligned} x_1^2 + x_2^2 &= s^2 - 2p \\ (x_1 - x_2)^2 &= s^2 - 4p \\ \tfrac{1}{x_1} + \tfrac{1}{x_2} &= \tfrac{s}{p} \\ x_1^3 + x_2^3 &= s^3 - 3sp \\ x_1^4 + x_2^4 &= (s^2 - 2p)^2 - 2p^2 \\ |x_1 - x_2| &= \tfrac{\sqrt\Delta}{|a|} \end{aligned}

Wyrażenie, które nie jest symetryczne (np. $x_1 - x_2$ bez modułu albo $x_1^2 - x_2^2$ ), rozpisz jako iloczyn: $x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$ , a $|x_1 - x_2| = \sqrt{s^2 - 4p}$ .

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 5 min

Wyraź $x_1^3 + x_2^3$ przez $s$ i $p$ (wyprowadź).
Odpowiedź
1. $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)$
2. $= s\,(s^2 - 2p - p) = s^3 - 3sp$ .
Dla równania $x^2 - 4x + 1 = 0$ oblicz $x_1^4 + x_2^4$ .
Odpowiedź
1. $s = 4$ , $p = 1$ ; $x_1^2 + x_2^2 = 14$ .
2. $14^2 - 2 = 194$ .

3 Szablon zadania z parametrem

Etapy (i punkty w kluczu)

Istnienie: $a \ne 0$ (jeśli zależy od $m$ ) i $\Delta > 0$ dla „dwóch różnych”.
Znaki (jeśli treść ich wymaga): oba dodatnie: $s > 0$ i $p > 0$ ; oba ujemne: $s < 0$ i $p > 0$ ; różnych znaków: $p < 0$ .
Warunek: zapisz przez $s$ i $p$ , podstaw wzory, rozwiąż nierówność w $m$ .
Część wspólna wszystkich warunków.

Przykład 3.1 Suma kwadratów pierwiastków

Wyznacz wszystkie $m$ , dla których równanie $x^2 - 2(m - 1)x + m + 5 = 0$ ma dwa różne pierwiastki spełniające $x_1^2 + x_2^2 \le 30$ .

$\dfrac\Delta4 = (m - 1)^2 - (m + 5) = m^2 - 3m - 4 = (m - 4)(m + 1) > 0$ : $\ m \in (-\infty,\,-1) \cup (4,\,+\infty)$ .
$s = 2(m - 1)$ , $p = m + 5$ ; $\ x_1^2 + x_2^2 = 4(m - 1)^2 - 2(m + 5) = 4m^2 - 10m - 6$ .
$4m^2 - 10m - 6 \le 30 \iff 2m^2 - 5m - 18 \le 0$ ; pierwiastki $-2$ i $\tfrac92$ : $\ m \in [-2,\,\tfrac92]$ .
Część wspólna: $[-2,\,-1) \cup (4,\,\tfrac92]$ .

Wynik: $m \in [-2,\,-1) \cup (4,\,\tfrac92]$ .

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 12 min

Wyznacz $m$ , dla których równanie $x^2 + mx + m + 3 = 0$ ma dwa różne pierwiastki ujemne.
Odpowiedź
1. $\Delta = m^2 - 4m - 12 = (m - 6)(m + 2) > 0$ : $m < -2$ albo $m > 6$ .
2. $s = -m < 0$ : $m > 0$ . $\ p = m + 3 > 0$ : $m > -3$ .
3. Część wspólna: $m > 6$ .
Wyznacz $m$ , dla których równanie $x^2 - (m + 2)x + 2m = 0$ ma dwa różne pierwiastki spełniające $|x_1 - x_2| < 3$ .
Odpowiedź
1. $\Delta = (m + 2)^2 - 8m = (m - 2)^2 > 0$ : $m \ne 2$ .
2. $|x_1 - x_2| = \sqrt\Delta = |m - 2| < 3$ : $-1 < m < 5$ .
3. $m \in (-1,\,2) \cup (2,\,5)$ . (Pierwiastki to $2$ i $m$ .)

4 Położenie pierwiastków względem liczby

Dla $f(x) = ax^2 + bx + c$ , $a > 0$ i liczby $k$ (wierzchołek $x_w = -\frac{b}{2a}$ )

$x_1 < k < x_2 \iff f(k) < 0$ (wtedy $\Delta > 0$ automatycznie).
oba pierwiastki większe od $k$ $\iff \Delta > 0$ , $x_w > k$ , $f(k) > 0$ .
oba w przedziale $(k,\,l)$ $\iff \Delta > 0$ , $k < x_w < l$ , $f(k) > 0$ , $f(l) > 0$ .

Równoważnie można przesunąć pierwiastki: „oba większe od $k$ ” $\iff$ $(x_1 - k) + (x_2 - k) > 0$ i $(x_1 - k)(x_2 - k) > 0$ , przy $\Delta > 0$ . Dla $a < 0$ znaki $f(k)$ się odwracają (albo pomnóż równanie przez $-1$ ).

