5.7 Przekształcenia wykresów, złożenia, dowodzenie monotoniczności

0 Jedna funkcja, trzy dowody

Funkcja $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 2}$ na przedziale $(-2,\,+\infty)$ jest rosnąca. Można to wykazać na trzy sposoby. Z definicji: dla $x_1 < x_2$ różnica $f(x_2) - f(x_1)$ jest dodatnia. Z wykresu: $f(x) = 2 - \frac{5}{x + 2}$ to hiperbola $y = -\frac5x$ (rosnąca na $(0,\,+\infty)$ ) przesunięta o wektor $[-2,\,2]$ . Z pochodnej: $f'(x) = \frac{5}{(x + 2)^2} > 0$ . Zasady oceniania CKE akceptują każdy z tych sposobów. Ta lekcja uczy dwóch pierwszych; pochodna jest w lekcji 13.3 Monotoniczność i ekstrema funkcji.

1 Przekształcenia wykresu

Pięć przekształceń

$y = f(x - p) + q$ : przesunięcie o wektor $[p,\,q]$ , czyli $(x,\,y) \to (x + p,\,y + q)$ .
$y = -f(x)$ : symetria względem osi $Ox$ , $(x,\,y) \to (x,\,-y)$ .
$y = f(-x)$ : symetria względem osi $Oy$ , $(x,\,y) \to (-x,\,y)$ .
$y = |f(x)|$ : część wykresu pod osią $Ox$ odbijamy nad oś.
$y = f(|x|)$ : zostawiamy część dla $x \ge 0$ i dorysowujemy jej odbicie względem $Oy$ .

Dziedzina i zbiór wartości przekształcają się razem z wykresem: przesunięcie o $[p,\,q]$ przesuwa dziedzinę o $p$ , a zbiór wartości o $q$ .

Przykład 1.1 Dziedzina i zbiór wartości po przekształceniu

Funkcja $f$ ma dziedzinę $[-4,\,5]$ i zbiór wartości $[-2,\,4]$ . Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji $g(x) = -f(x + 3) + 1$ .

$f(x + 3)$ : przesunięcie o $3$ w lewo, dziedzina $[-7,\,2]$ , wartości bez zmian.
$-f(x + 3)$ : wartości $[-4,\,2]$ .
$+1$ : wartości $[-3,\,3]$ .

Wynik: $D_g = [-7,\,2]$ , $\ ZW_g = [-3,\,3]$ .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 5 min

Wykres $f(x) = x^2$ przesunięto o wektor $[-3,\,2]$ , a potem odbito symetrycznie względem osi $Ox$ . Podaj wzór otrzymanej funkcji.
Odpowiedź
1. Po przesunięciu $(x + 3)^2 + 2$ .
2. Po symetrii $-(x + 3)^2 - 2$ .
Funkcja $f$ ma zbiór wartości $[-3,\,2]$ . Podaj zbiór wartości funkcji $|f(x)|$ .

Odpowiedź
Wartości ujemne $[-3,\,0)$ przechodzą na $(0,\,3]$ , a $[0,\,2]$ zostaje. Razem $[0,\,3]$ .

2 Liczba rozwiązań równania z parametrem

Metoda graficzna

Liczba rozwiązań równania $g(x) = m$ to liczba punktów wspólnych wykresu $g$ z prostą poziomą $y = m$ . Narysuj $g$ (zwykle przez przekształcenia), a potem przesuwaj prostą od dołu do góry i zapisz, dla jakich $m$ liczba punktów się zmienia.

Przykład 2.1 Równanie $|x^2 - 4x| = m$

W zależności od parametru $m$ podaj liczbę rozwiązań równania $|x^2 - 4x| = m$ .

Wykres $y = x^2 - 4x$ : parabola z wierzchołkiem $(2,\,-4)$ i miejscami zerowymi $0$ i $4$ .
$|x^2 - 4x|$ : część między $0$ a $4$ odbijamy nad oś; wierzchołek przechodzi na $(2,\,4)$ .
Prosta $y = m$ : dla $m < 0$ brak punktów; $m = 0$ dwa ( $x = 0$ , $x = 4$ ); $0 < m < 4$ cztery; $m = 4$ trzy; $m > 4$ dwa.

Wynik: $0$ rozwiązań dla $m < 0$ ; $2$ dla $m = 0$ i $m > 4$ ; $4$ dla $m \in (0,\,4)$ ; $3$ dla $m = 4$ .

