1.1 Działania, przedziały i wartość bezwzględna

0 Odległość zamiast znaku

Ile rozwiązań ma równanie $|x - 5| = 3$ ? Kto pamięta tylko „wartość bezwzględna usuwa minus”, ten zaczyna kombinować ze znakami. Kto wie, że $|x - 5|$ to odległość liczby $x$ od liczby $5$ na osi, ten widzi odpowiedź od razu: liczby odległe od $5$ o $3$ to $2$ i $8$ . Dwa rozwiązania, ich suma to $10$ , iloczyn $16$ . Dokładnie o to pytają zadania zamknięte na maturze.

Ta lekcja to trzy rzeczy: liczenie bez błędów (kolejność działań, ułamki, pierwiastki), zapis zbiorów liczb jako przedziałów (bo w nich podaje się rozwiązania nierówności i odczyty z wykresów) oraz wartość bezwzględna jako odległość.

1 Liczby i działania

Zbiory liczb

$\mathbb{N}$ : liczby naturalne $0, 1, 2, \dots$ ; $\ \mathbb{Z}$ : całkowite $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$

$\mathbb{Q}$ : wymierne, czyli dające się zapisać jako $\frac{p}{q}$ z całkowitymi $p$ , $q \ne 0$ (np. $-\frac34$ , $0{,}2$ , $0{,}(3)$ );

$\mathbb{R}$ : rzeczywiste, czyli wszystkie punkty osi; liczby rzeczywiste, które nie są wymierne, to niewymierne (np. $\sqrt2$ , $\sqrt5$ , $\pi$ ).

Kolejność działań: nawiasy, potęgi i pierwiastki, mnożenie i dzielenie (od lewej), dodawanie i odejmowanie (od lewej).

Na maturze działania rzadko są celem samym w sobie, ale błąd w ułamku albo w znaku potęgi przekreśla całe zadanie. Dwie rzeczy warto mieć w ręku na pamięć: $(-2)^2 = 4$ , ale $-2^2 = -4$ (potęga wiąże mocniej niż minus), oraz dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.

Przykład 1.1 Ułamki i potęgi

Oblicz $\left(\frac23 - \frac12\right) : \frac14 + 0{,}5\cdot(-2)^2$ .

Nawias: $\frac23 - \frac12 = \frac46 - \frac36 = \frac16$ .
Dzielenie: $\frac16 : \frac14 = \frac16\cdot 4 = \frac23$ .
Potęga i mnożenie: $0{,}5\cdot(-2)^2 = 0{,}5\cdot 4 = 2$ .

Wynik: $\frac23 + 2 = \frac83$ .

Przykład 1.2 Działania na liczbach niewymiernych

Oblicz $(\sqrt3 - 1)^2 + 2\sqrt3$ .

Wzór $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : $(\sqrt3 - 1)^2 = 3 - 2\sqrt3 + 1 = 4 - 2\sqrt3$ .
Dodaj: $4 - 2\sqrt3 + 2\sqrt3 = 4$ .

Wynik: $4$ , czyli liczba wymierna, choć składniki były niewymierne.

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 8 min

Oblicz $3 - 2\cdot(1 - 4)^2 : 6$ .
Odpowiedź
1. $(1 - 4)^2 = 9$
2. $2\cdot 9 : 6 = 3$
3. $3 - 3 = 0$ .
Oblicz $\left(\frac12 + \frac13\right)\cdot\frac65$ .
Odpowiedź
1. $\frac12 + \frac13 = \frac56$
2. $\frac56\cdot\frac65 = 1$ .
Które z liczb $\sqrt8\cdot\sqrt2$ , $\ \sqrt3 + 1$ , $\ \frac{\sqrt{18}}{\sqrt2}$ , $\ 2\pi$ są wymierne?
Odpowiedź
1. $\sqrt8\cdot\sqrt2 = \sqrt{16} = 4$ : wymierna.
2. $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt2} = \sqrt9 = 3$ : wymierna.
3. $\sqrt3 + 1$ i $2\pi$ są niewymierne.

2 Przedziały

Rozwiązania nierówności, dziedziny i zbiory wartości funkcji podaje się jako przedziały. Nawias kwadratowy oznacza, że koniec należy do zbioru, okrągły, że nie należy. Przy nieskończoności zawsze stoi nawias okrągły.

Zapis przedziałów (jak w arkuszu CKE)

$[a,\,b]$ : $a \le x \le b$ ; $\quad (a,\,b)$ : $a < x < b$ ; $\quad [a,\,b)$ : $a \le x < b$ ; $\quad (a,\,b]$ : $a < x \le b$ ;

$[a,\,+\infty)$ : $x \ge a$ ; $\quad (-\infty,\,b)$ : $x < b$ ; $\quad (-\infty,\,+\infty) = \mathbb{R}$ .