Przykład 4.1 Liczba między pierwiastkami

Dla jakich $m$ liczba $1$ leży między pierwiastkami równania $x^2 - 2mx + 3m - 2 = 0$ ? A dla jakich oba pierwiastki są większe od $1$ ?

$f(1) = 1 - 2m + 3m - 2 = m - 1 < 0$ : $\ m < 1$ .
Oba większe od $1$ : $\Delta > 0$ ( $m < 1$ albo $m > 2$ ), $x_w = m > 1$ , $f(1) = m - 1 > 0$ . Część wspólna: $m > 2$ .

Wynik: $m \in (-\infty,\,1)$ ; oba większe od $1$ dla $m \in (2,\,+\infty)$ . Sprawdź oba w symulacji.

Zadania · część 4

2 zadania · ok. 12 min

Dla jakich $m$ równanie $x^2 + (m - 1)x - m - 4 = 0$ ma pierwiastki $x_1 < 2 < x_2$ ?
Odpowiedź
1. $f(2) = 4 + 2m - 2 - m - 4 = m - 2 < 0$ .
2. $m < 2$ .
Dla jakich $m$ oba pierwiastki równania $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ należą do przedziału $(-2,\,4)$ ?
Odpowiedź
1. Pierwiastki to $m - 1$ i $m + 1$ ( $\Delta = 4 > 0$ zawsze).
2. $m - 1 > -2$ i $m + 1 < 4$ : $-1 < m < 3$ .
3. Ta sama odpowiedź wychodzi z warunków $f(-2) > 0$ , $f(4) > 0$ , $-2 < x_w < 4$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 22 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · wyrażenia symetryczne

Zestawy A

Dla równania $x^2 - 3x - 2 = 0$ oblicz (bez wyznaczania pierwiastków).
1. $x_1 + x_2$ , $\ x_1x_2$
2. $(x_1 - x_2)^2$
Odpowiedzi
a) $3$ ; $-2$ b) $17$

Poziom B · warunki na parametr

Zestawy B

Wyznacz $m$ , dla których równanie ma dwa różne pierwiastki.
1. $x^2 + 4x + m = 0$
Odpowiedzi
a) $m < 4$
Zapisz pełny układ warunków (bez rozwiązywania), dla $f(x) = x^2 + bx + c$ z $b$ , $c$ zależnymi od $m$ .
1. dwa różne dodatnie
Odpowiedzi
a) $\Delta > 0$ , $-b > 0$ , $c > 0$

Poziom C · pełne krótkie zadania

Zestawy C

Wyznacz wszystkie $m$ .
1. $x^2 - 2x + m = 0$ , dwa różne, $x_1^2 + x_2^2 = 10$
2. $x^2 - 4x + m = 0$ , $x_1 = 3x_2$
Odpowiedzi
a) $m = -3$ b) $m = 3$

Pełny trening (22 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

Zadanie z parametrem było w każdym arkuszu rozszerzonym z lat 2024–2026, za 4–6 punktów. Według sprawozdań CKE zdający uzyskali średnio 41% punktów w 2025 i tylko 18% w 2026 (wariant „oba pierwiastki w przedziale”). Typowe błędy: niepełny albo nierównoważny układ warunków, zastąpienie warunku „oba dodatnie” samym $x_1x_2 > 0$ , pominięcie $\Delta > 0$ , błędy w nierównościach wymiernych od $m$ . Zasady oceniania: $\Delta \ge 0$ zamiast $\Delta > 0$ to 0 punktów za etap pierwszy, a błąd nierachunkowy w etapach I–III to 0 punktów za etap końcowy. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

3 zadania · 14 pkt · ok. 45 min

(0–6 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $(m + 1)x^2 - 2mx + m - 3 = 0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste tego samego znaku, spełniające warunek $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} > 1$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Etap I. $m \ne -1$ ; $\ \dfrac\Delta4 = m^2 - (m + 1)(m - 3) = 2m + 3 > 0$ : $m > -\tfrac32$ . Razem $m \in (-\tfrac32,\,-1) \cup (-1,\,+\infty)$ .
2. Etap II (ten sam znak). $x_1x_2 = \dfrac{m - 3}{m + 1} > 0 \iff (m - 3)(m + 1) > 0$ : $m < -1$ albo $m > 3$ .
3. Etap III (warunek). $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{s}{p} = \dfrac{2m/(m + 1)}{(m - 3)/(m + 1)} = \dfrac{2m}{m - 3} > 1 \iff \dfrac{m + 3}{m - 3} > 0$ : $m < -3$ albo $m > 3$ .
4. Część wspólna. $(-\tfrac32,\,-1) \cup (-1,\,\infty)$ , $\ (-\infty,\,-1) \cup (3,\,\infty)$ , $\ (-\infty,\,-3) \cup (3,\,\infty)$ : $m \in (3,\,+\infty).$
1 pkt za etap I ( $m \ne -1$ i $\Delta > 0$ ). 1 pkt za etap II. 3 pkt za etap III: 1 pkt za zapis $\frac{s}{p}$ , 2 pkt za nierówność $\frac{2m}{m - 3} > 1$ , 3 pkt za jej rozwiązanie. 1 pkt za część wspólną.

