7.2 Twierdzenie cosinusów i pole trójkąta · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Pitagoras z poprawką

Dla kąta prostego $c^2 = a^2 + b^2$ . Gdy kąt między $a$ i $b$ jest ostry, ramiona są „ściśnięte” i $c$ jest krótsze; gdy rozwarty, $c$ jest dłuższe. Poprawka wynosi dokładnie $-2ab\cos\gamma$ : dla $\gamma < 90^\circ$ odejmujemy, dla $\gamma > 90^\circ$ cosinus jest ujemny, więc dodajemy. Przykład: $a = 8$ , $b = 5$ , $\gamma = 60^\circ$ daje $c^2 = 64 + 25 - 40 = 49$ , $c = 7$ , mniej niż $\sqrt{89}$ dla kąta prostego.

1 Twierdzenie cosinusów

Twierdzenie cosinusów

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma,

gdzie $\gamma$ to kąt między bokami $a$ i $b$ (leżący naprzeciw $c$ ). Działa w obie strony: z trzech boków wyznaczysz cosinus każdego kąta, $\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ .

Przykład 1.1 Kąt z trzech boków

Trójkąt ma boki $5$ , $7$ , $8$ . Oblicz miarę kąta leżącego naprzeciw boku $7$ .

$7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8\cos\gamma$ , czyli $49 = 89 - 80\cos\gamma$ .
$\cos\gamma = \tfrac{40}{80} = \tfrac12$ .

Wynik: $\gamma = 60^\circ$ .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 5 min

W trójkącie $|AB| = 4$ , $|AC| = 6$ , $\angle BAC = 120^\circ$ . Oblicz $|BC|$ .

Odpowiedź
$|BC|^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \left(-\tfrac12\right) = 76$ , $|BC| = 2\sqrt{19}$ .
Trójkąt ma boki $3$ , $5$ , $7$ . Wykaż, że jest rozwartokątny, i podaj największy kąt.

Odpowiedź
$\cos\gamma = \dfrac{9 + 25 - 49}{30} = -\tfrac12$ : $\gamma = 120^\circ$ .

2 Pole $\frac12 ab\sin\gamma$

Pole z dwóch boków i kąta między nimi

P = \tfrac12\,a\,b\,\sin\gamma.

To jest „połowa podstawy razy wysokość”, bo wysokość opuszczona na bok $a$ ma długość $b\sin\gamma$ . Ponieważ $\sin(180^\circ - \gamma) = \sin\gamma$ , kąty $30^\circ$ i $150^\circ$ dają to samo pole.

Przykład 2.1 Pole przy kącie rozwartym

Oblicz pole trójkąta o bokach $4$ i $6$ i kącie $150^\circ$ między nimi.

$\sin150^\circ = \tfrac12$ .
$P = \tfrac12 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \tfrac12$ .

Wynik: $P = 6$ .

Zadania · część 2

1 zadanie · ok. 3 min

Pole trójkąta o bokach $8$ i $5$ jest równe $10\sqrt3$ . Jaki może być kąt między tymi bokami?

Odpowiedź
$20\sin\gamma = 10\sqrt3$ , $\sin\gamma = \tfrac{\sqrt3}{2}$ : $60^\circ$ albo $120^\circ$ .

3 Środkowa i trójkąt pomocniczy

Twierdzenie cosinusów stosuje się w trójkącie, w którym znasz dwa boki i kąt między nimi. Przy środkowej takim trójkątem jest ten, który ma za bok połowę boku trójkąta.

Przykład 3.1 Długość środkowej

W trójkącie $ABC$ : $|AB| = 8$ , $|BC| = 10$ , $\angle ABC = 60^\circ$ . Oblicz długość środkowej $AD$ .

$D$ jest środkiem $BC$ , więc $|BD| = 5$ . W trójkącie $ABD$ znamy $|AB|$ , $|BD|$ i kąt $B$ między nimi.
$|AD|^2 = 64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \tfrac12 = 49$ .

Wynik: $|AD| = 7$ .

Zadania · część 3

1 zadanie · ok. 4 min

W równoległoboku boki mają długości $5$ i $8$ , a kąt ostry ma $60^\circ$ . Oblicz długości przekątnych.
Odpowiedź
1. Krótsza naprzeciw $60^\circ$ : $25 + 64 - 40 = 49$ , długość $7$ .
2. Dłuższa naprzeciw $120^\circ$ : $25 + 64 + 40 = 129$ , długość $\sqrt{129}$ .