$A \cap B$ (część wspólna): liczby należące do obu zbiorów; $A \cup B$ (suma): do któregokolwiek; $A \setminus B$ (różnica): do $A$ , ale nie do $B$ .

Przykład 2.1 Część wspólna, suma, różnica

Dla $A = [-3,\,4)$ i $B = (1,\,6]$ wyznacz $A \cap B$ , $A \cup B$ i $A \setminus B$ .

Część wspólna: od większego początku do mniejszego końca, $(1,\,4)$ . Koniec $1$ nie należy do $B$ , a $4$ nie należy do $A$ , więc oba nawiasy są okrągłe.
Suma: przedziały na siebie zachodzą, więc to jeden przedział od $-3$ do $6$ : $[-3,\,6]$ .
Różnica: z $A$ usuwamy liczby większe od $1$ ; sama $1$ zostaje, bo nie należy do $B$ : $[-3,\,1]$ .

Wynik: $A \cap B = (1,\,4)$ , $\ A \cup B = [-3,\,6]$ , $\ A \setminus B = [-3,\,1]$ .

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 8 min

Zapisz jako przedział zbiór liczb większych od $-1$ i nie większych od $3$ .

Odpowiedź
$(-1,\,3]$ : „większe” to bez $-1$ , „nie większe” to razem z $3$ .
Dla $A = (-\infty,\,2]$ i $B = (-1,\,5)$ wyznacz $A \cap B$ i $A \cup B$ .
Odpowiedź
1. $A \cap B = (-1,\,2]$
2. $A \cup B = (-\infty,\,5)$ .
Ile liczb całkowitych należy do zbioru $[-2,\,5) \cap (0,\,7]$ ?
Odpowiedź
1. Część wspólna: $(0,\,5)$ .
2. Liczby całkowite: $1, 2, 3, 4$ , czyli cztery.

3 Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna

|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0,\\ -x, & x < 0. \end{cases}

$|x|$ to odległość $x$ od zera, a $|a - b|$ to odległość liczb $a$ i $b$ na osi. Zawsze $|x| \ge 0$ i $|-x| = |x|$ .

Równanie $|x - a| = r$ : dla $r > 0$ dwa rozwiązania $x = a - r$ i $x = a + r$ ; dla $r = 0$ jedno, $x = a$ ; dla $r < 0$ brak rozwiązań.

Przy liczbach niewymiernych trzeba tylko ustalić znak wyrażenia pod modułem. Jeśli jest dodatnie, moduł nic nie zmienia; jeśli ujemne, zmienia znak całego wyrażenia: $|3 - \pi| = \pi - 3$ , bo $3 - \pi < 0$ .

Przykład 3.1 Moduł z pierwiastkiem

Oblicz $|\sqrt5 - 3| + |\sqrt5 - 1|$ .

$\sqrt5 \approx 2{,}24$ , więc $\sqrt5 - 3 < 0$ i $|\sqrt5 - 3| = 3 - \sqrt5$ .
$\sqrt5 - 1 > 0$ , więc $|\sqrt5 - 1| = \sqrt5 - 1$ .
Suma: $3 - \sqrt5 + \sqrt5 - 1 = 2$ .

Wynik: $2$ . Na osi: to suma odległości $\sqrt5$ od $3$ i od $1$ , czyli długość odcinka $[1,\,3]$ , bo $\sqrt5$ leży między nimi.

Przykład 3.2 Równanie z modułem

Rozwiąż równanie $|x + 4| = 7$ i oblicz sumę jego rozwiązań.

$|x + 4| = |x - (-4)|$ : odległość $x$ od $-4$ równa się $7$ .
$x = -4 - 7 = -11$ albo $x = -4 + 7 = 3$ .

Wynik: $x = -11$ lub $x = 3$ , suma $-8$ .

Skrót: rozwiązania leżą symetrycznie wokół $-4$ , więc ich suma to zawsze $2\cdot(-4) = -8$ . Sprawdzenie: $|-11 + 4| = 7$ ✓, $|3 + 4| = 7$ ✓.

Nierówności z modułem, np. $|x - 1| < 3$ , czyta się tak samo: liczby odległe od $1$ o mniej niż $3$ , czyli przedział $(-2,\,4)$ . Na poziomie podstawowym w zadaniach są tylko równania; nierówności z modułem rozwiązujemy w lekcji rozszerzonej 3.5 Równania i nierówności z wartością bezwzględną.