Uwaga: pomnożenie $\frac{2m}{m - 3} > 1$ przez $m - 3$ bez badania znaku to błąd metody w etapie III.
(0–5 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których oba pierwiastki równania $x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 2m - 3 = 0$ należą do przedziału $(-1,\,5)$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. $\Delta$ . $\frac\Delta4 = (m + 1)^2 - (m^2 + 2m - 3) = 4 > 0$ dla każdego $m$ ; pierwiastki $m + 1 \mp 2$ , czyli $m - 1$ i $m + 3$ .
2. Warunki. $m - 1 > -1$ i $m + 3 < 5$ .
3. Wynik. $0 < m < 2$ .
1 pkt za $\Delta > 0$ . 2 pkt za pierwiastki w zależności od $m$ (albo za warunki $f(-1) > 0$ , $f(5) > 0$ ). 3 pkt za warunek na wierzchołek albo oba warunki na pierwiastki. 4 pkt za rozwiązanie warunków. 5 pkt za $m \in (0,\,2)$ .

Uwaga: niepełny układ warunków (np. bez warunku na wierzchołek przy drodze przez $f(-1)$ i $f(5)$ ) daje co najwyżej 3 pkt.
(0–3 pkt) Wyznacz wszystkie wartości $m$ , dla których równanie $(x - 3)(x^2 + mx + 4) = 0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Rozwiązanie i punktacja
1. Pierwiastek $3$ . jest zawsze; trójmian nie może dać żadnego innego.
2. Przypadek $\Delta < 0$ . $m^2 - 16 < 0$ : $m \in (-4,\,4)$ .
3. Przypadek „trójmian ma tylko pierwiastek $3$ ”. wymagałby $\Delta = 0$ i $x_w = -\frac m2 = 3$ , czyli $m = -6$ ; ale wtedy $\Delta = 36 - 16 \ne 0$ . Niemożliwe.
4. Odpowiedź. $m \in (-4,\,4)$ .
1 pkt za $\Delta < 0$ . 2 pkt za rozwiązanie $m \in (-4,\,4)$ . 3 pkt za wykluczenie przypadku podwójnego pierwiastka $3$ .

7 Najczęstsze błędy

„Dwa różne pierwiastki: $\Delta \ge 0$ .”: $\Delta > 0$ . Przy $\Delta = 0$ pierwiastek jest jeden. W kluczu: 0 punktów za ten etap.
„Oba dodatnie: $x_1x_2 > 0$ .”: To tylko „tego samego znaku”. Dodatnie wymagają jeszcze $x_1 + x_2 > 0$ .
„ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2$ .”: Brakuje $-2x_1x_2$ . W kluczu z 2025 taki błąd ograniczał wynik do 2 punktów.
„ $\frac{2m}{m - 3} > 1$ , więc $2m > m - 3$ .”: Mnożenie przez $m - 3$ o nieznanym znaku. Przenieś na jedną stronę (lekcja 3.4 Wyrażenia, równania i nierówności wymierne).
„Mam trzy zbiory warunków, więc to koniec.”: Odpowiedzią jest ich część wspólna, za którą jest osobny punkt.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Ile wynosi

x_1 + x_2

dla

3x^2 - 6x + 2 = 0

$2$ .

2 Jak wyrazić

(x_1 - x_2)^2

przez

s

p

$s^2 - 4p$ .

3 Jaki warunek daje „pierwiastki różnych znaków”?

$x_1x_2 < 0$ (wtedy $\Delta > 0$ automatycznie).

4 Kiedy liczba

k

leży między pierwiastkami

f

przy

a > 0

Gdy $f(k) < 0$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Viète

$s = -\frac ba$ , $\ p = \frac ca$

$x_1^2 + x_2^2 = s^2 - 2p$ , $\ (x_1 - x_2)^2 = s^2 - 4p$

$x_1^3 + x_2^3 = s^3 - 3sp$

Warunki

dwa różne: $a \ne 0$ , $\Delta > 0$

dodatnie: $s > 0$ , $p > 0$ ; $\$ różnych znaków: $p < 0$

$x_1 < k < x_2$ : $a f(k) < 0$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są wzory Viète'a (w dziale o funkcji kwadratowej). Przekształceń wyrażeń symetrycznych i warunków na położenie pierwiastków broszura nie zawiera.

Dalej: układy równań i zadania tekstowe (lekcja 4.1 Układy równań liniowych i zadania tekstowe).