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 8 min

Dla jakich $m$ równanie $|x + 1| - 2 = m$ ma dokładnie dwa rozwiązania?
Odpowiedź
1. Wykres: litera V z wierzchołkiem $(-1,\,-2)$ .
2. Dwa punkty wspólne dla $m > -2$ .
Ile rozwiązań ma równanie $\big|\,|x| - 3\,\big| = 1$ ?
Odpowiedź
1. $|x| - 3 = 1$ albo $|x| - 3 = -1$ .
2. $|x| = 4$ albo $|x| = 2$ .
3. Cztery rozwiązania: $\pm 2$ , $\pm 4$ .

3 Złożenie funkcji

Złożenie

$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$ . Dziedzina: te $x$ z dziedziny $g$ , dla których $g(x)$ należy do dziedziny $f$ . Złożenie nie jest przemienne: na ogół $f \circ g \ne g \circ f$ .

Przykład 3.1 Wzór i dziedzina złożenia

$f(x) = \sqrt{x}$ , $\ g(x) = 9 - x^2$ . Wyznacz wzór i dziedzinę $f \circ g$ oraz $g \circ f$ .

$(f \circ g)(x) = \sqrt{9 - x^2}$ ; warunek $9 - x^2 \ge 0$ , czyli $x \in [-3,\,3]$ .
$(g \circ f)(x) = 9 - (\sqrt x)^2 = 9 - x$ , ale tylko dla $x \ge 0$ (dziedzina $f$ ).

Wynik: $f \circ g$ : $\sqrt{9 - x^2}$ na $[-3,\,3]$ ; $\ g \circ f$ : $9 - x$ na $[0,\,+\infty)$ . Uproszczony wzór $9 - x$ nie niesie informacji o dziedzinie: trzeba ją dopisać.

Zadania · część 3

1 zadanie · ok. 4 min

$f(x) = \dfrac{1}{x - 1}$ , $\ g(x) = 2x + 3$ . Wyznacz $(f \circ g)(x)$ i jego dziedzinę.
Odpowiedź
1. $f(2x + 3) = \dfrac{1}{2x + 2}$
2. $2x + 2 \ne 0$ , więc $D = \mathbb R \setminus \{-1\}$ .

4 Dowód monotoniczności

Definicja i schemat dowodu

$f$ jest rosnąca w zbiorze $A$ , gdy dla dowolnych $x_1, x_2 \in A$ : $\ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ .

Weź dowolne $x_1 < x_2$ z $A$ (napisz to!).
Oblicz różnicę $f(x_2) - f(x_1)$ i doprowadź ją do postaci iloczynu albo ilorazu.
Ustal znak każdego czynnika z założeń i napisz wniosek.

Przykład 4.1 Funkcja wymierna

Wykaż, że funkcja $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 2}$ jest rosnąca w przedziale $(-2,\,+\infty)$ .

Niech $-2 < x_1 < x_2$ .
$f(x_2) - f(x_1) = \dfrac{(2x_2 - 1)(x_1 + 2) - (2x_1 - 1)(x_2 + 2)}{(x_1 + 2)(x_2 + 2)}$ .
Licznik: $2x_1x_2 + 4x_2 - x_1 - 2 - 2x_1x_2 - 4x_1 + x_2 + 2 = 5(x_2 - x_1)$ .
$x_2 - x_1 > 0$ , $x_1 + 2 > 0$ , $x_2 + 2 > 0$ , więc różnica jest dodatnia.

Wniosek: $f(x_2) > f(x_1)$ , czyli $f$ jest rosnąca w $(-2,\,+\infty)$ .

Przykład 4.2 Wielomian i wzór na różnicę sześcianów

Wykaż, że $f(x) = x^3 + x$ jest rosnąca w $\mathbb R$ .

Niech $x_1 < x_2$ . $\ f(x_2) - f(x_1) = (x_2^3 - x_1^3) + (x_2 - x_1)$ .
$= (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2 + 1)$ .
$x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2 = \left(x_2 + \tfrac{x_1}{2}\right)^2 + \tfrac34 x_1^2 \ge 0$ , więc drugi czynnik jest $\ge 1 > 0$ .

Wniosek: iloczyn dwóch liczb dodatnich, więc $f(x_2) > f(x_1)$ .

