1.2 Potęgi i pierwiastki · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Pierwiastek z pierwiastka

Ile to jest $\sqrt{5\sqrt5}$ ? Kalkulator da $3{,}34\dots$ , ale w zadaniu zamkniętym odpowiedzi są zapisane jako potęgi piątki: $5^{\frac14}$ , $5^{\frac12}$ , $5^{\frac34}$ , $5^{\frac32}$ . W maju 2026 roku takie zadanie rozwiązało 61% zdających. Wystarczy jedna zamiana: pierwiastek to potęga o wykładniku $\frac12$ . Wtedy

\sqrt{5\sqrt5} = \left(5\cdot 5^{\frac12}\right)^{\frac12} = \left(5^{\frac32}\right)^{\frac12} = 5^{\frac34}.

Ta lekcja to prawa działań na potęgach, pierwiastki dowolnego stopnia (także z liczb ujemnych), potęgi o wykładniku wymiernym i zapis bardzo dużych i bardzo małych liczb.

1 Potęgi o wykładniku całkowitym

Prawa działań na potęgach

$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$ , $\quad a^m : a^n = a^{m-n}$ , $\quad (a^m)^n = a^{mn}$ , $\quad (ab)^n = a^n b^n$ , $\quad \left(\frac ab\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ ;

$a^0 = 1$ , $\quad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ , $\quad \left(\dfrac ab\right)^{-n} = \left(\dfrac ba\right)^n$ (dla $a, b \ne 0$ ).

Strategia: zapisz wszystko jako potęgi tej samej liczby pierwszej ( $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ , $9 = 3^2$ , $25 = 5^2$ , $0{,}2 = 5^{-1}$ , $\frac18 = 2^{-3}$ ).

Przykład 1.1 Wspólna podstawa

Zapisz $\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}}$ jako potęgę liczby $5$ .

$25 = 5^2$ , $125 = 5^3$ : licznik $5^{-4}$ , mianownik $5^{-12}$ .
Dzielenie potęg: $5^{-4 - (-12)} = 5^{8}$ .

Wynik: $5^8$ .

Przykład 1.2 Suma potęg: wyłącz wspólny czynnik

Oblicz $\dfrac{3^{10} + 3^{11} + 3^{12}}{3^{10}}$ .

Wyłącz $3^{10}$ w liczniku: $3^{10}(1 + 3 + 3^2) = 3^{10}\cdot 13$ .
Skróć: $\dfrac{3^{10}\cdot 13}{3^{10}} = 13$ .

Wynik: $13$ .

Pułapka: $3^{10} + 3^{11} \ne 3^{21}$ . Prawo $a^m a^n = a^{m+n}$ dotyczy mnożenia, nie dodawania.

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 8 min

Oblicz $\dfrac{2^5\cdot 2^{-3}}{2^{-1}}$ .
Odpowiedź
1. $2^{5 - 3 - (-1)} = 2^3$
2. $= 8$ .
Oblicz $9^4\cdot 3^{-5}$ .
Odpowiedź
1. $9^4 = 3^8$
2. $3^8\cdot 3^{-5} = 3^3 = 27$ .
Oblicz $\dfrac{2^{10} + 2^{11}}{2^9}$ .
Odpowiedź
1. $2^{10} + 2^{11} = 2^9(2 + 4)$
2. $\dfrac{2^9\cdot 6}{2^9} = 6$ .

2 Pierwiastki

Pierwiastki

$\sqrt[n]{a} = b$ znaczy $b^n = a$ . Dla $n$ parzystego: $a \ge 0$ i $b \ge 0$ . Dla $n$ nieparzystego $a$ może być ujemne: $\sqrt[3]{-8} = -2$ , $\sqrt[5]{-32} = -2$ .

$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$ , $\quad \sqrt[n]{\dfrac ab} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (dla $a, b$ , przy których pierwiastki istnieją);

$\sqrt{a^2} = |a|$ (nie zawsze $a$ !), $\quad \sqrt[3]{a^3} = a$ .

Wyłączanie czynnika: $\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt2$ , $\ \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8\cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$ .

Pierwiastka z sumy nie rozbija się na sumę pierwiastków: $\sqrt{9 + 16} = 5$ , a $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$ . Dodawać można tylko pierwiastki „podobne”, czyli z tą samą liczbą pod pierwiastkiem: $3\sqrt2 + 5\sqrt2 = 8\sqrt2$ .

Usuwanie niewymierności z mianownika. Gdy w mianowniku stoi $\sqrt a$ , mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt a$ . Gdy stoi $\sqrt a \pm b$ , mnożymy przez $\sqrt a \mp b$ i korzystamy ze wzoru $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ .

