7.4 Wzory na funkcje sumy kątów i równania trygonometryczne

0 Dlaczego iloczyn

Równanie $\sin x = \frac12$ umiemy rozwiązać od razu: dwie serie rozwiązań z okręgu jednostkowego. Równanie $\sin 2x = \cos x$ już nie, bo po obu stronach stoją różne funkcje różnych argumentów. Trzeba je sprowadzić do postaci $A \cdot B = 0$ , gdzie $A$ i $B$ są wyrażeniami, z których każde daje równanie elementarne. Narzędziem są wzory z broszury CKE: na funkcje sumy i różnicy kątów, podwojonego kąta oraz na sumę i różnicę sinusów i cosinusów. Cała trudność polega na wyborze właściwego wzoru i na tym, żeby po drodze nie zgubić rozwiązań.

1 Funkcje sumy i różnicy kątów

Wzory (są w broszurze CKE)

\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta, \qquad \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta,

\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}.

Uwaga na znaki w cosinusie: przy sumie kątów jest minus, przy różnicy plus.

Przykład 1.1 Wartość dla kąta niestandardowego

Oblicz $\sin 75^\circ$ .

$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ .
$\sin 75^\circ = \sin45^\circ\cos30^\circ + \cos45^\circ\sin30^\circ = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12$ .

Wynik: $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 8 min

Oblicz $\cos 15^\circ$ .

Odpowiedź
$\cos(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}$ (tyle samo co $\sin75^\circ$ , bo kąty dopełniają się do $90^\circ$ ).
Oblicz $\operatorname{tg} 75^\circ$ .
Odpowiedź
1. $\operatorname{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \dfrac{1 + \frac{\sqrt3}{3}}{1 - \frac{\sqrt3}{3}} = \dfrac{3 + \sqrt3}{3 - \sqrt3}$ .
2. Usunięcie niewymierności: $\dfrac{(3 + \sqrt3)^2}{9 - 3} = \dfrac{12 + 6\sqrt3}{6} = 2 + \sqrt3$ .
Wiadomo, że $\sin\alpha = \frac35$ , $\alpha \in \left(\frac\pi2,\,\pi\right)$ , oraz $\cos\beta = \frac{12}{13}$ , $\beta \in \left(0,\,\frac\pi2\right)$ . Oblicz $\sin(\alpha + \beta)$ .
Odpowiedź
1. II ćwiartka: $\cos\alpha = -\frac45$ ; I ćwiartka: $\sin\beta = \frac{5}{13}$ .
2. $\sin(\alpha + \beta) = \frac35\cdot\frac{12}{13} + \left(-\frac45\right)\cdot\frac{5}{13} = \frac{36 - 20}{65} = \frac{16}{65}$ .

2 Podwojony kąt i jego konsekwencje

Podwojony kąt (w broszurze CKE)

\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \qquad \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha.

Trzy postacie $\cos 2\alpha$ wybiera się pod resztę równania: jeśli obok stoi $\sin x$ , bierze się $1 - 2\sin^2 x$ , jeśli $\cos x$ , to $2\cos^2 x - 1$ .

Wnioski, których nie ma w broszurze

\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - \tfrac12\sin^2 2\alpha, \qquad \sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha, \qquad \cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha.

Pierwszy: $(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - \frac12(2\sin\alpha\cos\alpha)^2$ . Dwa pozostałe wyprowadza się z $\sin(2\alpha + \alpha)$ i $\cos(2\alpha + \alpha)$ . W kluczach CKE każdy z nich jest akceptowany jako „właściwy wzór” za pierwszy punkt, ale w arkuszu trzeba umieć go uzasadnić albo obejść.

Przykład 2.1 Znak z ćwiartki

$\sin\alpha = \frac13$ i $\alpha \in \left(\frac\pi2,\,\pi\right)$ . Oblicz $\sin 2\alpha$ i $\cos 2\alpha$ .