4 Stosunki pól przy wspólnym kącie

Wspólny kąt

Jeśli trójkąty $DBE$ i $ABC$ mają wspólny kąt $B$ , to $\dfrac{P_{DBE}}{P_{ABC}} = \dfrac{|BD| \cdot |BE|}{|BA| \cdot |BC|}$ , bo $\sin B$ się skraca.

Przykład 4.1 Pole „odciętego” trójkąta

Pole trójkąta $ABC$ jest równe $24$ . Punkt $D$ leży na $AB$ i $|AD| = \tfrac13|AB|$ , punkt $E$ leży na $BC$ i $|BE| = \tfrac14|BC|$ . Oblicz pole trójkąta $DBE$ .

$|BD| = \tfrac23|AB|$ , $|BE| = \tfrac14|BC|$ .
$P_{DBE} = 24 \cdot \tfrac23 \cdot \tfrac14$ .

Wynik: $4$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 24 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · trzeci bok i kąt

Zestawy A

Oblicz $c$ (kąt $\gamma$ leży między $a$ i $b$ ).
1. $a = 3$ , $b = 8$ , $\gamma = 60^\circ$
2. $a = \sqrt3$ , $b = 1$ , $\gamma = 150^\circ$
Odpowiedzi
a) $7$ b) $\sqrt7$
Oblicz cosinus kąta naprzeciw boku $c$ i podaj, czy kąt jest ostry, prosty czy rozwarty.
1. $a = 4$ , $b = 5$ , $c = 6$
Odpowiedzi
a) $\tfrac18$ ; ostry

Poziom B · pole

Zestawy B

Oblicz pole.
1. $a = 6$ , $b = 7$ , $\gamma = 30^\circ$
2. romb o boku $10$ i kącie $150^\circ$
Odpowiedzi
a) $\tfrac{21}{2}$ b) $50$

Poziom C · środkowe i stosunki pól

Zestawy C

Oblicz.
1. $|AB| = 10$ , $|BC| = 6$ , $\angle B = 60^\circ$ ; środkowa z $A$
2. $P_{ABC} = 18$ , $|AD| = \tfrac13|AB|$ , $|AE| = \tfrac23|AC|$ ; $\ P_{ADE}$
Odpowiedzi
a) $\sqrt{79}$ b) $4$

Pełny trening (24 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach z lat 2024–2026 i w informatorze są tu zadania P/F (czy trójkąt jest równoramienny, ile wynosi pole), zamknięte (trzeci bok, pole) i otwarte za 2–3 punkty (długość środkowej, stosunek pól). Według sprawozdania CKE zadanie P/F z twierdzenia cosinusów i pola w maju 2025 rozwiązało 51% zdających. Sprawozdanie zauważa też, że zdający sięgają po twierdzenie cosinusów tam, gdzie wystarczy trójkąt „ekierkowy” ( $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ ). Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

6 zadań · 11 pkt · ok. 25 min

(0–1 pkt) W trójkącie $ABC$ : $|AB| = 5$ , $|BC| = 8$ , $\angle ABC = 60^\circ$ . Oceń prawdziwość zdań.

1. Trójkąt $ABC$ jest prostokątny. P F
2. Pole trójkąta $ABC$ jest równe $10\sqrt3$ . P F
Odpowiedź
FP.
1. $|AC|^2 = 25 + 64 - 40 = 49$ , $|AC| = 7$ . Najdłuższy bok $8$ : $5^2 + 7^2 = 74 \ne 64$ , więc nie jest prostokątny.
2. Pole $\frac12 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 10\sqrt3$ .
(0–1 pkt) W trójkącie $|AB| = 3$ , $|AC| = 5$ , $\angle BAC = 120^\circ$ . Bok $BC$ ma długość

A. $\sqrt{19}$ B. $4$ C. $7$ D. $\sqrt{34}$

Odpowiedź
C. $9 + 25 + 15 = 49$ .
(0–1 pkt) Pole trójkąta o bokach $6$ i $10$ i kącie $150^\circ$ między nimi jest równe

