Trening: 7.5 Twierdzenie sinusów i rozwiązywanie trójkątów

Poziom A · bok, kąt i $R$

Zestawy A

1 zestaw

Oblicz szukaną wielkość (kąt leży naprzeciw boku).
1. $a = 10$ , $\alpha = 30^\circ$ ; $\ R$
2. $R = 3$ , $\beta = 60^\circ$ ; $\ b$
3. $a = 6$ , $\alpha = 45^\circ$ ; $\ R$
4. $a = 6$ , $\alpha = 120^\circ$ ; $\ R$
5. $R = 5$ , $\gamma = 150^\circ$ ; $\ c$
Odpowiedzi
a) $10$ b) $3\sqrt3$ c) $3\sqrt2$ d) $2\sqrt3$ e) $5$

Poziom B · boki i liczba trójkątów

Zestawy B

2 zestawy

Oblicz bok.
1. $\alpha = 30^\circ$ , $\beta = 45^\circ$ , $a = 2$ ; $\ b$
2. $\alpha = 60^\circ$ , $\beta = 45^\circ$ , $b = 2\sqrt2$ ; $\ a$
3. $\alpha = 30^\circ$ , $\beta = 120^\circ$ , $a = 3$ ; $\ b$
Odpowiedzi
a) $2\sqrt2$ b) $2\sqrt3$ c) $3\sqrt3$
Ile jest trójkątów o danych $a$ , $b$ i kącie $\alpha$ naprzeciw $a$ ?
1. $a = 5$ , $b = 10$ , $\alpha = 30^\circ$
2. $a = 6$ , $b = 6\sqrt2$ , $\alpha = 30^\circ$
3. $a = 7$ , $b = 5$ , $\alpha = 60^\circ$
4. $a = 2$ , $b = 5$ , $\alpha = 45^\circ$
Odpowiedzi
a) $1$ (prostokątny) b) $2$ c) $1$ d) $0$

Poziom C · pole i promień

Zestawy C

1 zestaw

Oblicz.
1. $R$ dla boków $6$ , $8$ , $10$
2. $R$ dla boków $7$ , $8$ , $9$
3. $R$ dla boków $5$ , $12$ , $13$
4. pole: $R = 2$ , kąty $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$
Odpowiedzi
a) $5$ b) $\tfrac{21\sqrt5}{10}$ c) $\tfrac{13}{2}$ d) $2\sqrt3$

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu rozszerzonym CKE: zadania otwarte z punktowanymi etapami.

Zadania w stylu arkusza

3 zadania · 10 pkt

(0–3 pkt) W trójkącie $ABC$ : $|AB| = 6$ , $\angle ACB = 45^\circ$ , $\angle ABC = 60^\circ$ . Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie i długość boku $AC$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Średnica. $2R = \frac{|AB|}{\sin\angle C} = \frac{6}{\frac{\sqrt2}{2}} = 6\sqrt2$ , $R = 3\sqrt2$ .
2. Bok. $|AC| = 2R\sin\angle B = 6\sqrt2\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt6$ .
1 pkt za zależność z twierdzenia sinusów. 2 pkt za $R = 3\sqrt2$ . 3 pkt za $|AC| = 3\sqrt6$ .
(0–3 pkt) W trójkącie $ABC$ : $\sin\alpha : \sin\beta : \sin\gamma = 4 : 5 : 6$ . Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.
Rozwiązanie i punktacja
1. Boki. z twierdzenia sinusów $a : b : c = 4 : 5 : 6$ , czyli $a = 4k$ , $b = 5k$ , $c = 6k$ .
2. Największy kąt. leży naprzeciw $c$ .
3. Cosinusy. $\cos\gamma = \frac{16k^2 + 25k^2 - 36k^2}{40k^2} = \frac18$ .
1 pkt za proporcję boków. 2 pkt za zastosowanie twierdzenia cosinusów do kąta naprzeciw najdłuższego boku. 3 pkt za $\frac18$ .
(0–4 pkt) W trójkącie $ABC$ : $\angle BAC = 30^\circ$ , $|BC| = 2$ , $|AC| = 2\sqrt2$ . Oblicz wszystkie możliwe długości boku $AB$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Kąt $B$ . $\sin\angle B = \frac{2\sqrt2\cdot\frac12}{2} = \frac{\sqrt2}{2}$ : $45^\circ$ albo $135^\circ$ , oba możliwe.
2. Kąt $C$ . $105^\circ$ albo $15^\circ$ .
3. Pierwszy trójkąt. $|AB| = \frac{2\sin105^\circ}{\sin30^\circ} = 4\sin105^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} = \sqrt6 + \sqrt2$ .
4. Drugi trójkąt. $|AB| = 4\sin15^\circ = \sqrt6 - \sqrt2$ .
1 pkt za $\sin\angle B = \frac{\sqrt2}{2}$ . 2 pkt za oba kąty $B$ . 3 pkt za jedną długość. 4 pkt za obie. Inna droga: twierdzenie cosinusów dla kąta $A$ daje $c^2 - 2\sqrt6\,c + 4 = 0$ .