3.5 Równania i nierówności z wartością bezwzględną

0 Moduł to odległość

$|x - a|$ to odległość liczby $x$ od $a$ na osi (lekcja 1.1 Działania, przedziały i wartość bezwzględna). Dlatego $|x - 3| < 2$ to „ $x$ jest bliżej niż $2$ od $3$ ”, czyli $(1,\,5)$ . Przy dwóch modułach interpretacja odległościowa przestaje wystarczać i potrzebny jest algorytm. W zadaniach maturalnych moduły zawsze dzielą oś na kilka przedziałów, w których można je opuścić.

1 Proste przypadki: $|f| = c$ , $|f| < c$ , $|f| > c$

Dla $c > 0$

$|f(x)| = c \iff f(x) = c \ \text{albo}\ f(x) = -c$ ;
$|f(x)| < c \iff -c < f(x) < c$ ;
$|f(x)| > c \iff f(x) < -c \ \text{albo}\ f(x) > c$ .

Dla $c < 0$ : $|f| = c$ i $|f| < c$ nie mają rozwiązań, $|f| > c$ zachodzi zawsze (w dziedzinie).

Przykład 1.1 Nierówność z jednym modułem

Rozwiąż nierówność $|2x - 5| \ge 3$ .

$2x - 5 \le -3$ albo $2x - 5 \ge 3$ .
$x \le 1$ albo $x \ge 4$ .

Wynik: $x \in (-\infty,\,1] \cup [4,\,+\infty)$ .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

Rozwiąż równanie $|3x + 1| = 7$ .

Odpowiedź
$3x + 1 = 7$ albo $3x + 1 = -7$ : $x = 2$ albo $x = -\tfrac83$ .
Rozwiąż nierówność $|x^2 - 5| < 4$ .
Odpowiedź
1. $-4 < x^2 - 5 < 4$ , czyli $1 < x^2 < 9$ .
2. $x \in (-3,\,-1) \cup (1,\,3)$ .

2 Metoda przedziałów

Algorytm (tak jest punktowany)

Wyznacz punkty, w których wyrażenia pod modułami się zerują.
Podziel oś na przedziały, które razem dają $\mathbb R$ : każdy punkt zerowania dołącz do jednego z sąsiednich przedziałów (np. $(-\infty,\,a)$ , $[a,\,b)$ , $[b,\,+\infty)$ ).
W każdym przedziale opuść moduły zgodnie ze znakiem: $|u| = u$ dla $u \ge 0$ , $|u| = -u$ dla $u < 0$ .
Rozwiąż nierówność liniową i weź część wspólną z przedziałem.
Odpowiedź to suma wyników ze wszystkich przedziałów.

Przykład 2.1 Dwa moduły, trzy przedziały

Rozwiąż nierówność $|x - 1| - 2|x + 2| < -1$ .

Punkty zerowania: $-2$ i $1$ . Przedziały: $(-\infty,\,-2)$ , $[-2,\,1)$ , $[1,\,+\infty)$ .
$x < -2$ : $(1 - x) + 2(x + 2) = x + 5 < -1$ , czyli $x < -6$ . Część wspólna: $(-\infty,\,-6)$ .
$-2 \le x < 1$ : $(1 - x) - 2(x + 2) = -3x - 3 < -1$ , czyli $x > -\tfrac23$ . Część wspólna: $(-\tfrac23,\,1)$ .
$x \ge 1$ : $(x - 1) - 2(x + 2) = -x - 5 < -1$ , czyli $x > -4$ . Część wspólna: $[1,\,+\infty)$ .

Wynik: $x \in (-\infty,\,-6) \cup (-\tfrac23,\,+\infty)$ .

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 12 min

Rozwiąż nierówność $|2x + 4| + |x - 3| \ge 9$ .
Odpowiedź
1. $x < -2$ : $-3x - 1 \ge 9$ , $x \le -\tfrac{10}{3}$ .
2. $-2 \le x < 3$ : $x + 7 \ge 9$ , $x \ge 2$ : $[2,\,3)$ .
3. $x \ge 3$ : $3x + 1 \ge 9$ : cały $[3,\,+\infty)$ .
4. $x \in (-\infty,\,-\tfrac{10}{3}] \cup [2,\,+\infty)$ .
Rozwiąż równanie $|x + 3| + |x - 1| = 6$ .
Odpowiedź
1. $x < -3$ : $-2x - 2 = 6$ , $x = -4$ ✓.
2. $-3 \le x < 1$ : $4 = 6$ , sprzeczność.
3. $x \ge 1$ : $2x + 2 = 6$ , $x = 2$ ✓.
4. $x \in \{-4,\,2\}$ .

3 Skróty: wyłączanie i kwadraty

Dwa ruchy, które skracają rachunek

Wyłączenie: $|4x - 8| = 4|x - 2|$ , $\ |2 - x| = |x - 2|$ . Często po tym zostaje mniej różnych modułów.
Kwadraty: dla nieujemnych stron $|A| \le |B| \iff A^2 \le B^2 \iff (A - B)(A + B) \le 0$ . Sprawozdanie CKE z 2026 roku wskazuje tę drogę jako najszybszą.