$\cos\alpha = -\sqrt{1 - \frac19} = -\frac{2\sqrt2}{3}$ (II ćwiartka, cosinus ujemny).
$\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac13 \cdot \left(-\frac{2\sqrt2}{3}\right) = -\frac{4\sqrt2}{9}$ .
$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - \frac29 = \frac79$ (tu znak cosinusa $\alpha$ nie był potrzebny).

Wynik: $\sin2\alpha = -\frac{4\sqrt2}{9}$ , $\ \cos2\alpha = \frac79$ .

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 10 min

$\operatorname{tg}\alpha = 2$ . Oblicz $\sin2\alpha$ i $\cos2\alpha$ .
Odpowiedź
1. $\sin 2\alpha = \dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = \dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \dfrac45$ .
2. $\cos 2\alpha = \dfrac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = \dfrac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = -\dfrac35$ .
Wynik nie zależy od ćwiartki: $\alpha$ i $\alpha + \pi$ mają ten sam tangens i te same $\sin2\alpha$ , $\cos2\alpha$ .
$\sin x\cos x = \frac13$ . Oblicz $\sin^4 x + \cos^4 x$ .

Odpowiedź
$1 - 2\sin^2x\cos^2x = 1 - 2\cdot\frac19 = \frac79$ .
Wyprowadź wzór $\cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$ .
Odpowiedź
1. $\cos3\alpha = \cos2\alpha\cos\alpha - \sin2\alpha\sin\alpha$ .
2. $= (2\cos^2\alpha - 1)\cos\alpha - 2\sin^2\alpha\cos\alpha$ .
3. $= 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2(1 - \cos^2\alpha)\cos\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$ .

3 Równania elementarne

Rozwiązania ogólne ( $k \in \mathbb Z$ )

$\sin t = a$ , $|a| \le 1$ : $\ t = t_0 + 2k\pi$ albo $t = \pi - t_0 + 2k\pi$ , gdzie $\sin t_0 = a$ ;
$\cos t = a$ , $|a| \le 1$ : $\ t = \pm t_0 + 2k\pi$ , gdzie $\cos t_0 = a$ ;
$\operatorname{tg} t = a$ : $\ t = t_0 + k\pi$ , gdzie $\operatorname{tg} t_0 = a$ ;
$|a| > 1$ w równaniu z $\sin$ albo $\cos$ : brak rozwiązań.

Gdy argumentem jest $bx + c$ , najpierw rozwiązuje się względem $t = bx + c$ , potem dzieli przez $b$ . Okres serii też się dzieli: $\frac{2k\pi}{b}$ , nie $2k\pi$ .

Przykład 3.1 Argument złożony, rozwiązania w przedziale

Rozwiąż równanie $\cos\left(2x - \frac\pi3\right) = \frac12$ w przedziale $[0,\,\pi]$ .

$2x - \frac\pi3 = \frac\pi3 + 2k\pi$ albo $2x - \frac\pi3 = -\frac\pi3 + 2k\pi$ .
$x = \frac\pi3 + k\pi$ albo $x = k\pi$ .
W $[0,\,\pi]$ : z pierwszej serii $k = 0$ ; z drugiej $k = 0$ i $k = 1$ .

Wynik: $x \in \left\{0,\ \frac\pi3,\ \pi\right\}$ .

Sprawdzenie: $x = \pi$ : $\cos\left(2\pi - \frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$ ✓.

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 5 min

Rozwiąż równanie $\sin x = -\frac{\sqrt2}{2}$ w przedziale $[0,\,2\pi]$ .

Odpowiedź
$x = \pi + \frac\pi4 = \frac{5\pi}{4}$ albo $x = 2\pi - \frac\pi4 = \frac{7\pi}{4}$ .
Rozwiąż równanie $\operatorname{tg}\left(x + \frac\pi6\right) = \sqrt3$ .