Zadania · część 4

2 zadania · ok. 10 min

Wykaż z definicji, że $f(x) = \dfrac{4}{x - 3}$ jest malejąca w przedziale $(3,\,+\infty)$ .
Odpowiedź
1. $3 < x_1 < x_2$ .
2. $f(x_2) - f(x_1) = \dfrac{4(x_1 - 3) - 4(x_2 - 3)}{(x_1 - 3)(x_2 - 3)} = \dfrac{4(x_1 - x_2)}{(x_1 - 3)(x_2 - 3)}$ .
3. Licznik ujemny, mianownik dodatni: różnica ujemna, $f$ malejąca.
Wykaż, że $f(x) = x^2 - 6x$ jest rosnąca w przedziale $[3,\,+\infty)$ .
Odpowiedź
1. $3 \le x_1 < x_2$ .
2. $f(x_2) - f(x_1) = (x_2^2 - x_1^2) - 6(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 6)$ .
3. $x_2 - x_1 > 0$ ; $x_1 + x_2 > 6$ , bo $x_1 \ge 3$ i $x_2 > 3$ . Iloczyn dodatni.

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 31 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · przekształcenia

Zestawy A

Podaj wzór funkcji po przekształceniu wykresu $f(x) = x^2 - 2x$ .
1. przesunięcie o $[1,\,0]$
2. symetria względem $Oy$
Odpowiedzi
a) $(x - 1)^2 - 2(x - 1) = x^2 - 4x + 3$ b) $x^2 + 2x$
$D_f = [-2,\,6]$ , $ZW_f = [-1,\,3]$ . Podaj dziedzinę i zbiór wartości $g$ .
1. $g(x) = f(x - 2)$
2. $g(x) = |f(x)|$
Odpowiedzi
a) $[0,\,8]$ ; $[-1,\,3]$ b) $[-2,\,6]$ ; $[0,\,3]$

Poziom B · parametr i złożenia

Zestawy B

Podaj liczbę rozwiązań.
1. $|x^2 - 1| = \tfrac12$
2. $x^2 - 4|x| = -4$
Odpowiedzi
a) $4$ b) $2$
Wyznacz wzór złożenia i jego dziedzinę.
1. $f(x) = x^2$ , $g(x) = x - 3$ ; $\ f \circ g$
Odpowiedzi
a) $(x - 3)^2$ ; $\mathbb R$

Poziom C · różnica $f(x_2) - f(x_1)$

Zestawy C

Zapisz $f(x_2) - f(x_1)$ w postaci iloczynu albo ilorazu i podaj monotoniczność w podanym przedziale.
1. $f(x) = \dfrac{3}{x + 1}$ , $(-1,\,+\infty)$
2. $f(x) = 2x^3 + 5$ , $\mathbb R$
Odpowiedzi
a) $\dfrac{3(x_1 - x_2)}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)}$ ; malejąca b) $2(x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2)$ ; rosnąca

Pełny trening (31 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach rozszerzonych z lat 2024–2026 nie znaleźliśmy osobnego zadania z dowodem monotoniczności. Jest za to zadanie w informatorze CKE (3 punkty, funkcja wymierna) z pięcioma akceptowanymi sposobami: z definicji, łańcuchem nierówności, przez przesunięcie hiperboli, przez pochodną i przez porównanie ułamków. Przekształcenia wykresów i metoda graficzna wracają w zadaniach z parametrem. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