A. $15$ B. $15\sqrt3$ C. $30$ D. $30\sqrt3$

Odpowiedź
A. $\frac12 \cdot 60 \cdot \frac12$ .
(0–2 pkt) W trójkącie $ABC$ : $|AB| = 6$ , $|BC| = 8$ , $\angle ABC = 60^\circ$ . Oblicz długość środkowej $CD$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Trójkąt pomocniczy. $D$ – środek $AB$ , $|BD| = 3$ ; w trójkącie $BCD$ : $|CD|^2 = 64 + 9 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \frac12$ .
2. Wynik. $|CD|^2 = 49$ , $|CD| = 7$ .
1 pkt za równanie z twierdzenia cosinusów w trójkącie $BCD$ . 2 pkt za $|CD| = 7$ .
(0–3 pkt) Pole trójkąta $ABC$ jest równe $40$ . Punkt $D$ leży na boku $AB$ i $|AD| = \tfrac14|AB|$ , a punkt $E$ leży na boku $BC$ i $|BE| = \tfrac25|BC|$ . Oblicz pole trójkąta $DBE$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Stosunki. $\frac{|BD|}{|BA|} = \frac34$ , $\frac{|BE|}{|BC|} = \frac25$ .
2. Pola. $P_{DBE} = \frac12|BD||BE|\sin B = \frac34 \cdot \frac25 \cdot P_{ABC}$ .
3. Wynik. $40 \cdot \frac{3}{10} = 12$ .
1 pkt za jeden ze stosunków. 2 pkt za oba (albo zapis pól przez $\sin B$ ). 3 pkt za $12$ .
(0–3 pkt) Trójkąt ma boki długości $3$ , $5$ i $7$ . Oblicz miarę jego największego kąta i pole trójkąta.
Rozwiązanie i punktacja
1. Kąt. naprzeciw $7$ : $\cos\gamma = \frac{9 + 25 - 49}{30} = -\frac12$ , $\gamma = 120^\circ$ .
2. Pole. $\frac12 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin120^\circ = \frac{15\sqrt3}{4}$ .
1 pkt za wybór kąta naprzeciw najdłuższego boku i równanie. 2 pkt za $120^\circ$ . 3 pkt za pole $\frac{15\sqrt3}{4}$ .

7 Najczęstsze błędy

„ $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ , gdzie $\gamma$ to dowolny kąt.”: $\gamma$ musi leżeć między $a$ i $b$ , naprzeciw $c$ .
„ $\cos120^\circ = \frac12$ , więc odejmuję.”: $\cos120^\circ = -\frac12$ : odejmujesz liczbę ujemną, czyli dodajesz.
„Środkowa: biorę cały bok $BC$ .”: W trójkącie pomocniczym bokiem jest połowa $BC$ .
„ $P = \frac12 ab\cos\gamma$ .”: W polu jest sinus; cosinus jest w twierdzeniu cosinusów.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jakie twierdzenie dostajesz z twierdzenia cosinusów dla

\gamma = 90^\circ

Twierdzenie Pitagorasa.

2 Jak sprawdzić, czy trójkąt o bokach

a \le b \le c

jest rozwartokątny?

Gdy $c^2 > a^2 + b^2$ .

3 Ile wynosi pole trójkąta równobocznego o boku

a

ze wzoru z sinusem?

$\frac12 a^2 \sin60^\circ = \frac{a^2\sqrt3}{4}$ .

4 Czy kąty

40^\circ

140^\circ

dają to samo pole przy tych samych bokach?

Tak: $\sin40^\circ = \sin140^\circ$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Wzory

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

$P = \frac12 ab\sin\gamma$

Strategie

trójkąt pomocniczy: dwa boki i kąt między nimi

wspólny kąt: stosunek pól = iloczyn stosunków boków

Twierdzenie cosinusów i wzór na pole z sinusem są w broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne”.

Dalej: dla rozszerzenia miara łukowa i równania trygonometryczne (lekcje 7.3 Miara łukowa, wykresy, okresowość i wzory redukcyjne i 7.4 Wzory na funkcje sumy kątów i równania trygonometryczne), twierdzenie sinusów (7.5 Twierdzenie sinusów i rozwiązywanie trójkątów); geometria płaska w dziale IX.