Odpowiedź
$x + \frac\pi6 = \frac\pi3 + k\pi$ , więc $x = \frac\pi6 + k\pi$ , $k \in \mathbb Z$ .

4 Sprowadzanie do iloczynu

Sumy i różnice (w broszurze CKE)

\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\tfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\tfrac{\alpha - \beta}{2}, \qquad \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\tfrac{\alpha + \beta}{2}\sin\tfrac{\alpha - \beta}{2},

\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\tfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\tfrac{\alpha - \beta}{2}, \qquad \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\tfrac{\alpha + \beta}{2}\sin\tfrac{\alpha - \beta}{2}.

Trzy drogi do iloczynu

Wspólny czynnik po rozpisaniu podwojonego kąta: $\sin 2x - \cos x = \cos x(2\sin x - 1)$ .
Suma albo różnica funkcji kątów $ax$ i $bx$ : $\sin3x + \sin x = 2\sin2x\cos x$ .
Równanie kwadratowe w jednej funkcji: po zamianie $\cos2x$ albo $\cos^2 x$ zostaje np. $2t^2 + 3t + 1 = 0$ z $t = \cos x$ , a to jest iloczyn $(2t + 1)(t + 1)$ .

Nie dziel obu stron przez wyrażenie z $x$ . Jeśli musisz, najpierw rozpatrz przypadek, gdy jest ono równe zeru. W kluczach CKE dzielenie bez tego założenia daje co najwyżej 3 z 4–5 punktów.

Przykład 4.1 Wspólny czynnik

Rozwiąż równanie $\sin 2x = \cos x$ w przedziale $[0,\,2\pi]$ .

$2\sin x\cos x - \cos x = 0$ , więc $\cos x\,(2\sin x - 1) = 0$ .
$\cos x = 0$ : $\ x = \frac\pi2$ albo $x = \frac{3\pi}{2}$ .
$\sin x = \frac12$ : $\ x = \frac\pi6$ albo $x = \frac{5\pi}{6}$ .

Wynik: $x \in \left\{\frac\pi6,\ \frac\pi2,\ \frac{5\pi}6,\ \frac{3\pi}2\right\}$ .

Gdyby podzielić przez $\cos x$ , zostałoby tylko $\sin x = \frac12$ , czyli dwa rozwiązania z czterech.

Przykład 4.2 Suma sinusów

Rozwiąż równanie $\sin3x + \sin x = 0$ w przedziale $[0,\,\pi]$ .

$2\sin\frac{3x + x}{2}\cos\frac{3x - x}{2} = 2\sin2x\cos x = 0$ .
$\sin2x = 0$ : $\ 2x = k\pi$ , $x = \frac{k\pi}{2}$ , w przedziale $0,\ \frac\pi2,\ \pi$ .
$\cos x = 0$ : $\ x = \frac\pi2$ (już jest).

Wynik: $x \in \left\{0,\ \frac\pi2,\ \pi\right\}$ .

Przykład 4.3 Równanie kwadratowe w cosinusie

Rozwiąż równanie $\cos2x + 3\cos x + 2 = 0$ w przedziale $[0,\,2\pi]$ .

$\cos 2x = 2\cos^2x - 1$ : $\ 2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0$ .
$t = \cos x$ : $\ 2t^2 + 3t + 1 = (2t + 1)(t + 1) = 0$ , czyli $t = -\frac12$ albo $t = -1$ .
$\cos x = -\frac12$ : $\ x = \frac{2\pi}{3}$ albo $x = \frac{4\pi}{3}$ ; $\ \cos x = -1$ : $\ x = \pi$ .

Wynik: $x \in \left\{\frac{2\pi}3,\ \pi,\ \frac{4\pi}3\right\}$ .

Przykład 4.4 Dzielenie, które gubi rozwiązania

Rozwiąż równanie $\sqrt3\sin^2 x = \sin x\cos x$ w przedziale $[0,\,\pi]$ .