4 zadania · 11 pkt · ok. 30 min

(0–3 pkt) Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{5x}{x + 2}$ dla każdego $x \in (-2,\,+\infty)$ . Wykaż, że $f$ jest funkcją rosnącą.
Rozwiązanie i punktacja
1. Założenie. $-2 < x_1 < x_2$ .
2. Różnica. $f(x_2) - f(x_1) = \dfrac{5x_2(x_1 + 2) - 5x_1(x_2 + 2)}{(x_1 + 2)(x_2 + 2)} = \dfrac{10(x_2 - x_1)}{(x_1 + 2)(x_2 + 2)}$ .
3. Znak. licznik dodatni, oba czynniki mianownika dodatnie, więc różnica dodatnia.
1 pkt za założenie $x_1 < x_2$ w dziedzinie i obliczenie różnicy (ALBO za pochodną, ALBO za postać $5 - \frac{10}{x + 2}$ ). 2 pkt za ustalenie znaku różnicy (ALBO znaku pochodnej, ALBO za opis przesunięcia hiperboli $y = -\frac{10}{x}$ o wektor $[-2,\,5]$ ). 3 pkt za pełny dowód z wnioskiem.
(0–3 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $|x^2 - 2x - 3| = m$ ma dokładnie trzy rozwiązania, oraz te, dla których ma dokładnie dwa rozwiązania.
Rozwiązanie i punktacja
1. Parabola. $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$ , wierzchołek $(1,\,-4)$ .
2. Odbicie. $|x^2 - 2x - 3|$ ma „garb” z wierzchołkiem $(1,\,4)$ między $-1$ a $3$ .
3. Odpowiedź. trzy rozwiązania dla $m = 4$ ; dwa dla $m = 0$ i dla $m > 4$ .
1 pkt za poprawny szkic wykresu $|x^2 - 2x - 3|$ z wierzchołkiem $(1,\,4)$ . 2 pkt za $m = 4$ . 3 pkt za $m \in \{0\} \cup (4,\,+\infty)$ .
(0–2 pkt) Funkcje $f$ i $g$ są określone wzorami $f(x) = x^2 - 1$ oraz $g(x) = \sqrt{x - 2}$ . Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $h = f \circ g$ oraz rozwiąż równanie $h(x) = 4$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Wzór. $h(x) = (\sqrt{x - 2})^2 - 1 = x - 3$ dla $x \ge 2$ .
2. Równanie. $x - 3 = 4$ , $x = 7 \ge 2$ ✓.
1 pkt za wzór $x - 3$ z dziedziną $[2,\,+\infty)$ . 2 pkt za $x = 7$ .
(0–3 pkt) Wykaż, że funkcja $f(x) = x^3 - 3x$ jest malejąca w przedziale $[-1,\,1]$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Założenie. $-1 \le x_1 < x_2 \le 1$ .
2. Różnica. $f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2 - 3)$ .
3. Szacowanie. $x_1^2 \le 1$ , $x_2^2 \le 1$ , $x_1x_2 \le 1$ , a równość we wszystkich trzech naraz wymagałaby $x_1 = x_2 = \pm 1$ , co przeczy $x_1 < x_2$ . Zatem $x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2 < 3$ .
4. Znak. pierwszy czynnik dodatni, drugi ujemny: różnica ujemna.
1 pkt za rozkład różnicy na $(x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2 - 3)$ (ALBO za pochodną $3x^2 - 3$ ). 2 pkt za oszacowanie drugiego czynnika (ALBO $f'(x) \le 0$ na $[-1,\,1]$ z równością tylko na końcach). 3 pkt za pełny dowód.

7 Najczęstsze błędy

„ $f(x + 3)$ to przesunięcie w prawo.”: $f(x + 3) = f(x - (-3))$ : wektor $[-3,\,0]$ , czyli w lewo.
„ $|f(x)|$ i $f(|x|)$ to to samo.”: Pierwsze odbija części pod osią $Ox$ do góry. Drugie zastępuje lewą połowę wykresu odbiciem prawej.
„Sprawdziłem $f(0) < f(1) < f(2)$ , więc funkcja jest rosnąca.”: To przykład, a nie dowód. Dowód działa dla dowolnych $x_1 < x_2$ z przedziału.
„ $g \circ f$ ma wzór $9 - x$ , więc dziedzina to $\mathbb R$ .”: Dziedzina złożenia jest ograniczona dziedziną funkcji wewnętrznej; uproszczenie wzoru jej nie zmienia.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 O jaki wektor przesunięto

y = f(x)

, żeby otrzymać

y = f(x + 1) - 4

$[-1,\,-4]$ .

2 Jaki jest zbiór wartości

|f|

, jeśli

ZW_f = [-5,\,1]

$[0,\,5]$ .

3 Od czego zaczyna się dowód monotoniczności z definicji?

Od napisania „niech $x_1 < x_2$ należą do przedziału”.

4 Czy

f \circ g = g \circ f

dla

f(x) = x + 1

g(x) = 2x

Nie: $2x + 1 \ne 2x + 2$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Przekształcenia

$f(x - p) + q$ : wektor $[p,\,q]$

$-f(x)$ : $Ox$ , $\ f(-x)$ : $Oy$

$|f(x)|$ : dół do góry, $\ f(|x|)$ : prawa strona w lewo

Monotoniczność

$x_1 < x_2$ , znak $f(x_2) - f(x_1)$

$\frac{a}{x - p}$ : znak $-a(x_2 - x_1)$ w liczniku

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są przekształcenia punktu: przesunięcie o wektor i symetrie względem osi i punktu. Reguł dla wykresów $f(x - p) + q$ , $|f(x)|$ , $f(|x|)$ ani definicji monotoniczności broszura nie podaje.

Dalej: ciągi (lekcja 6.1 Ciągi: wzór ogólny, rekurencja, monotoniczność), a pochodna jako trzeci sposób dowodu monotoniczności w lekcji 13.3 Monotoniczność i ekstrema funkcji.