7.5 Twierdzenie sinusów i rozwiązywanie trójkątów

0 Bok, kąt i okrąg

Każdy trójkąt da się wpisać w okrąg. Bok $a$ jest wtedy cięciwą, a kąt $\alpha$ naprzeciw niego jest kątem wpisanym opartym na tej cięciwie. Kąt środkowy oparty na tej samej cięciwie ma miarę $2\alpha$ , więc połowa cięciwy to $R\sin\alpha$ . Stąd $a = 2R\sin\alpha$ , i tak samo dla pozostałych boków. To jest całe twierdzenie sinusów: bok jest proporcjonalny do sinusa kąta naprzeciw, a współczynnikiem jest średnica okręgu opisanego.

1 Twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów (w broszurze CKE)

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R.

Kąt $\alpha$ leży naprzeciw boku $a$ , $R$ to promień okręgu opisanego. Wzór działa dla każdego trójkąta, także rozwartokątnego: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ .

Przykład 1.1 Promień z boku i kąta

W trójkącie bok $a = 6$ leży naprzeciw kąta $\alpha = 30^\circ$ . Oblicz promień okręgu opisanego.

$2R = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{6}{\frac12} = 12$ .

Wynik: $R = 6$ .

Przykład 1.2 Dwa kąty i bok

W trójkącie $\alpha = 45^\circ$ , $\beta = 60^\circ$ i $a = 2\sqrt2$ . Oblicz $b$ i $c$ .

$2R = \frac{2\sqrt2}{\sin45^\circ} = \frac{2\sqrt2}{\frac{\sqrt2}{2}} = 4$ .
$b = 2R\sin60^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3$ .
$\gamma = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$ ; $\ \sin75^\circ = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}$ (lekcja 7.4 Wzory na funkcje sumy kątów i równania trygonometryczne).
$c = 4\sin75^\circ = \sqrt6 + \sqrt2$ .

Wynik: $b = 2\sqrt3$ , $\ c = \sqrt6 + \sqrt2$ .

Kontrola: największy kąt $75^\circ$ leży naprzeciw największego boku $\sqrt6 + \sqrt2 \approx 3{,}86$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 6 min

Bok $a = 8$ leży naprzeciw kąta $150^\circ$ . Oblicz $R$ .

Odpowiedź
$2R = \frac{8}{\sin150^\circ} = \frac{8}{\frac12} = 16$ , więc $R = 8$ .
$\alpha = 30^\circ$ , $\beta = 45^\circ$ , $a = 4$ . Oblicz $b$ .

Odpowiedź
$b = \frac{a\sin\beta}{\sin\alpha} = \frac{4\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12} = 4\sqrt2$ .
Trójkąt jest wpisany w okrąg o promieniu $4$ . Jeden z jego kątów ma $135^\circ$ . Oblicz długość boku naprzeciw tego kąta.

Odpowiedź
$a = 2R\sin135^\circ = 8\cdot\frac{\sqrt2}{2} = 4\sqrt2$ .

2 Dwa boki i kąt nie między nimi

Przypadek niejednoznaczny

Dane: $a$ , $b$ i kąt $\alpha$ naprzeciw $a$ . Z twierdzenia sinusów $\sin\beta = \frac{b\sin\alpha}{a}$ .

$\sin\beta > 1$ : trójkąt nie istnieje;
$\sin\beta = 1$ : jeden trójkąt, prostokątny;
$\sin\beta < 1$ : kandydaci $\beta_1$ (ostry) i $\beta_2 = 180^\circ - \beta_1$ . Każdego trzeba sprawdzić warunkiem $\alpha + \beta < 180^\circ$ . Jeśli $a > b$ , to $\beta < \alpha$ i zostaje tylko $\beta_1$ .

Sinus nie odróżnia kąta ostrego od rozwartego. To jest główna różnica względem twierdzenia cosinusów, gdzie znak cosinusa rozstrzyga sprawę.

Przykład 2.1 Dwa trójkąty

W trójkącie $ABC$ : $a = 2$ , $b = 2\sqrt3$ , $\alpha = 30^\circ$ . Oblicz $\beta$ i $c$ .

$\sin\beta = \frac{2\sqrt3\cdot\frac12}{2} = \frac{\sqrt3}{2}$ , więc $\beta = 60^\circ$ albo $\beta = 120^\circ$ .
Oba spełniają $30^\circ + \beta < 180^\circ$ .
$\beta = 60^\circ$ : $\gamma = 90^\circ$ , $c = \frac{a\sin\gamma}{\sin\alpha} = \frac{2\cdot1}{\frac12} = 4$ .
$\beta = 120^\circ$ : $\gamma = 30^\circ$ , $c = \frac{2\cdot\frac12}{\frac12} = 2$ .