Przykład 3.1 Przez kwadraty

Rozwiąż nierówność $|x + 1| \le |2x - 4|$ .

$(x + 1)^2 \le (2x - 4)^2 \iff (x + 1 - 2x + 4)(x + 1 + 2x - 4) \le 0$ .
$(5 - x)(3x - 3) \le 0 \iff (x - 5)(x - 1) \ge 0$ .

Wynik: $x \in (-\infty,\,1] \cup [5,\,+\infty)$ .

Zadania · część 3

1 zadanie · ok. 5 min

Rozwiąż równanie $|6x - 3| + |1 - 2x| = 8$ .
Odpowiedź
1. $|6x - 3| = 3|2x - 1|$ , $|1 - 2x| = |2x - 1|$ , więc $4|2x - 1| = 8$ .
2. $|2x - 1| = 2$ : $x = \tfrac32$ albo $x = -\tfrac12$ .

4 Moduł z trójmianem

Przykład 4.1 Wspólny czynnik

Rozwiąż nierówność $|2x - 2| < |x^2 - 1|$ .

$|2x - 2| = 2|x - 1|$ , $\ |x^2 - 1| = |x - 1|\,|x + 1|$ .
Dla $x = 1$ obie strony są zerami: nierówność ostra nie zachodzi.
Dla $x \ne 1$ dzielimy przez $|x - 1| > 0$ : $2 < |x + 1|$ , czyli $x < -3$ albo $x > 1$ .

Wynik: $x \in (-\infty,\,-3) \cup (1,\,+\infty)$ . Dzielenie przez $|x - 1|$ bez osobnego zbadania $x = 1$ to dokładnie ten błąd, który w 2026 kosztował zdających ostatni punkt.

Zadania · część 4

1 zadanie · ok. 6 min

Rozwiąż nierówność $|x^2 - 4| \ge |x + 2|$ .
Odpowiedź
1. $|x + 2|\,|x - 2| \ge |x + 2|$ .
2. $x = -2$ : $0 \ge 0$ ✓.
3. $x \ne -2$ : $|x - 2| \ge 1$ , czyli $x \le 1$ albo $x \ge 3$ .
4. $x \in (-\infty,\,1] \cup [3,\,+\infty)$ (liczba $-2$ już jest w zbiorze).

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 23 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · jeden moduł

Zestawy A

Rozwiąż.
1. $|x + 2| = 5$
2. $|x - 3| \le -1$
Odpowiedzi
a) $-7,\ 3$ b) $\varnothing$

Poziom B · opuszczanie modułów

Zestawy B

Zapisz bez modułów w podanym przedziale.
1. $|x - 1| + |x + 3|$ , $\ x < -3$
2. $2|x + 1| - |x - 4|$ , $\ -1 \le x < 4$
Odpowiedzi
a) $-2x - 2$ b) $3x - 2$

Poziom C · dwa moduły i skróty

Zestawy C

Rozwiąż metodą przedziałów.
1. $|x - 1| + |x + 3| = 10$
Odpowiedzi
a) $-6,\ 4$
Rozwiąż skrótem (wyłączenie albo kwadraty).
1. $|x - 2| < |x + 4|$
Odpowiedzi
a) $(-1,\,+\infty)$

Pełny trening (23 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

Zadanie z wartością bezwzględną za 4 punkty było w każdym arkuszu rozszerzonym 2024–2026. Według sprawozdań CKE zdający uzyskali za nie średnio 52% punktów w 2025 i 49% w 2026, gdy po raz pierwszy pojawił się moduł z trójmianem. Zasady oceniania mają stałe ograniczenia: przedziały, które nie pokrywają $\mathbb R$ , dają co najwyżej 3 punkty; jeden błąd nierachunkowy przy opuszczaniu modułu co najwyżej 2 punkty; rozwiązanie graficzne bez rachunkowego sprawdzenia punktów przecięcia co najwyżej 3 punkty. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

4 zadania · 16 pkt · ok. 45 min

(0–4 pkt) Rozwiąż nierówność $|x + 4| - 3|x - 1| > -2$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Przedziały. $(-\infty,\,-4)$ , $[-4,\,1)$ , $[1,\,+\infty)$ .
2. $x < -4$ . $-(x + 4) + 3(x - 1) = 2x - 7 > -2$ , $x > \tfrac52$ : brak części wspólnej.
3. $-4 \le x < 1$ . $(x + 4) + 3(x - 1) = 4x + 1 > -2$ , $x > -\tfrac34$ : $(-\tfrac34,\,1)$ .
4. $x \ge 1$ . $(x + 4) - 3(x - 1) = -2x + 7 > -2$ , $x < \tfrac92$ : $[1,\,\tfrac92)$ .
5. Suma. $x \in (-\tfrac34,\,\tfrac92)$ .
1 pkt za podział na przedziały i nierówność bez modułu w jednym z nich. 2 pkt za nierówności bez modułów we wszystkich przedziałach. 3 pkt za rozwiązania w dwóch przedziałach (z częścią wspólną). 4 pkt za odpowiedź.

