Mathematics and Physics from the Ground Up
PLEN

Matura in mathematics › 7.5 The law of sines and solving triangles › Drill

Matura · poziom rozszerzony · trening 7.5

Trening: twierdzenie sinusów

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 7.5 Twierdzenie sinusów i rozwiązywanie trójkątów: promień okręgu opisanego, boki z dwóch kątów, liczba trójkątów przy dwóch bokach i kącie, pole z RR. Na końcu zadania w stylu arkusza rozszerzonego.

Poziom A · bok, kąt i RR

Zestawy A

1 zestaw

  1. Oblicz szukaną wielkość (kąt leży naprzeciw boku).

    1. a=10a = 10, α=30∘\alpha = 30^\circ;  R\ R
    2. R=3R = 3, β=60∘\beta = 60^\circ;  b\ b
    3. a=6a = 6, α=45∘\alpha = 45^\circ;  R\ R
    4. a=6a = 6, α=120∘\alpha = 120^\circ;  R\ R
    5. R=5R = 5, γ=150∘\gamma = 150^\circ;  c\ c
    Odpowiedzi

    a) 1010   b) 333\sqrt3   c) 323\sqrt2   d) 232\sqrt3   e) 55

Poziom B · boki i liczba trójkątów

Zestawy B

2 zestawy

  1. Oblicz bok.

    1. α=30∘\alpha = 30^\circ, β=45∘\beta = 45^\circ, a=2a = 2;  b\ b
    2. α=60∘\alpha = 60^\circ, β=45∘\beta = 45^\circ, b=22b = 2\sqrt2;  a\ a
    3. α=30∘\alpha = 30^\circ, β=120∘\beta = 120^\circ, a=3a = 3;  b\ b
    Odpowiedzi

    a) 222\sqrt2   b) 232\sqrt3   c) 333\sqrt3

  2. Ile jest trójkątów o danych aa, bb i kącie α\alpha naprzeciw aa?

    1. a=5a = 5, b=10b = 10, α=30∘\alpha = 30^\circ
    2. a=6a = 6, b=62b = 6\sqrt2, α=30∘\alpha = 30^\circ
    3. a=7a = 7, b=5b = 5, α=60∘\alpha = 60^\circ
    4. a=2a = 2, b=5b = 5, α=45∘\alpha = 45^\circ
    Odpowiedzi

    a) 11 (prostokątny)   b) 22   c) 11   d) 00

Poziom C · pole i promień

Zestawy C

1 zestaw

  1. Oblicz.

    1. RR dla boków 66, 88, 1010
    2. RR dla boków 77, 88, 99
    3. RR dla boków 55, 1212, 1313
    4. pole: R=2R = 2, kąty 30∘30^\circ, 60∘60^\circ, 90∘90^\circ
    Odpowiedzi

    a) 55   b) 21510\tfrac{21\sqrt5}{10}   c) 132\tfrac{13}{2}   d) 232\sqrt3

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu rozszerzonym CKE: zadania otwarte z punktowanymi etapami.

Zadania w stylu arkusza

3 zadania · 10 pkt

  1. (0–3 pkt) W trójkącie ABCABC: ∣AB∣=6|AB| = 6, ∠ACB=45∘\angle ACB = 45^\circ, ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie i długość boku ACAC.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Średnica. 2R=∣AB∣sin⁡∠C=622=622R = \frac{|AB|}{\sin\angle C} = \frac{6}{\frac{\sqrt2}{2}} = 6\sqrt2, R=32R = 3\sqrt2.
    2. Bok. ∣AC∣=2Rsin⁡∠B=62⋅32=36|AC| = 2R\sin\angle B = 6\sqrt2\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt6.

    1 pkt za zależność z twierdzenia sinusów. 2 pkt za R=32R = 3\sqrt2. 3 pkt za ∣AC∣=36|AC| = 3\sqrt6.

  2. (0–3 pkt) W trójkącie ABCABC: sin⁡α:sin⁡β:sin⁡γ=4:5:6\sin\alpha : \sin\beta : \sin\gamma = 4 : 5 : 6. Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Boki. z twierdzenia sinusów a:b:c=4:5:6a : b : c = 4 : 5 : 6, czyli a=4ka = 4k, b=5kb = 5k, c=6kc = 6k.
    2. Największy kąt. leży naprzeciw cc.
    3. Cosinusy. cos⁡γ=16k2+25k2−36k240k2=18\cos\gamma = \frac{16k^2 + 25k^2 - 36k^2}{40k^2} = \frac18.

    1 pkt za proporcję boków. 2 pkt za zastosowanie twierdzenia cosinusów do kąta naprzeciw najdłuższego boku. 3 pkt za 18\frac18.

  3. (0–4 pkt) W trójkącie ABCABC: ∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ, ∣BC∣=2|BC| = 2, ∣AC∣=22|AC| = 2\sqrt2. Oblicz wszystkie możliwe długości boku ABAB.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Kąt BB. sin⁡∠B=22⋅122=22\sin\angle B = \frac{2\sqrt2\cdot\frac12}{2} = \frac{\sqrt2}{2}: 45∘45^\circ albo 135∘135^\circ, oba możliwe.
    2. Kąt CC. 105∘105^\circ albo 15∘15^\circ.
    3. Pierwszy trójkąt. ∣AB∣=2sin⁡105∘sin⁡30∘=4sin⁡105∘=4⋅6+24=6+2|AB| = \frac{2\sin105^\circ}{\sin30^\circ} = 4\sin105^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} = \sqrt6 + \sqrt2.
    4. Drugi trójkąt. ∣AB∣=4sin⁡15∘=6−2|AB| = 4\sin15^\circ = \sqrt6 - \sqrt2.

    1 pkt za sin⁡∠B=22\sin\angle B = \frac{\sqrt2}{2}. 2 pkt za oba kąty BB. 3 pkt za jedną długość. 4 pkt za obie. Inna droga: twierdzenie cosinusów dla kąta AA daje c2−26 c+4=0c^2 - 2\sqrt6\,c + 4 = 0.