Źle: podzielić przez $\sin x$ i dostać $\sqrt3\sin x = \cos x$ , czyli $\operatorname{tg}x = \frac{\sqrt3}{3}$ , $x = \frac\pi6$ .
Dobrze: $\sin x\,(\sqrt3\sin x - \cos x) = 0$ .
$\sin x = 0$ : $\ x = 0$ albo $x = \pi$ .
$\sqrt3\sin x = \cos x$ : tu $\cos x \ne 0$ (inaczej $\sin x = 0$ i $\cos x = 0$ jednocześnie), więc wolno podzielić: $\operatorname{tg}x = \frac{\sqrt3}{3}$ , $x = \frac\pi6$ .

Wynik: $x \in \left\{0,\ \frac\pi6,\ \pi\right\}$ .

Zadania · część 4

3 zadania · ok. 15 min

Rozwiąż równanie $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$ w przedziale $[0,\,2\pi]$ .
Odpowiedź
1. $2(1 - \sin^2x) + 3\sin x - 3 = 0$ , czyli $2\sin^2x - 3\sin x + 1 = 0$ .
2. $(2\sin x - 1)(\sin x - 1) = 0$ : $\ \sin x = \frac12$ albo $\sin x = 1$ .
3. $x \in \left\{\frac\pi6,\ \frac\pi2,\ \frac{5\pi}{6}\right\}$ .
Rozwiąż równanie $\sin2x = \sqrt3\cos x$ w przedziale $[-\pi,\,\pi]$ .
Odpowiedź
1. $\cos x\,(2\sin x - \sqrt3) = 0$ .
2. $\cos x = 0$ : $\ x = \pm\frac\pi2$ .
3. $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$ : $\ x = \frac\pi3$ albo $x = \frac{2\pi}{3}$ .
4. $x \in \left\{-\frac\pi2,\ \frac\pi3,\ \frac\pi2,\ \frac{2\pi}{3}\right\}$ .
Rozwiąż równanie $\cos x + \cos5x = 0$ w przedziale $\left[0,\,\frac\pi2\right]$ .
Odpowiedź
1. $2\cos3x\cos2x = 0$ .
2. $\cos3x = 0$ : $\ 3x = \frac\pi2 + k\pi$ , $x = \frac\pi6 + \frac{k\pi}{3}$ , w przedziale $\frac\pi6$ i $\frac\pi2$ .
3. $\cos2x = 0$ : $\ x = \frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}$ , w przedziale $\frac\pi4$ .
4. $x \in \left\{\frac\pi6,\ \frac\pi4,\ \frac\pi2\right\}$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 25 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · wartości z wzorów

Zestawy A

Oblicz, korzystając z wzorów na funkcje sumy i różnicy kątów.
1. $\cos 75^\circ$
Odpowiedzi
a) $\tfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$
Oblicz, korzystając z wzorów na podwojony kąt.
1. $\sin2\alpha$ , gdy $\sin\alpha = \frac35$ , $\alpha$ ostry
Odpowiedzi
a) $\tfrac{24}{25}$

Poziom B · równania elementarne w $\mathbb R$

Zestawy B

Rozwiąż równanie ( $k \in \mathbb Z$ ).
1. $\sin x = \frac{\sqrt2}{2}$
2. $\cos\frac x2 = \frac12$
Odpowiedzi
a) $\tfrac\pi4 + 2k\pi$ , $\tfrac{3\pi}4 + 2k\pi$ b) $\pm\tfrac{2\pi}{3} + 4k\pi$

Poziom C · do iloczynu, rozwiązania w przedziale

Zestawy C

Rozwiąż równanie w podanym przedziale.
1. $\cos2x = \cos x$ , $\ [0,\,2\pi]$
2. $\operatorname{tg}x = 2\sin x$ , $\ \left(-\frac\pi2,\,\frac\pi2\right)$
Odpowiedzi
a) $0,\ \tfrac{2\pi}3,\ \tfrac{4\pi}3,\ 2\pi$ b) $-\tfrac\pi3,\ 0,\ \tfrac\pi3$