Uwaga: przedziały, które nie dają razem $\mathbb R$ (np. same nierówności ostre), ograniczają wynik do 3 pkt.
(0–4 pkt) Rozwiąż równanie $|3x - 9| + |x + 1| = |3 - x| + |x - 5| + 6$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Wyłączenie. $|3x - 9| = 3|x - 3|$ , $|3 - x| = |x - 3|$ : $\ 2|x - 3| + |x + 1| = |x - 5| + 6$ .
2. $x < -1$ . $-2x + 6 - x - 1 = -x + 5 + 6$ : $-3x + 5 = -x + 11$ , $x = -3$ ✓.
3. $-1 \le x < 3$ . $-2x + 6 + x + 1 = -x + 11$ : $7 = 11$ , sprzeczność.
4. $3 \le x < 5$ . $2x - 6 + x + 1 = -x + 11$ : $4x = 16$ , $x = 4$ ✓.
5. $x \ge 5$ . $3x - 5 = x + 1$ : $x = 3$ , poza przedziałem.
6. Odpowiedź. $x \in \{-3,\,4\}$ .
1 pkt za wyłączenie (albo podział na przedziały i jeden przedział bez modułów). 2 pkt za równania we wszystkich przedziałach. 3 pkt za rozwiązania w co najmniej dwóch przedziałach. 4 pkt za $\{-3,\,4\}$ .
(0–4 pkt) Rozwiąż nierówność $|x^2 - 9| > |3x - 9|$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Czynnik wspólny. $|x - 3|\,|x + 3| > 3|x - 3|$ .
2. $x = 3$ . $0 > 0$ : fałsz.
3. $x \ne 3$ . $|x + 3| > 3$ : $x < -6$ albo $x > 0$ .
4. Odpowiedź. $x \in (-\infty,\,-6) \cup (0,\,3) \cup (3,\,+\infty)$ .
1 pkt za rozkład $|x - 3||x + 3|$ i $3|x - 3|$ . 2 pkt za zbadanie $x = 3$ . 3 pkt za $|x + 3| > 3$ i jego rozwiązanie. 4 pkt za zbiór z wykluczonym $3$ .

Uwaga: pominięcie warunku $x \ne 3$ daje co najwyżej 3 pkt.
(0–4 pkt) Rozwiąż nierówność $|x - 2| + |x + 2| \le 6 - x$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. $x < -2$ . $-2x \le 6 - x$ , $x \ge -6$ : $[-6,\,-2)$ .
2. $-2 \le x < 2$ . $4 \le 6 - x$ , $x \le 2$ : cały $[-2,\,2)$ .
3. $x \ge 2$ . $2x \le 6 - x$ , $x \le 2$ : $\{2\}$ .
4. Suma. $x \in [-6,\,2]$ .
1 pkt za przedziały i jeden przedział bez modułów. 2 pkt za wszystkie trzy nierówności. 3 pkt za rozwiązania w dwóch przedziałach. 4 pkt za $[-6,\,2]$ .

7 Najczęstsze błędy

„Przedziały: $x < -2$ , $-2 < x < 1$ , $x > 1$ .”: Punkty $-2$ i $1$ nie należą do żadnego przedziału. Przedziały muszą dawać $\mathbb R$ ; inaczej co najwyżej 3 punkty.
„W przedziale wyszło $x > -4$ , więc to jest wynik.”: Wynik w przedziale $[1,\,+\infty)$ to część wspólna $[1,\,+\infty) \cap (-4,\,+\infty) = [1,\,+\infty)$ .
„Odpowiedź to część wspólna wyników z przedziałów.”: Odpowiedź to suma: każdy przedział daje swoją część zbioru.
„Dzielę obie strony przez $|x - 3|$ .”: Tylko dla $x \ne 3$ ; przypadek $x = 3$ trzeba sprawdzić osobno.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Ile wynosi

|x - 2|

dla

x < 2

$2 - x$ .

2 Jaki jest zbiór rozwiązań

|x + 1| < -3

Pusty.

3 Na ile przedziałów dzielą oś trzy różne punkty zerowania?

Na cztery.

4 Kiedy wolno podnieść nierówność

|A| < |B|

do kwadratu?

Zawsze: obie strony są nieujemne.

9 Karta wzorów i co dalej

Proste przypadki ( $c > 0$ )

$|f| < c \iff -c < f < c$

$|f| > c \iff f < -c \vee f > c$

$|A| \le |B| \iff (A - B)(A + B) \le 0$

Przedziały

razem $\mathbb R$ ; w każdym część wspólna; na końcu suma

$|ku| = |k|\,|u|$ , $\ |a - b| = |b - a|$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” jest definicja wartości bezwzględnej i jej podstawowe własności. Metody przedziałów broszura nie opisuje.

Dalej: wzory Viète'a i równania z parametrem (lekcja 3.6 Wzory Viète'a i równania z parametrem).