Przykład 2.1 Pierwiastki trzeciego stopnia z liczb ujemnych

Oblicz $\dfrac{\sqrt[3]{50}\cdot\sqrt[3]{-20}}{\sqrt[3]{-1000}}$ .

Licznik: $\sqrt[3]{50\cdot(-20)} = \sqrt[3]{-1000} = -10$ .
Mianownik: $\sqrt[3]{-1000} = -10$ .

Wynik: $\dfrac{-10}{-10} = 1$ .

Przykład 2.2 Niewymierność w mianowniku

Zapisz $\dfrac{2}{\sqrt5 - 1}$ bez pierwiastka w mianowniku.

Pomnóż przez $\sqrt5 + 1$ : $\dfrac{2(\sqrt5 + 1)}{(\sqrt5 - 1)(\sqrt5 + 1)}$ .
Mianownik: $5 - 1 = 4$ .

Wynik: $\dfrac{2(\sqrt5 + 1)}{4} = \dfrac{\sqrt5 + 1}{2}$ .

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 10 min

Wyłącz czynnik przed pierwiastek: $\sqrt{72}$ i $\sqrt[3]{-54}$ .
Odpowiedź
1. $\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot 2} = 6\sqrt2$
2. $\sqrt[3]{-54} = \sqrt[3]{-27\cdot 2} = -3\sqrt[3]{2}$ .
Oblicz $\sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt8$ .
Odpowiedź
1. $3\sqrt2 + 5\sqrt2 - 2\sqrt2$
2. $= 6\sqrt2$ .
Zapisz $\dfrac{3}{\sqrt7 + 2}$ bez pierwiastka w mianowniku.
Odpowiedź
1. $\dfrac{3(\sqrt7 - 2)}{7 - 4}$
2. $= \sqrt7 - 2$ .

3 Potęgi o wykładniku wymiernym

Pierwiastek jako potęga

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m, \qquad a^{-\frac mn} = \frac{1}{a^{\frac mn}} \qquad (a > 0).

Wszystkie prawa działań na potęgach działają też dla wykładników wymiernych. Licz w kolejności: najpierw pierwiastek, potem potęga, bo tak liczby są mniejsze: $8^{\frac23} = \left(\sqrt[3]8\right)^2 = 2^2 = 4$ .

Przykład 3.1 Pierwiastki zagnieżdżone

Zapisz $\sqrt[3]{2\sqrt2}$ jako potęgę liczby $2$ .

Pod pierwiastkiem: $2\cdot 2^{\frac12} = 2^{\frac32}$ .
Pierwiastek trzeciego stopnia: $\left(2^{\frac32}\right)^{\frac13} = 2^{\frac12}$ .

Wynik: $2^{\frac12} = \sqrt2$ .

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 8 min

Oblicz $16^{\frac34}$ i $27^{-\frac23}$ .
Odpowiedź
1. $16^{\frac34} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8$
2. $27^{-\frac23} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{27}\right)^2} = \dfrac19$ .
Zapisz $\sqrt{5\sqrt[3]{5}}$ jako potęgę liczby $5$ .
Odpowiedź
1. $5\cdot 5^{\frac13} = 5^{\frac43}$
2. $\left(5^{\frac43}\right)^{\frac12} = 5^{\frac23}$ .
Oblicz $\sqrt3\cdot\sqrt[4]{3}\cdot\sqrt[4]{27}$ .
Odpowiedź
1. $3^{\frac12}\cdot 3^{\frac14}\cdot 3^{\frac34} = 3^{\frac32}$
2. $= 3\sqrt3$ .

4 Notacja wykładnicza

Bardzo duże i bardzo małe liczby zapisuje się w postaci $a\cdot 10^k$ , gdzie $1 \le a < 10$ , a $k$ jest liczbą całkowitą: $450\,000 = 4{,}5\cdot 10^5$ , $0{,}00032 = 3{,}2\cdot 10^{-4}$ . Przy mnożeniu i dzieleniu liczysz osobno liczby $a$ i osobno potęgi dziesiątki, a na końcu poprawiasz $a$ tak, żeby było między $1$ a $10$ .

Przykład 4.1 Iloczyn w notacji wykładniczej

Oblicz $(3\cdot 10^5)\cdot(4\cdot 10^{-2})$ i zapisz wynik w notacji wykładniczej.

$3\cdot 4 = 12$ , $\ 10^5\cdot 10^{-2} = 10^3$ : razem $12\cdot 10^3$ .
$12 = 1{,}2\cdot 10$ , więc $12\cdot 10^3 = 1{,}2\cdot 10^4$ .

Wynik: $1{,}2\cdot 10^4$ .

