7.1 Trygonometria kątów od 0° do 180° · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Ten sam sinus, dwa kąty

Jeśli $\sin\alpha = \tfrac12$ , to $\alpha = 30^\circ$ albo $\alpha = 150^\circ$ . Oba kąty mają ten sam sinus, ale cosinusy przeciwnych znaków: $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}$ , $\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt3}{2}$ . Dlatego z samego $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ dostajesz dwa kandydaty na cosinus, a o wyborze decyduje informacja „kąt ostry” albo „kąt rozwarty”. W zadaniach zamkniętych CKE dystraktorem jest zwykle ta sama liczba z drugim znakiem.

1 Definicje na półokręgu

Funkcje kąta $\alpha \in [0^\circ,\,180^\circ]$

Ramię kąta wyznacza na półokręgu o promieniu $1$ punkt $(x,\,y)$ . Wtedy $\cos\alpha = x$ , $\sin\alpha = y$ , $\operatorname{tg}\alpha = \frac yx$ (dla $\alpha \ne 90^\circ$ ).

$\sin\alpha \ge 0$ dla każdego takiego kąta; $\cos\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$ są ujemne dla kąta rozwartego.
$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ , $\ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ , $\ \operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$ .

Przykład 1.1 Kąt rozwarty, dany sinus

Kąt $\alpha$ jest rozwarty i $\sin\alpha = \tfrac23$ . Oblicz $\cos\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$ .

$\cos^2\alpha = 1 - \tfrac49 = \tfrac59$ ; kąt rozwarty, więc $\cos\alpha = -\tfrac{\sqrt5}{3}$ .
$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{2/3}{-\sqrt5/3} = -\dfrac{2}{\sqrt5} = -\dfrac{2\sqrt5}{5}$ .

Wynik: $\cos\alpha = -\frac{\sqrt5}{3}$ , $\operatorname{tg}\alpha = -\frac{2\sqrt5}{5}$ .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

Oblicz $\operatorname{tg} 60^\circ \cdot \cos 30^\circ - \sin 150^\circ$ .

Odpowiedź
$\sqrt3 \cdot \tfrac{\sqrt3}{2} - \tfrac12 = \tfrac32 - \tfrac12 = 1$ .
Kąt $\alpha$ jest rozwarty i $\cos\alpha = -\tfrac{3}{5}$ . Oblicz $\sin\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$ .

Odpowiedź
$\sin\alpha = \tfrac45$ (zawsze nieujemny), $\operatorname{tg}\alpha = -\tfrac43$ .

2 Trójkąt prostokątny

Kąt ostry $\alpha$ w trójkącie prostokątnym

$\sin\alpha = \dfrac{\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}}$ , $\ \cos\alpha = \dfrac{\text{przyprostokątna przy}}{\text{przeciwprostokątna}}$ , $\ \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\text{naprzeciw}}{\text{przy}}$ .

Gdy brakuje boku, najpierw twierdzenie Pitagorasa, potem definicja.

Przykład 2.1 Najpierw Pitagoras

W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt przy $C$ jest prosty, $|AC| = 5$ , $|BC| = 12$ . Oblicz $\sin\angle BAC$ i $\operatorname{tg}\angle ABC$ .

$|AB| = \sqrt{25 + 144} = 13$ .
$\sin\angle BAC = \dfrac{|BC|}{|AB|} = \dfrac{12}{13}$ ; $\ \operatorname{tg}\angle ABC = \dfrac{|AC|}{|BC|} = \dfrac{5}{12}$ .

Wynik: $\frac{12}{13}$ i $\frac{5}{12}$ .

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 5 min

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości $2$ i $\sqrt5$ . Oblicz sinus kąta leżącego naprzeciw krótszej przyprostokątnej.

Odpowiedź
Przeciwprostokątna $3$ ; krótsza to $2$ ( $2 < \sqrt5$ ): $\sin = \tfrac23$ .
W trójkącie prostokątnym $ABC$ (kąt prosty przy $C$ ) $|AC| = 4$ , $|BC| = 3$ , a $D$ jest środkiem $AC$ . Oblicz $\operatorname{tg}\angle BDC$ i $\operatorname{tg}\angle ADB$ .
Odpowiedź
1. $|DC| = 2$ , $\operatorname{tg}\angle BDC = \tfrac32$ .
2. $\angle ADB = 180^\circ - \angle BDC$ (kąt rozwarty): $\operatorname{tg}\angle ADB = -\tfrac32$ .