Wynik: $\beta = 60^\circ$ , $c = 4$ albo $\beta = 120^\circ$ , $c = 2$ .

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 6 min

Ile jest trójkątów, w których $a = 3$ , $b = 3\sqrt2$ , $\alpha = 30^\circ$ ?

Odpowiedź
$\sin\beta = \frac{3\sqrt2\cdot\frac12}{3} = \frac{\sqrt2}{2}$ : $\beta = 45^\circ$ albo $135^\circ$ ; oba z $30^\circ$ dają sumę mniejszą niż $180^\circ$ . Dwa trójkąty.
Ile jest trójkątów, w których $a = 4$ , $b = 2$ , $\alpha = 60^\circ$ ?

Odpowiedź
$a > b$ , więc $\beta < \alpha$ i tylko kąt ostry ( $\sin\beta = \frac{\sqrt3}{4}$ ). Jeden trójkąt.
Ile jest trójkątów, w których $a = 1$ , $b = 4$ , $\alpha = 30^\circ$ ?

Odpowiedź
$\sin\beta = \frac{4\cdot\frac12}{1} = 2 > 1$ . Żadnego.

3 Pole i promień okręgu opisanego

Wzory z $R$ (w broszurze CKE)

P = \frac{abc}{4R}, \qquad P = 2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.

Pierwszy wynika z $P = \frac12 bc\sin\alpha$ i $\sin\alpha = \frac{a}{2R}$ . Gdy znane są trzy boki, pole liczy się wzorem Herona albo z cosinusa kąta, a potem $R = \frac{abc}{4P}$ .

Przykład 3.1 Promień z trzech boków

Boki trójkąta mają długości $13$ , $14$ , $15$ . Oblicz promień okręgu opisanego.

Wzór Herona: $p = 21$ , $P = \sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6} = \sqrt{7056} = 84$ .
$R = \frac{abc}{4P} = \frac{13\cdot14\cdot15}{336} = \frac{2730}{336}$ .

Wynik: $R = \frac{65}{8}$ .

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 5 min

Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku $6$ .

Odpowiedź
$R = \frac{6}{2\sin60^\circ} = \frac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3$ .
Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie o bokach $5$ , $5$ , $6$ .

Odpowiedź
Wysokość na bok $6$ : $\sqrt{25 - 9} = 4$ , pole $12$ . $R = \frac{5\cdot5\cdot6}{48} = \frac{25}{8}$ .

4 Sinusy czy cosinusy

Wybór twierdzenia

dwa kąty i dowolny bok: sinusy (trzeci kąt z sumy $180^\circ$ );
dwa boki i kąt między nimi: cosinusy (trzeci bok);
trzy boki: cosinusy (kąty), potem ewentualnie sinusy albo $\frac{abc}{4P}$ dla $R$ ;
dwa boki i kąt nie między nimi: sinusy z kontrolą liczby rozwiązań albo cosinusy z równaniem kwadratowym na trzeci bok;
w treści jest okrąg opisany albo $R$ : prawie zawsze sinusy.

Przykład 4.1 Oba twierdzenia po kolei

W trójkącie $b = 4\sqrt2$ , $c = 7$ , a kąt między nimi $\alpha = 45^\circ$ . Oblicz $a$ i promień okręgu opisanego.

Cosinusy: $a^2 = 32 + 49 - 2\cdot4\sqrt2\cdot7\cdot\frac{\sqrt2}{2} = 81 - 56 = 25$ , więc $a = 5$ .
Sinusy: $2R = \frac{5}{\sin45^\circ} = \frac{10}{\sqrt2} = 5\sqrt2$ .

Wynik: $a = 5$ , $\ R = \frac{5\sqrt2}{2}$ .

Zadania · część 4

2 zadania · ok. 8 min

Boki trójkąta mają długości $7$ , $8$ , $13$ . Oblicz miarę największego kąta i promień okręgu opisanego.
Odpowiedź
1. $\cos\gamma = \frac{49 + 64 - 169}{2\cdot7\cdot8} = \frac{-56}{112} = -\frac12$ , więc $\gamma = 120^\circ$ .
2. $R = \frac{13}{2\sin120^\circ} = \frac{13}{\sqrt3} = \frac{13\sqrt3}{3}$ .
W trójkącie $a = 5$ , $b = 8$ , $\alpha = 30^\circ$ . Ile jest takich trójkątów? Oblicz $\sin\beta$ i wszystkie możliwe wartości $\cos\beta$ .
Odpowiedź
1. $\sin\beta = \frac{8\cdot\frac12}{5} = \frac45$ .
2. $\cos\beta = \frac35$ albo $\cos\beta = -\frac35$ ; kąt rozwarty ma ok. $126{,}9^\circ$ , a $30^\circ + 126{,}9^\circ < 180^\circ$ .
3. Dwa trójkąty.

