7.3 Miara łukowa, wykresy, okresowość i wzory redukcyjne

0 Kąt jako długość łuku

Na okręgu o promieniu $1$ kąt można mierzyć długością łuku, który wycina. Pełny kąt wycina cały obwód, czyli $2\pi$ ; kąt półpełny $\pi$ ; kąt prosty $\frac\pi2$ . To jest miara łukowa (w radianach). Zaletą jest prosta proporcja: na okręgu o promieniu $r$ kąt $\alpha$ radianów wycina łuk o długości $r\alpha$ . Wzory na długość łuku i pole wycinka przestają wymagać dzielenia przez $360^\circ$ .

1 Radiany, łuk i wycinek

Miara łukowa

\pi \text{ rad} = 180^\circ, \qquad l = r\alpha, \qquad P_{\text{wycinka}} = \tfrac12 r^2\alpha \quad (\alpha \text{ w radianach}).

Przykład 1.1 Wycinek z obwodu

Wycinek koła ma obwód $20$ , a jego kąt środkowy ma $2$ radiany. Oblicz pole wycinka.

Obwód wycinka: $2r + r\alpha = 2r + 2r = 4r = 20$ , więc $r = 5$ .
$P = \tfrac12 \cdot 25 \cdot 2$ .

Wynik: $P = 25$ .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

Zamień: $135^\circ$ na radiany i $\frac{5\pi}{6}$ na stopnie.

Odpowiedź
$135^\circ = \tfrac{3\pi}{4}$ ; $\ \tfrac{5\pi}{6} = 150^\circ$ .
Tworząca stożka ma długość $12$ , a promień podstawy $4$ . Oblicz kąt środkowy wycinka, który jest siatką powierzchni bocznej.

Odpowiedź
Łuk wycinka to obwód podstawy: $12\alpha = 2\pi \cdot 4$ , $\alpha = \tfrac{2\pi}{3}$ ( $120^\circ$ ).

2 Funkcje dowolnego kąta

Okrąg jednostkowy

Kąt $x$ (w radianach, dowolny znak) wyznacza na okręgu $x^2 + y^2 = 1$ punkt $(\cos x,\ \sin x)$ . Stąd:

$\sin x,\ \cos x \in [-1,\,1]$ ; $\ \operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ dla $x \ne \frac\pi2 + k\pi$ ;
znaki: I ćwiartka $+,+,+$ ; II: $\sin > 0$ ; III: $\operatorname{tg} > 0$ ; IV: $\cos > 0$ (kolejno $\sin$ , $\cos$ , $\operatorname{tg}$ );
okresy: $\sin$ i $\cos$ mają okres $2\pi$ , $\operatorname{tg}$ okres $\pi$ ;
parzystość: $\cos(-x) = \cos x$ , $\ \sin(-x) = -\sin x$ , $\ \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}x$ .

Przykład 2.1 Wartości kątów spoza $[0,\,\pi]$

Oblicz $\sin\frac{7\pi}{6} \cdot \cos\left(-\frac\pi3\right) + \operatorname{tg}\frac{5\pi}{4}$ .

$\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac\pi6$ (III ćwiartka): $\sin\frac{7\pi}{6} = -\frac12$ .
$\cos\left(-\frac\pi3\right) = \cos\frac\pi3 = \frac12$ ; $\ \operatorname{tg}\frac{5\pi}{4} = \operatorname{tg}\frac\pi4 = 1$ (okres $\pi$ ).

Wynik: $-\frac14 + 1 = \frac34$ .

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 4 min

Podaj znak $\sin 4$ , $\cos 4$ (kąt w radianach).

Odpowiedź
$\pi \approx 3{,}14 < 4 < \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$ : III ćwiartka, oba ujemne.
Rozwiąż równanie $\sin x = \frac12$ w przedziale $[0,\,2\pi]$ .

Odpowiedź
$x = \frac\pi6$ albo $x = \pi - \frac\pi6 = \frac{5\pi}{6}$ .

3 Wzory redukcyjne

Reguła mnemotechniczna

Dla kątów $\pi \pm x$ i $2\pi - x$ funkcja się nie zmienia, dla $\frac\pi2 \pm x$ i $\frac{3\pi}{2} \pm x$ zmienia się na kofunkcję ( $\sin \leftrightarrow \cos$ ). Znak wyniku to znak funkcji wyjściowej w ćwiartce, w której leży kąt (przy założeniu, że $x$ jest ostry).