Zadania · część 4

2 zadania · ok. 5 min

Zapisz w notacji wykładniczej: $0{,}00045$ oraz $72\,000\,000$ .
Odpowiedź
1. $0{,}00045 = 4{,}5\cdot 10^{-4}$
2. $72\,000\,000 = 7{,}2\cdot 10^7$ .
Oblicz $(6\cdot 10^8) : (3\cdot 10^{-2})$ .
Odpowiedź
1. $\frac63 = 2$ , $\ 10^{8 - (-2)} = 10^{10}$
2. $= 2\cdot 10^{10}$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 43 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · potęgi

Zestawy A

Zapisz jako jedną potęgę liczby $2$ , $3$ albo $5$ .
1. $4^3\cdot 8$
2. $25^{-2}\cdot 125$
Wskazówka
$4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ , $16 = 2^4$ , $32 = 2^5$ , $9 = 3^2$ , $27 = 3^3$ , $25 = 5^2$ , $125 = 5^3$ , $0{,}2 = \frac15 = 5^{-1}$ .

Odpowiedzi
a) $2^9$ b) $5^{-1}$
Oblicz.
1. $\left(\frac23\right)^{-2}$
2. $\left(3^4\cdot 3^{-6}\right)^{-1}$
Odpowiedzi
a) $\frac94$ b) $9$

Poziom B · pierwiastki

Zestawy B

Oblicz albo uprość.
1. $\sqrt{48}$
2. $\sqrt[3]{16} + \sqrt[3]{54}$
Odpowiedzi
a) $4\sqrt3$ b) $5\sqrt[3]{2}$
Usuń niewymierność z mianownika.
1. $\dfrac{6}{\sqrt2}$
2. $\dfrac{4}{3 + \sqrt5}$
Wskazówka
Mianownik $a + \sqrt b$ mnóż przez $a - \sqrt b$ : $(a + \sqrt b)(a - \sqrt b) = a^2 - b$ .

Odpowiedzi
a) $3\sqrt2$ b) $3 - \sqrt5$

Poziom C · wykładniki wymierne i notacja wykładnicza

Zestawy C

Oblicz albo zapisz jako potęgę podanej liczby.
1. $8^{\frac23}$
2. $\sqrt[3]{5\sqrt5}$ (potęga $5$ )
Odpowiedzi
a) $4$ b) $5^{\frac12}$
Zapisz wynik w notacji wykładniczej.
1. $(2\cdot 10^{-3})\cdot(7\cdot 10^{5})$
2. $(5\cdot 10^{3})^2$
Odpowiedzi
a) $1{,}4\cdot 10^{3}$ b) $2{,}5\cdot 10^{7}$

Pełny trening (43 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach podstawowych z lat 2025–2026 potęgi i pierwiastki to zwykle 2–3 pierwsze zadania arkusza, wszystkie zamknięte za 1 punkt. Wartość wyrażenia z pierwiastkami, iloraz potęg o różnych podstawach, pierwiastek z pierwiastka (61% poprawnych odpowiedzi w maju 2026), pierwiastek trzeciego lub piątego stopnia z liczby ujemnej. Trudniejsze bywa zadanie prawda/fałsz łączące potęgi z podzielnością albo liczbą cyfr (39% w maju 2026). Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

7 zadań · 8 pkt · ok. 15 min

(0–1 pkt) Liczba $\sqrt{\dfrac{49}{2}}\cdot\sqrt2 + 3^{-1}$ jest równa

A. $\dfrac{22}{3}$ B. $7$ C. $\dfrac{10}{3}$ D. $4$
Odpowiedź
A.
1. $\sqrt{\frac{49}{2}\cdot 2} = \sqrt{49} = 7$
2. $7 + \frac13 = \frac{22}{3}$ .
3. D to $3^{-1}$ policzone jak $-3$ .
(0–1 pkt) Liczba $\dfrac{3^{10} + 3^{11} + 3^{12}}{3^{10}}$ jest równa

A. $13$ B. $3^{23}$ C. $3^{3}$ D. $9$
Odpowiedź
A.
1. $3^{10}(1 + 3 + 9) : 3^{10} = 13$ .
2. B to dodawanie wykładników przy sumie potęg.
(0–1 pkt) Liczba $\dfrac{8^{-3}}{16^{-2}}$ jest równa

A. $2^{-1}$ B. $2$ C. $2^{-17}$ D. $2^{17}$
Odpowiedź
A.
1. $8^{-3} = 2^{-9}$ , $\ 16^{-2} = 2^{-8}$
2. $2^{-9 - (-8)} = 2^{-1}$ .
(0–1 pkt) Liczba $\sqrt[3]{-24}\cdot\sqrt[3]{9}$ jest równa