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 19 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · bok, kąt i $R$

Zestawy A

Oblicz szukaną wielkość (kąt leży naprzeciw boku).
1. $a = 10$ , $\alpha = 30^\circ$ ; $\ R$
2. $R = 5$ , $\gamma = 150^\circ$ ; $\ c$
Odpowiedzi
a) $10$ b) $5$

Poziom B · boki i liczba trójkątów

Zestawy B

Oblicz bok.
1. $\alpha = 30^\circ$ , $\beta = 45^\circ$ , $a = 2$ ; $\ b$
Odpowiedzi
a) $2\sqrt2$
Ile jest trójkątów o danych $a$ , $b$ i kącie $\alpha$ naprzeciw $a$ ?
1. $a = 5$ , $b = 10$ , $\alpha = 30^\circ$
Odpowiedzi
a) $1$ (prostokątny)

Poziom C · pole i promień

Zestawy C

Oblicz.
1. $R$ dla boków $6$ , $8$ , $10$
2. pole: $R = 2$ , kąty $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$
Odpowiedzi
a) $5$ b) $2\sqrt3$

Pełny trening (19 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W puli zadań CKE z lat 2024–2026 są trzy zadania do tej lekcji (3, 3 i 5 punktów). Punkty przyznaje się za kolejne etapy: zapisanie zależności z twierdzenia sinusów, sprowadzenie jej do równania z jedną niewiadomą (często przez wzór na sinus sumy lub różnicy) i wynik. W maju 2025 zadanie o podziale trójkąta równobocznego na dwa trójkąty o danym stosunku pól rozwiązało 17% zdających. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

4 zadania · 14 pkt · ok. 35 min

(0–3 pkt) Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg o promieniu $5$ . Wiadomo, że $|BC| = 5\sqrt3$ , $|AC| = 5\sqrt2$ , a kąt $BAC$ jest ostry. Oblicz miarę kąta $ACB$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Kąt $A$ . $\sin\angle A = \frac{5\sqrt3}{10} = \frac{\sqrt3}{2}$ , kąt ostry: $60^\circ$ .
2. Kąt $B$ . $\sin\angle B = \frac{5\sqrt2}{10} = \frac{\sqrt2}{2}$ : $45^\circ$ albo $135^\circ$ ; $60^\circ + 135^\circ > 180^\circ$ , więc $45^\circ$ .
3. Wynik. $\angle ACB = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$ .
1 pkt za $\angle A = 60^\circ$ . 2 pkt za $\angle B = 45^\circ$ z odrzuceniem $135^\circ$ . 3 pkt za $75^\circ$ .
(0–3 pkt) W trójkącie $ABC$ kąt $ABC$ jest dwa razy większy od kąta $BAC$ , $|BC| = 4$ i $|AC| = 6$ . Oblicz cosinus kąta $BAC$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Twierdzenie sinusów. $\frac{4}{\sin\alpha} = \frac{6}{\sin2\alpha}$ .
2. Podwojony kąt. $\frac{4}{\sin\alpha} = \frac{6}{2\sin\alpha\cos\alpha}$ ; $\sin\alpha \ne 0$ , więc $8\cos\alpha = 6$ .
3. Wynik. $\cos\alpha = \frac34$ .
1 pkt za równanie z twierdzenia sinusów. 2 pkt za zastosowanie $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ . 3 pkt za $\frac34$ .
(0–4 pkt) Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg. $|AB| = 3$ , $|BC| = 5$ , $\angle ABC = 120^\circ$ oraz $|AD| = |CD|$ . Oblicz promień okręgu i pole trójkąta $ACD$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Przekątna. $|AC|^2 = 9 + 25 - 2\cdot3\cdot5\cdot\left(-\frac12\right) = 49$ , $|AC| = 7$ .
2. Promień. $2R = \frac{7}{\sin120^\circ}$ , $R = \frac{7}{\sqrt3} = \frac{7\sqrt3}{3}$ .
3. Kąt $D$ . w czworokącie wpisanym $\angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ ; trójkąt $ACD$ jest równoramienny z kątem $60^\circ$ , czyli równoboczny.
4. Pole. $\frac{49\sqrt3}{4}$ .
1 pkt za $|AC| = 7$ . 2 pkt za $R$ . 3 pkt za $\angle ADC = 60^\circ$ . 4 pkt za pole $\frac{49\sqrt3}{4}$ .
(0–4 pkt) W trójkącie $ABC$ : $\angle BAC = 60^\circ$ , $\angle ABC = 45^\circ$ . Dwusieczna kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $D$ . Oblicz stosunek pól trójkątów $ADC$ i $DBC$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Wspólna wysokość. oba trójkąty mają wysokość z $C$ na $AB$ , więc $\frac{P_{ADC}}{P_{DBC}} = \frac{|AD|}{|DB|}$ .
2. Dwusieczna. $\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AC|}{|BC|}$ (twierdzenie o dwusiecznej, w broszurze).
3. Sinusy. $\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{\sin\angle B}{\sin\angle A} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}} = \frac{\sqrt2}{\sqrt3}$ .
4. Wynik. $\frac{\sqrt6}{3}$ .
1 pkt za stosunek pól równy $|AD|:|DB|$ . 2 pkt za twierdzenie o dwusiecznej. 3 pkt za $\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{\sin B}{\sin A}$ . 4 pkt za $\frac{\sqrt6}{3}$ .