\sin(\pi - x) = \sin x,\quad \cos(\pi + x) = -\cos x,\quad \sin\left(\tfrac\pi2 + x\right) = \cos x,\quad \cos\left(\tfrac\pi2 - x\right) = \sin x.

Przykład 3.1 Uproszczenie

Uprość $\sin(\pi + x) + \cos\left(\frac\pi2 - x\right) + \cos(2\pi - x)$ .

$\sin(\pi + x) = -\sin x$ (III ćwiartka, sinus ujemny).
$\cos\left(\frac\pi2 - x\right) = \sin x$ ; $\ \cos(2\pi - x) = \cos x$ .

Wynik: $\cos x$ .

Zadania · część 3

1 zadanie · ok. 3 min

Oblicz $\cos\frac{2\pi}{3} - \sin\frac{11\pi}{6}$ .

Odpowiedź
$-\frac12 - \left(-\frac12\right) = 0$ .

4 Wykresy i okres

$y = a\sin(bx) + c$

Zbiór wartości $[c - |a|,\ c + |a|]$ , okres $\frac{2\pi}{|b|}$ . Analogicznie dla $\cos$ ; dla $\operatorname{tg}(bx)$ okres $\frac{\pi}{|b|}$ . Przesunięcia i symetrie wykresu działają jak w lekcji 5.7 Przekształcenia wykresów, złożenia, dowodzenie monotoniczności.

Przykład 4.1 Okres i liczba rozwiązań

Funkcja $f(x) = 3\sin(2x) - 1$ . Podaj jej okres i zbiór wartości. Ile rozwiązań ma równanie $f(x) = 0$ w przedziale $[0,\,2\pi]$ ?

Okres $\frac{2\pi}{2} = \pi$ ; zbiór wartości $[-4,\,2]$ .
$\sin 2x = \frac13$ : w każdym okresie $\sin$ przyjmuje wartość $\frac13$ dwa razy; przedział $[0,\,2\pi]$ to dwa okresy funkcji $f$ .

Wynik: okres $\pi$ , $ZW = [-4,\,2]$ , cztery rozwiązania.

Zadania · część 4

1 zadanie · ok. 3 min

Podaj okres i zbiór wartości funkcji $g(x) = -2\cos\frac x2 + 1$ .

Odpowiedź
Okres $4\pi$ , zbiór wartości $[-1,\,3]$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 20 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · radiany

Zestawy A

Zamień albo oblicz.
1. $210^\circ$ w radianach
2. pole wycinka: $r = 4$ , $\alpha = \tfrac{3\pi}{4}$
Odpowiedzi
a) $\tfrac{7\pi}{6}$ b) $6\pi$

Poziom B · wartości i redukcja

Zestawy B

Oblicz.
1. $\sin\frac{5\pi}{3}$
2. $\cos\frac{13\pi}{6}$
Odpowiedzi
a) $-\tfrac{\sqrt3}{2}$ b) $\tfrac{\sqrt3}{2}$

Poziom C · okres i wartości

Zestawy C

Podaj okres podstawowy i zbiór wartości.
1. $y = 2\sin x - 3$
Odpowiedzi
a) $2\pi$ ; $[-5,\,-1]$

Pełny trening (20 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W puli zadań CKE z lat 2024–2026 ten dział reprezentuje jedno zadanie z informatora (4 punkty): najkrótsza droga po powierzchni stożka, czyli siatka w postaci wycinka koła, kąt wycinka w radianach i odcinek na siatce. Wykresy i wzory redukcyjne pojawiają się w arkuszach jako kroki innych zadań, np. $\sin(180^\circ - 3\alpha)$ w zadaniu z trójkątem. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