3 Tożsamości i wyrażenia

Dwie tożsamości

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.

Wyrażenie, w którym licznik i mianownik są „tego samego stopnia” w $\sin$ i $\cos$ , podziel przez $\cos\alpha$ (albo $\cos^2\alpha$ ): zostanie samo $\operatorname{tg}\alpha$ .

Przykład 3.1 Sprowadzenie do tangensa

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\dfrac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\cos\alpha} = 4$ . Oblicz $\operatorname{tg}\alpha$ i $\sin\alpha$ .

$\operatorname{tg}\alpha + 1 = 4$ , więc $\operatorname{tg}\alpha = 3$ .
$\sin\alpha = 3\cos\alpha$ i $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ : $10\cos^2\alpha = 1$ , $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$ .
$\sin\alpha = \dfrac{3}{\sqrt{10}} = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ .

Wynik: $\operatorname{tg}\alpha = 3$ , $\sin\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$ .

Zadania · część 3

1 zadanie · ok. 3 min

Uprość $\dfrac{1 - \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$ dla kąta ostrego $\alpha$ .

Odpowiedź
$\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha$ .

4 Zastosowania: odcinki w figurach

Przykład 4.1 Wysokość z kąta

W trapezie równoramiennym ramię ma długość $6$ i tworzy z dłuższą podstawą kąt $60^\circ$ . Oblicz wysokość trapezu.

Wysokość z wierzchołka krótszej podstawy wraz z ramieniem tworzy trójkąt prostokątny.
$h = 6\sin 60^\circ = 6 \cdot \tfrac{\sqrt3}{2}$ .

Wynik: $h = 3\sqrt3$ .

Zadania · część 4

1 zadanie · ok. 3 min

Przekątna prostokąta ma długość $10$ i tworzy z dłuższym bokiem kąt $30^\circ$ . Oblicz pole prostokąta.

Odpowiedź
Boki $10\cos30^\circ = 5\sqrt3$ i $10\sin30^\circ = 5$ : pole $25\sqrt3$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 27 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · wartości

Zestawy A

Oblicz.
1. $\sin 30^\circ + \cos 60^\circ$
2. $\cos 150^\circ + \sin 60^\circ$
Odpowiedzi
a) $1$ b) $0$

Poziom B · jedna funkcja dana

Zestawy B

Oblicz pozostałe dwie funkcje.
1. $\alpha$ ostry, $\sin\alpha = \tfrac35$
2. $\alpha$ ostry, $\operatorname{tg}\alpha = \tfrac34$
Odpowiedzi
a) $\cos = \tfrac45$ , $\operatorname{tg} = \tfrac34$ b) $\sin = \tfrac35$ , $\cos = \tfrac45$

Poziom C · trójkąty i wyrażenia

Zestawy C

Trójkąt prostokątny ( $\gamma = 90^\circ$ ): oblicz.
1. $a = 8$ , $b = 15$ ; $\ \sin\alpha$
Odpowiedzi
a) $\tfrac{8}{17}$
Kąt $\alpha$ ostry: oblicz $\operatorname{tg}\alpha$ albo uprość.
1. $\dfrac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\cos\alpha} = 2$
2. $\dfrac{\sin^3\alpha + \sin\alpha\cos^2\alpha}{\sin\alpha}$
Odpowiedzi
a) $\operatorname{tg}\alpha = 3$ b) $1$

Pełny trening (27 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

Trygonometria to w arkuszach podstawowych z lat 2024–2026 głównie zadania zamknięte. Według sprawozdań CKE tangens kąta w trójkącie danym na rysunku rozwiązało 81% zdających (maj 2025), sinus kąta, gdy trzeba było najpierw policzyć przeciwprostokątną, 59%, tożsamość $\sqrt3\operatorname{tg}\alpha = 2\sin\alpha$ 70% (maj 2025), a wyrażenie wymierne w $\sin$ i $\cos$ do sprowadzenia do tangensa 51% (maj 2026). Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

6 zadań · 9 pkt · ok. 20 min

(0–1 pkt) Kąt $\alpha$ jest rozwarty i $\sin\alpha = \tfrac{5}{13}$ . Wtedy $\cos\alpha$ jest równy

A. $-\tfrac{12}{13}$ B. $-\tfrac{8}{13}$ C. $\tfrac{8}{13}$ D. $\tfrac{12}{13}$

Odpowiedź
A. $\cos^2\alpha = \frac{144}{169}$ , rozwarty: ujemny.
(0–1 pkt) Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg}\alpha = 2$ . Wtedy $\sin\alpha$ jest równy