7 Najczęstsze błędy

„ $\frac{a}{\sin\alpha} = R$ .”: Iloraz jest równy średnicy, $2R$ . Kontrola: w trójkącie równobocznym o boku $1$ wychodzi $R = \frac{\sqrt3}{3} \approx 0{,}58$ , czyli mniej niż bok.
„Z $\sin\beta = \frac12$ wynika $\beta = 30^\circ$ .”: Także $150^\circ$ . Drugi kandydat odpada tylko wtedy, gdy suma z pozostałymi kątami przekracza $180^\circ$ albo gdy $\beta$ leży naprzeciw krótszego z dwóch danych boków.
„Kąt $\alpha$ leży przy boku $a$ .”: Naprzeciw. W oznaczeniach CKE wierzchołek $A$ ma kąt $\alpha$ , a bok $a = |BC|$ go nie zawiera.
„Twierdzenie sinusów wymaga kąta ostrego.”: Działa dla każdego kąta, bo $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ , a kąt wpisany rozwarty opiera się na dłuższym łuku.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Ile wynosi

R

, jeśli trójkąt jest prostokątny o przeciwprostokątnej

10

$5$ : $\frac{10}{\sin90^\circ} = 2R$ . Środek okręgu leży w środku przeciwprostokątnej.

2 Kiedy dane

a

b

\alpha

wyznaczają dokładnie jeden trójkąt?

Gdy $a > b$ , gdy $a = b$ i $\alpha$ jest ostry (trójkąt równoramienny) albo gdy $\sin\beta = 1$ .

3 Jak policzyć

R

z trzech boków?

Pole z Herona albo z $\frac12 ab\sin\gamma$ , potem $R = \frac{abc}{4P}$ ; albo kąt z twierdzenia cosinusów i $R = \frac{c}{2\sin\gamma}$ .

4 Jaki jest stosunek boków w trójkącie o kątach

30^\circ

60^\circ

90^\circ

$\sin30^\circ : \sin60^\circ : \sin90^\circ = 1 : \sqrt3 : 2$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Twierdzenie sinusów

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$

$a : b : c = \sin\alpha : \sin\beta : \sin\gamma$

$P = \frac{abc}{4R} = 2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$

Przypadek $a$ , $b$ , $\alpha$

$\sin\beta = \frac{b\sin\alpha}{a}$

$> 1$ : brak; $= 1$ : jeden; $< 1$ : sprawdź $\beta_1$ i $180^\circ - \beta_1$

$a > b$ : tylko kąt ostry

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są twierdzenie sinusów (z $2R$ ), twierdzenie cosinusów, wzory na pole z $R$ ( $\frac{abc}{4R}$ , $2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ ), wzór Herona i twierdzenie o dwusiecznej. Analizy liczby rozwiązań w przypadku dwóch boków i kąta nie ma: tę trzeba umieć samodzielnie.

Dalej: dział VIII, planimetria; zaczynamy od okręgu, cięciw i kątów wpisanych (lekcja 8.1 Okrąg: cięciwy, styczne, kąty wpisane i środkowe, wycinek koła).