4 zadania · 12 pkt · ok. 30 min

(0–2 pkt) Oblicz wartość wyrażenia $\cos\frac{4\pi}{3} \cdot \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) - \sin\frac{5\pi}{2}$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Redukcja. $\cos\frac{4\pi}{3} = -\frac12$ , $\operatorname{tg}\left(-\frac\pi4\right) = -1$ , $\sin\frac{5\pi}{2} = \sin\frac\pi2 = 1$ .
2. Wynik. $\frac12 - 1 = -\frac12$ .
1 pkt za dwie z trzech wartości. 2 pkt za $-\frac12$ .
(0–3 pkt) Wycinek koła o promieniu $r$ i kącie środkowym $\alpha$ (w radianach) ma pole $12$ i łuk długości $6$ . Oblicz $r$ i $\alpha$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Układ. $r\alpha = 6$ , $\ \frac12 r^2\alpha = 12$ .
2. Dzielenie. $\frac{\frac12 r^2\alpha}{r\alpha} = \frac r2 = 2$ , więc $r = 4$ .
3. Kąt. $\alpha = \frac64 = \frac32$ .
1 pkt za układ. 2 pkt za $r = 4$ . 3 pkt za $\alpha = \frac32$ .
(0–3 pkt) Funkcja $f(x) = 2\cos(3x) + 1$ . Podaj jej okres podstawowy i zbiór wartości oraz liczbę rozwiązań równania $f(x) = 2$ w przedziale $[0,\,2\pi]$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Okres i wartości. $\frac{2\pi}{3}$ ; $[-1,\,3]$ .
2. Równanie. $\cos 3x = \frac12$ : $3x = \pm\frac\pi3 + 2k\pi$ , czyli $x = \pm\frac\pi9 + \frac{2k\pi}{3}$ .
3. Liczba. w $[0,\,2\pi]$ : $\frac\pi9, \frac{5\pi}9, \frac{7\pi}9, \frac{11\pi}9, \frac{13\pi}9, \frac{17\pi}9$ , czyli $6$ .
1 pkt za okres i zbiór wartości. 2 pkt za rozwiązanie ogólne. 3 pkt za $6$ rozwiązań.
(0–4 pkt) Stożek ma tworzącą długości $12$ i promień podstawy $4$ . Punkty $A$ i $B$ leżą na brzegu podstawy i są końcami jej średnicy. Oblicz długość najkrótszej drogi z $A$ do $B$ po powierzchni bocznej stożka.
Rozwiązanie i punktacja
1. Siatka. wycinek koła o promieniu $12$ i kącie $\alpha = \frac{2\pi \cdot 4}{12} = \frac{2\pi}{3}$ .
2. Położenie punktów. $A$ i $B$ dzielą obwód podstawy na połowy, więc na siatce leżą na łuku w odległości kątowej $\frac\alpha2 = \frac\pi3$ .
3. Droga. najkrótsza droga to odcinek $AB$ na siatce: trójkąt o ramionach $12$ i kącie $\frac\pi3$ jest równoboczny.
4. Wynik. $|AB| = 12$ .
1 pkt za stwierdzenie, że droga to odcinek na siatce. 2 pkt za kąt wycinka $\frac{2\pi}{3}$ . 3 pkt za kąt $\frac\pi3$ między promieniami do $A$ i $B$ . 4 pkt za długość $12$ .

7 Najczęstsze błędy

„ $l = r\alpha$ dla $\alpha$ w stopniach.”: Wzór działa tylko w radianach. W stopniach: $l = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r$ .
„ $\sin(\pi + x) = \sin x$ .”: $\pi + x$ leży w III ćwiartce, gdzie sinus jest ujemny: $\sin(\pi + x) = -\sin x$ .
„Okres $\sin(3x)$ to $6\pi$ .”: $\frac{2\pi}{3}$ : większy współczynnik przy $x$ ściska wykres.
„ $\cos(-x) = -\cos x$ .”: Cosinus jest parzysty: $\cos(-x) = \cos x$ .

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Ile stopni ma

1

radian w przybliżeniu?

$\frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ$ .

2 Jaki jest znak

\operatorname{tg}\frac{5\pi}{4}

Dodatni (III ćwiartka).

3 Czemu jest równy

\sin\left(\frac\pi2 - x\right)

$\cos x$ .

4 Jaki jest okres

\operatorname{tg} 2x

$\frac\pi2$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Radiany

$\pi = 180^\circ$ , $\ l = r\alpha$ , $\ P = \frac12 r^2\alpha$

okres $\sin, \cos$ : $2\pi$ ; $\ \operatorname{tg}$ : $\pi$

Redukcja

$\pi \pm x$ , $2\pi - x$ : ta sama funkcja

$\frac\pi2 \pm x$ , $\frac{3\pi}2 \pm x$ : kofunkcja

znak z ćwiartki

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są związki między funkcjami tego samego kąta, wybrane wzory redukcyjne (dla $90^\circ \pm \alpha$ i $180^\circ \pm \alpha$ ), okresowość i wartości dla kątów szczególnych, a także wzory na długość łuku i pole wycinka, ale w wersji z kątem w stopniach ( $\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r$ ). Wersje radianowe $l = r\alpha$ i $P = \frac12 r^2\alpha$ trzeba znać samodzielnie.

Dalej: wzory na funkcje sumy kątów i równania trygonometryczne (lekcja 7.4 Wzory na funkcje sumy kątów i równania trygonometryczne).