A. $\tfrac12$ B. $\tfrac{\sqrt5}{5}$ C. $\tfrac{2\sqrt5}{5}$ D. $\tfrac23$

Odpowiedź
C. $\sin\alpha = 2\cos\alpha$ , $5\cos^2\alpha = 1$ , $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt5}$ .
(0–1 pkt) Kąt $\alpha$ jest ostry i $\dfrac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\cos\alpha} = 7$ . Wtedy $\operatorname{tg}\alpha$ jest równy

A. $\tfrac12$ B. $2$ C. $4$ D. $5$

Odpowiedź
B. $2\operatorname{tg}\alpha + 3 = 7$ .
(0–1 pkt) Wartość wyrażenia $\sin 120^\circ \cdot \cos 150^\circ$ jest równa

A. $-\tfrac34$ B. $-\tfrac{\sqrt3}{4}$ C. $\tfrac{\sqrt3}{4}$ D. $\tfrac34$

Odpowiedź
A. $\frac{\sqrt3}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)$ .
(0–2 pkt) Kąt $\alpha$ jest rozwarty i $\cos\alpha = -\tfrac13$ . Oblicz wartość wyrażenia $2\sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Sinus. $\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac19} = \frac{2\sqrt2}{3}$ .
2. Tangens. $\operatorname{tg}\alpha = \frac{2\sqrt2/3}{-1/3} = -2\sqrt2$ .
3. Wynik. $2 \cdot \frac{2\sqrt2}{3} \cdot (-2\sqrt2) = -\frac{16}{3}$ .
1 pkt za $\sin\alpha$ (albo za uproszczenie $2\sin\alpha\operatorname{tg}\alpha = \frac{2\sin^2\alpha}{\cos\alpha}$ ). 2 pkt za $-\frac{16}{3}$ .
(0–3 pkt) W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, $|AC| = 6$ , $|BC| = 4$ , a punkt $D$ leży na boku $AC$ i $|CD| = 3$ . Oblicz $\sin\angle ADB$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Trójkąt $BCD$ . prostokątny, $|BD| = \sqrt{9 + 16} = 5$ .
2. Kąt $BDC$ . $\sin\angle BDC = \frac{|BC|}{|BD|} = \frac45$ .
3. Kąt $ADB$ . $\angle ADB = 180^\circ - \angle BDC$ , więc $\sin\angle ADB = \frac45$ .
1 pkt za $|BD| = 5$ . 2 pkt za $\sin\angle BDC = \frac45$ . 3 pkt za $\sin\angle ADB = \frac45$ z uzasadnieniem.

7 Najczęstsze błędy

„ $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$ .”: Tylko dla kąta ostrego. Dla rozwartego $\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$ .
„ $\sin\alpha$ może być ujemny dla kąta rozwartego.”: Dla kątów od $0^\circ$ do $180^\circ$ sinus jest nieujemny.
„ $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ .”: Odwrotnie: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ . Wzór jest w broszurze.
„ $\sin\angle BAC = \frac{|AC|}{|AB|}$ .”: Sinus to przyprostokątna naprzeciw kąta. Naprzeciw $A$ leży $BC$ .

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Ile wynosi

\cos 120^\circ

$-\frac12$ .

2 Dla jakiego kąta z

[0^\circ,\,180^\circ]

tangens nie istnieje?

Dla $90^\circ$ .

3 Jaki znak ma

\operatorname{tg} 100^\circ

Ujemny.

4 Jak z

\operatorname{tg}\alpha = 1

(kąt ostry) dostać

\sin\alpha

$\alpha = 45^\circ$ , $\sin\alpha = \frac{\sqrt2}{2}$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Tożsamości

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ , $\ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ , $\ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$

Wartości

$30^\circ$ : $\frac12$ , $\frac{\sqrt3}{2}$ , $\frac{\sqrt3}{3}$

$45^\circ$ : $\frac{\sqrt2}{2}$ , $\frac{\sqrt2}{2}$ , $1$

$60^\circ$ : $\frac{\sqrt3}{2}$ , $\frac12$ , $\sqrt3$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są definicje, tożsamości, wzory $180^\circ - \alpha$ i tablica wartości funkcji trygonometrycznych.

Dalej: twierdzenie cosinusów i pole trójkąta (lekcja 7.2 Twierdzenie cosinusów i pole trójkąta).