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 10 min

Rozwiąż równanie $|2x - 1| = 5$ .
Odpowiedź
1. $2x - 1 = 5$ albo $2x - 1 = -5$
2. $x = 3$ albo $x = -2$ .
Zapisz bez modułu: $|\pi - 4|$ i $|2 - \sqrt3|$ .
Odpowiedź
1. $\pi < 4$ , więc $|\pi - 4| = 4 - \pi$ .
2. $\sqrt3 < 2$ , więc $|2 - \sqrt3| = 2 - \sqrt3$ .
Oblicz $|\sqrt7 - 3| - |2 - \sqrt7|$ .

Wskazówka
$\sqrt4 < \sqrt7 < \sqrt9$ , więc $2 < \sqrt7 < 3$ .
Odpowiedź
1. $|\sqrt7 - 3| = 3 - \sqrt7$
2. $|2 - \sqrt7| = \sqrt7 - 2$
3. $3 - \sqrt7 - (\sqrt7 - 2) = 5 - 2\sqrt7$ .

4 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 42 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · liczenie

Zestawy A

Oblicz.
1. $(-2)^3 + 3\cdot(-1)^5$
2. $\left(1 - \frac13\right) : \left(\frac12 - \frac16\right)$
Odpowiedzi
a) $-11$ b) $2$
Zapisz bez wartości bezwzględnej i uprość.
1. $|1 - \sqrt3|$
2. $|2 - \sqrt5| + |\sqrt5 - 3|$
Wskazówka
Ustal znak wyrażenia pod modułem: porównaj kwadraty, np. $\sqrt{10}$ i $3 = \sqrt9$ .

Odpowiedzi
a) $\sqrt3 - 1$ b) $1$

Poziom B · przedziały

Zestawy B

Zapisz zbiór jako przedział.
1. $-1 \le x < 4$
2. $2 < x \le 7$
Odpowiedzi
a) $[-1,\,4)$ b) $(2,\,7]$
Wyznacz $A \cap B$ i $A \cup B$ .
1. $A = [-3,\,4)$ , $B = (1,\,6]$
2. $A = [0,\,3]$ , $B = [3,\,8)$
Wskazówka
Narysuj oba przedziały na osi jeden pod drugim. Część wspólna: tam, gdzie są oba; koniec należy do niej tylko wtedy, gdy należy do obu zbiorów.

Odpowiedzi
a) $(1,\,4)$ ; $[-3,\,6]$ b) $\{3\}$ ; $[0,\,8)$

Poziom C · równania z modułem i nierówności liniowe

Zestawy C

Rozwiąż równanie.
1. $|x - 4| = 3$
2. $|2x - 1| = 7$
Odpowiedzi
a) $x = 1$ lub $x = 7$ b) $x = -3$ lub $x = 4$
Rozwiąż nierówność i zapisz zbiór rozwiązań jako przedział.
1. $5 - 3(1 - x) \ge x - 8$
2. $\frac{x - 1}{2} > x + 1$
Wskazówka
Przy mnożeniu lub dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną zmień zwrot nierówności.

Odpowiedzi
a) $[-5,\,+\infty)$ b) $(-\infty,\,-3)$

Pełny trening (42 przykładów i zadań) →

5 Na maturze

W arkuszach podstawowych z lat 2025–2026 tematy tej lekcji to zwykle 2–3 zadania zamknięte za 1 punkt: suma lub iloczyn rozwiązań równania z modułem, wartość wyrażenia z modułem i pierwiastkiem, rysunek zbioru rozwiązań nierówności na osi. Przedziały wracają w zadaniach z wykresem funkcji, gdzie trzeba je wpisać samodzielnie, a punkt jest tylko wtedy, gdy nawiasy jednoznacznie pokazują, czy koniec należy do zbioru. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

6 zadań · 7 pkt · ok. 12 min

(0–1 pkt) Suma wszystkich rozwiązań równania $|x - 3| = 5$ jest równa

A. $6$ B. $-6$ C. $10$ D. $0$
Odpowiedź
A.
1. Rozwiązania $3 - 5 = -2$ i $3 + 5 = 8$ .
2. Suma $6 = 2\cdot 3$ .
(0–1 pkt) Liczba $|\sqrt3 - 2| + |\sqrt3 - 3|$ jest równa

A. $5 - 2\sqrt3$ B. $-1$ C. $1$ D. $2\sqrt3 - 5$
Odpowiedź
A.
1. Oba wyrażenia pod modułem są ujemne.
2. $(2 - \sqrt3) + (3 - \sqrt3) = 5 - 2\sqrt3$ .
3. D to wynik bez zmiany znaków.
(0–1 pkt) Iloczyn wszystkich rozwiązań równania $|x + 2| = 6$ jest równy