Pełny trening (25 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach rozszerzonych 2024–2026 to zadanie ma 3–5 punktów, a w wersji za 4 punkty zawsze ten sam schemat oceniania: 1 punkt za zastosowanie właściwego wzoru, 2 za alternatywę równań elementarnych, 3 za rozwiązanie jednego z nich, 4 za komplet rozwiązań w przedziale (albo w $\mathbb R$ ). W połowie zadań pytano o rozwiązania w przedziale, w połowie o wszystkie rozwiązania rzeczywiste. Klucze akceptują każdą poprawną drogę. Punkty odbierają: dzielenie przez wyrażenie z $x$ bez założenia, błędny wzór i podnoszenie do kwadratu bez sprawdzenia. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

4 zadania · 16 pkt · ok. 40 min

(0–3 pkt) Rozwiąż równanie $\cos2x + \sin x = 0$ w przedziale $[0,\,2\pi]$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Wzór. $1 - 2\sin^2x + \sin x = 0$ , czyli $2\sin^2x - \sin x - 1 = 0$ .
2. Alternatywa. $(2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0$ : $\ \sin x = -\frac12$ albo $\sin x = 1$ .
3. W przedziale. $\sin x = 1$ : $\frac\pi2$ ; $\ \sin x = -\frac12$ : $\frac{7\pi}{6}$ , $\frac{11\pi}{6}$ .
1 pkt za równanie kwadratowe w $\sin x$ . 2 pkt za $\sin x = -\frac12$ lub $\sin x = 1$ . 3 pkt za $x \in \left\{\frac\pi2,\ \frac{7\pi}6,\ \frac{11\pi}6\right\}$ .
(0–4 pkt) Rozwiąż równanie $\cos3x + \cos x = 0$ w przedziale $[0,\,\pi]$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Wzór. $2\cos2x\cos x = 0$ .
2. Alternatywa. $\cos2x = 0$ albo $\cos x = 0$ .
3. Pierwsze. $2x = \frac\pi2 + k\pi$ , $x = \frac\pi4 + \frac{k\pi}{2}$ : w przedziale $\frac\pi4$ , $\frac{3\pi}4$ .
4. Drugie. $x = \frac\pi2$ .
1 pkt za zastosowanie wzoru na sumę cosinusów (albo na $\cos3x$ ). 2 pkt za alternatywę. 3 pkt za rozwiązanie jednego z równań w przedziale. 4 pkt za $x \in \left\{\frac\pi4,\ \frac\pi2,\ \frac{3\pi}4\right\}$ .
(0–4 pkt) Rozwiąż równanie $\sin^4x + \cos^4x = \frac58$ w przedziale $[0,\,\pi]$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Wzór. $\sin^4x + \cos^4x = 1 - \frac12\sin^22x$ .
2. Równanie. $1 - \frac12\sin^22x = \frac58$ , czyli $\sin^22x = \frac34$ .
3. Alternatywa. $\sin2x = \frac{\sqrt3}{2}$ albo $\sin2x = -\frac{\sqrt3}{2}$ .
4. W przedziale. $2x \in [0,\,2\pi]$ : $2x \in \left\{\frac\pi3,\ \frac{2\pi}3,\ \frac{4\pi}3,\ \frac{5\pi}3\right\}$ .
5. Wynik. $x \in \left\{\frac\pi6,\ \frac\pi3,\ \frac{2\pi}3,\ \frac{5\pi}6\right\}$ .
1 pkt za przekształcenie $\sin^4x + \cos^4x$ do funkcji $2x$ . 2 pkt za alternatywę. 3 pkt za rozwiązania jednego równania. 4 pkt za cztery rozwiązania.
(0–5 pkt) Rozwiąż równanie $\sin x + \sin3x = \sin2x$ w zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie i punktacja
1. Wzór. $\sin x + \sin3x = 2\sin2x\cos x$ .
2. Iloczyn. $2\sin2x\cos x - \sin2x = \sin2x\,(2\cos x - 1) = 0$ .
3. Alternatywa. $\sin2x = 0$ albo $\cos x = \frac12$ .
4. Pierwsze. $x = \frac{k\pi}{2}$ .
5. Drugie. $x = \frac\pi3 + 2k\pi$ albo $x = -\frac\pi3 + 2k\pi$ , $k \in \mathbb Z$ .
1 pkt za wzór na sumę sinusów. 2 pkt za postać iloczynową. 3 pkt za alternatywę. 4 pkt za rozwiązanie jednego równania. 5 pkt za komplet. Podzielenie przez $\sin2x$ bez rozpatrzenia $\sin2x = 0$ : co najwyżej 3 pkt.