A. $-6$ B. $6$ C. $-36$ D. $\sqrt[3]{-15}$
Odpowiedź
A.
1. $\sqrt[3]{-24\cdot 9} = \sqrt[3]{-216}$
2. $= -6$ .
(0–1 pkt) Liczba $\sqrt{3\sqrt[3]{3}}$ jest równa

A. $3^{\frac23}$ B. $3^{\frac13}$ C. $3^{\frac43}$ D. $3^{\frac56}$
Odpowiedź
A.
1. $3\cdot 3^{\frac13} = 3^{\frac43}$
2. $\left(3^{\frac43}\right)^{\frac12} = 3^{\frac23}$ .
3. C to zapomniany pierwiastek zewnętrzny.
(0–1 pkt) Dana jest liczba $N = 2^{20}\cdot 5^{18}$ . Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

1. Liczba $N$ jest podzielna przez $40$ . P / F
2. Zapis dziesiętny liczby $N$ ma $20$ cyfr. P / F
Odpowiedź
PF.
1. $N = 2^2\cdot(2\cdot 5)^{18} = 4\cdot 10^{18}$ .
2. $4\cdot 10^{18} = 40\cdot 10^{17}$ : podzielna przez $40$ .
3. Czwórka i $18$ zer: $19$ cyfr.
(0–2 pkt) Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{4}{\sqrt5 - 1} - \sqrt5$ . Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Usunięcie niewymierności. $\frac{4}{\sqrt5 - 1} = \frac{4(\sqrt5 + 1)}{5 - 1} = \sqrt5 + 1.$
2. Wynik. $\sqrt5 + 1 - \sqrt5 = 1$ .
1 pkt za zapisanie $\frac{4}{\sqrt5 - 1} = \sqrt5 + 1$ (albo za pomnożenie licznika i mianownika przez $\sqrt5 + 1$ ). 2 pkt za wynik $1$ .

7 Najczęstsze błędy

„ $2^3 + 2^4 = 2^7$ .”: Wykładniki dodaje się przy mnożeniu potęg. Sumę liczy się wprost albo przez wyłączenie wspólnego czynnika: $2^3 + 2^4 = 2^3(1 + 2) = 24$ .
„ $\sqrt{a + b} = \sqrt a + \sqrt b$ .”: Nieprawda: $\sqrt{9 + 16} = 5 \ne 7$ . Pierwiastek rozbija się tylko na iloczyn i iloraz.
„ $2^{-3} = -8$ .”: Ujemny wykładnik daje odwrotność, nie liczbę ujemną: $2^{-3} = \frac18$ .
„Pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje.”: Nie istnieje pierwiastek parzystego stopnia. $\sqrt[3]{-27} = -3$ , $\sqrt[5]{-1} = -1$ .
„ $\sqrt{x^2} = x$ .”: $\sqrt{x^2} = |x|$ . Dla $x = -3$ : $\sqrt{9} = 3 = |-3|$ .

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jak zapisać

\frac{1}{27}

jako potęgę liczby

3

$3^{-3}$ .

2 Ile to

(-8)^{\frac13}

… i czy wolno tak pisać?

$\sqrt[3]{-8} = -2$ istnieje, ale potęgę o wykładniku wymiernym definiujemy dla podstawy dodatniej. Pisz $\sqrt[3]{-8}$ .

3 Przez co pomnożyć licznik i mianownik ułamka

\frac{1}{\sqrt3 + 1}

Przez $\sqrt3 - 1$ : mianownik da $3 - 1 = 2$ .

4 Co oznacza

a^{\frac mn}

$\sqrt[n]{a^m}$ , dla $a > 0$ .

5 Ile cyfr ma liczba

5\cdot 10^{12}

$13$ : piątka i dwanaście zer.

9 Karta wzorów i co dalej

Potęgi

$a^m a^n = a^{m+n}$ , $\ a^m : a^n = a^{m-n}$ , $\ (a^m)^n = a^{mn}$

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , $\ a^0 = 1$

$a^{\frac mn} = \sqrt[n]{a^m}$ ( $a > 0$ )

Pierwiastki

$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]a\,\sqrt[n]b$ ; $\ \sqrt{a^2} = |a|$

stopień nieparzysty: także z liczb ujemnych

$\frac{1}{\sqrt a - b} = \frac{\sqrt a + b}{a - b^2}$

Prawa działań na potęgach i pierwiastkach są w broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” (rozdział 2). Strategii „wspólnej podstawy” i usuwania niewymierności broszura nie podaje.

Dalej: logarytmy, czyli pytanie odwrotne do potęgowania (lekcja 1.3 Logarytmy), oraz procent składany, który jest po prostu potęgą (1.4 Procenty, procent składany, lokaty i kredyty).