A. $-32$ B. $32$ C. $-4$ D. $12$
Odpowiedź
A.
1. Rozwiązania $-2 - 6 = -8$ i $-2 + 6 = 4$ .
2. Iloczyn $-32$ .
(0–1 pkt) Dane są zbiory $A = [-2,\,3)$ i $B = (1,\,5]$ . Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

1. $A \cap B = (1,\,3)$ . P / F
2. $A \cup B = [-2,\,5)$ . P / F
Odpowiedź
PF.
1. Część wspólna: od $1$ (bez, bo $1 \notin B$ ) do $3$ (bez, bo $3 \notin A$ ).
2. Suma kończy się w $5$ razem z $5$ , bo $5 \in B$ : $A \cup B = [-2,\,5]$ .
(0–1 pkt) Dane są zbiory $A = [-4,\,2)$ i $B = (-1,\,6]$ . Uzupełnij zdanie. Do zbioru $A \cap B$ należy dokładnie ……… liczb całkowitych.
Odpowiedź
$2$
1. $A \cap B = (-1,\,2)$ .
2. Liczby całkowite: $0$ i $1$ .
(0–2 pkt) Oblicz wartość wyrażenia $(\sqrt5 - 2)(\sqrt5 + 2) + |2 - \sqrt5|$ . Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Iloczyn. $(\sqrt5 - 2)(\sqrt5 + 2) = 5 - 4 = 1$ .
2. Moduł. $\sqrt5 > 2$ , więc $|2 - \sqrt5| = \sqrt5 - 2$ .
3. Wynik. $1 + \sqrt5 - 2 = \sqrt5 - 1$ .
1 pkt za iloczyn równy $1$ ALBO za $|2 - \sqrt5| = \sqrt5 - 2$ . 2 pkt za wynik $\sqrt5 - 1$ .

6 Najczęstsze błędy

„ $|\sqrt5 - 3| = \sqrt5 - 3$ , bo moduł tylko usuwa minus przed liczbą.”: Moduł zmienia znak całego wyrażenia, gdy jest ono ujemne: $|\sqrt5 - 3| = 3 - \sqrt5$ . Najpierw ustal znak.
„ $|x| = -3$ ma rozwiązanie $x = -3$ .”: Odległość nie jest ujemna: to równanie nie ma rozwiązań. Sprawdzenie: $|-3| = 3 \ne -3$ .
„ $-2^2 = 4$ .”: Potęga wiąże mocniej niż minus: $-2^2 = -(2^2) = -4$ . Tylko $(-2)^2 = 4$ .
„Przy nieskończoności piszę nawias kwadratowy, bo przedział jest domknięty.”: Nieskończoność nie jest liczbą i nie należy do zbioru: zawsze $(-\infty$ i $+\infty)$ .
„Część wspólna zawiera koniec, jeśli należy do któregoś zbioru.”: Do części wspólnej koniec należy tylko wtedy, gdy należy do obu zbiorów. To suma bierze końce z któregokolwiek.

7 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Co oznacza

|a - b|

na osi liczbowej?

Odległość między liczbami $a$ i $b$ .

2 Ile rozwiązań ma

|x - a| = r

dla

r > 0

r = 0

r < 0

Dwa ( $a \pm r$ ), jedno ( $a$ ) i żadnego.

3 Jaka jest suma rozwiązań równania

|x - a| = r

dla

r > 0

$2a$ : rozwiązania leżą symetrycznie wokół $a$ .

4 Jak zapisać „

x

jest większe od

-2

i nie większe od

7

”?

$(-2,\,7]$ .

5 Kiedy koniec przedziału należy do

A \cap B

Gdy należy do obu zbiorów.

8 Karta wzorów i co dalej

Wartość bezwzględna

$|x| = x$ dla $x \ge 0$ , $\ |x| = -x$ dla $x < 0$

$|a - b|$ : odległość $a$ i $b$

$|x - a| = r$ , $r > 0$ : $\ x = a \pm r$

Przedziały

$[\ ]$ : koniec należy, $\ (\ )$ : nie należy

$A \cap B$ : oba zbiory; $\ A \cup B$ : którykolwiek

przy $\pm\infty$ zawsze nawias okrągły

Definicja wartości bezwzględnej i jej interpretacja na osi są w broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” (rozdział 1). Zapisu przedziałów i działań na zbiorach broszura nie tłumaczy: to trzeba umieć.

Dalej: potęgi i pierwiastki (lekcja 1.2 Potęgi i pierwiastki), a przedziały w praktyce: nierówności liniowe (3.1 Równania i nierówności liniowe, przekształcenia równoważne) i odczytywanie własności funkcji z wykresu (5.1 Funkcja i jej wykres: odczytywanie własności).