7 Najczęstsze błędy

„ $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta$ .”: Funkcje trygonometryczne nie są liniowe. Kontrprzykład: $\sin\left(\frac\pi2 + \frac\pi2\right) = 0$ , a $\sin\frac\pi2 + \sin\frac\pi2 = 2$ .
„Mogę podzielić przez $\cos x$ .”: Tylko po sprawdzeniu, czy $\cos x = 0$ nie daje rozwiązań. Bezpieczniej wyłączyć czynnik przed nawias i dopisać równanie $\cos x = 0$ .
„ $\sin2x = \frac12$ , więc $x = \frac\pi{12} + 2k\pi$ .”: Okres też się dzieli przez $2$ : $x = \frac{\pi}{12} + k\pi$ albo $x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$ . Zgubiona druga seria i zły okres to dwa osobne błędy.
„ $\cos t = a$ ma rozwiązania $t_0$ i $\pi - t_0$ .”: To jest para dla sinusa. Dla cosinusa: $\pm t_0$ , bo cosinus jest parzysty.
„Podniosę do kwadratu, będzie łatwiej.”: Na przykład $\sin x + \cos x = 1$ po podniesieniu do kwadratu daje $\sin2x = 0$ , czyli także $x = \pi$ , a $\sin\pi + \cos\pi = -1$ . Bez sprawdzenia co najwyżej 3 pkt.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Którą postać

\cos2x

wybrać w równaniu

\cos2x = \sin x

$1 - 2\sin^2x$ : wtedy wszystko jest w $\sin x$ .

2 Ile rozwiązań ma

\sin 3x = 0

w przedziale

[0,\,\pi]

Cztery: $0,\ \frac\pi3,\ \frac{2\pi}3,\ \pi$ .

3 Na jaki iloczyn zamienia się

\cos5x - \cos x

$-2\sin3x\sin2x$ .

4 Co trzeba zrobić przed podzieleniem równania przez

\sin x

Rozpatrzyć przypadek $\sin x = 0$ i sprawdzić, czy daje rozwiązania.

9 Karta wzorów i co dalej

Wzory

$\sin(\alpha \pm \beta)$ , $\cos(\alpha \pm \beta)$ , $\sin2\alpha$ , $\cos2\alpha$ : broszura

$\sin^4 + \cos^4 = 1 - \frac12\sin^22\alpha$

$\sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$

Schemat równania

wzór → iloczyn $= 0$ → alternatywa

$\sin$ : $t_0$ , $\pi - t_0$ ; $\ \cos$ : $\pm t_0$ ; $\ \operatorname{tg}$ : $t_0 + k\pi$

okres serii dzielony przez $b$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są wzory na funkcje sumy i różnicy kątów (także tangensa), podwojonego kąta oraz na sumy i różnice sinusów i cosinusów. Nie ma wzorów na potrojony kąt ani na $\sin^4 + \cos^4$ : te trzeba wyprowadzić albo pamiętać.

Dalej: twierdzenie sinusów i rozwiązywanie trójkątów (lekcja 7.5 Twierdzenie sinusów i rozwiązywanie trójkątów).