Matematyka i fizyka od podstaw
PLEN

Matura z matematyki › 5.7 Przekształcenia wykresów, złożenia, dowodzenie monotoniczności › Trening · PDF do druku

Matura · poziom rozszerzony · trening 5.7

Trening: przekształcenia, złożenia, monotoniczność

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 5.7 Przekształcenia wykresów, złożenia, dowodzenie monotoniczności: wzory po przekształceniach, dziedzina i zbiór wartości, liczba rozwiązań z parametrem, złożenia funkcji i różnice f(x2)−f(x1)f(x_2) - f(x_1) w dowodach monotoniczności. Na końcu zadania w stylu arkusza rozszerzonego.

Poziom A · przekształcenia

Zestawy A

2 zestawy

  1. Podaj wzór funkcji po przekształceniu wykresu f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x.

    1. przesunięcie o [1, 0][1,\,0]
    2. przesunięcie o [0, −3][0,\,-3]
    3. symetria względem OxOx
    4. symetria względem OyOy
    5. przesunięcie o [−2, 1][-2,\,1]
    Odpowiedzi

    a) (x−1)2−2(x−1)=x2−4x+3(x - 1)^2 - 2(x - 1) = x^2 - 4x + 3   b) x2−2x−3x^2 - 2x - 3   c) −x2+2x-x^2 + 2x   d) x2+2xx^2 + 2x   e) x2+2x+1x^2 + 2x + 1

  2. Df=[−2, 6]D_f = [-2,\,6], ZWf=[−1, 3]ZW_f = [-1,\,3]. Podaj dziedzinę i zbiór wartości gg.

    1. g(x)=f(x−2)g(x) = f(x - 2)
    2. g(x)=f(x)+4g(x) = f(x) + 4
    3. g(x)=−f(x)g(x) = -f(x)
    4. g(x)=f(−x)g(x) = f(-x)
    5. g(x)=∣f(x)∣g(x) = |f(x)|
    6. g(x)=2−f(x+1)g(x) = 2 - f(x + 1)
    Odpowiedzi

    a) [0, 8][0,\,8]; [−1, 3][-1,\,3]   b) [−2, 6][-2,\,6]; [3, 7][3,\,7]   c) [−2, 6][-2,\,6]; [−3, 1][-3,\,1]   d) [−6, 2][-6,\,2]; [−1, 3][-1,\,3]   e) [−2, 6][-2,\,6]; [0, 3][0,\,3]   f) [−3, 5][-3,\,5]; [−1, 3][-1,\,3]

Poziom B · parametr i złożenia

Zestawy B

2 zestawy

  1. Podaj liczbę rozwiązań.

    1. ∣x2−1∣=12|x^2 - 1| = \tfrac12
    2. ∣x2−1∣=1|x^2 - 1| = 1
    3. ∣x2−1∣=2|x^2 - 1| = 2
    4. ∣x−2∣+1=m|x - 2| + 1 = m dla m=1m = 1
    5. x2−4∣x∣=−4x^2 - 4|x| = -4
    6. x2−4∣x∣=−3x^2 - 4|x| = -3
    Odpowiedzi

    a) 44   b) 33   c) 22   d) 11   e) 22   f) 44

  2. Wyznacz wzór złożenia i jego dziedzinę.

    1. f(x)=x2f(x) = x^2, g(x)=x−3g(x) = x - 3;  f∘g\ f \circ g
    2. to samo;  g∘f\ g \circ f
    3. f(x)=xf(x) = \sqrt x, g(x)=2x−6g(x) = 2x - 6;  f∘g\ f \circ g
    4. f(x)=1xf(x) = \frac1x, g(x)=x2−4g(x) = x^2 - 4;  f∘g\ f \circ g
    5. f(x)=1xf(x) = \frac1x;  f∘f\ f \circ f
    Odpowiedzi

    a) (x−3)2(x - 3)^2; R\mathbb R   b) x2−3x^2 - 3; R\mathbb R   c) 2x−6\sqrt{2x - 6}; [3, +∞)[3,\,+\infty)   d) 1x2−4\frac{1}{x^2 - 4}; R∖{−2, 2}\mathbb R \setminus \{-2,\,2\}   e) xx; R∖{0}\mathbb R \setminus \{0\}

Poziom C · różnica f(x2)−f(x1)f(x_2) - f(x_1)

Zestawy C

1 zestaw

  1. Zapisz f(x2)−f(x1)f(x_2) - f(x_1) w postaci iloczynu albo ilorazu i podaj monotoniczność w podanym przedziale.

    1. f(x)=3x+1f(x) = \dfrac{3}{x + 1}, (−1, +∞)(-1,\,+\infty)
    2. f(x)=xx−2f(x) = \dfrac{x}{x - 2}, (2, +∞)(2,\,+\infty)
    3. f(x)=x2+4xf(x) = x^2 + 4x, [−2, +∞)[-2,\,+\infty)
    4. f(x)=2x3+5f(x) = 2x^3 + 5, R\mathbb R
    5. f(x)=−x2+6xf(x) = -x^2 + 6x, (−∞, 3](-\infty,\,3]
    Odpowiedzi

    a) 3(x1−x2)(x1+1)(x2+1)\dfrac{3(x_1 - x_2)}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)}; malejąca   b) 2(x1−x2)(x1−2)(x2−2)\dfrac{2(x_1 - x_2)}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)}; malejąca   c) (x2−x1)(x1+x2+4)(x_2 - x_1)(x_1 + x_2 + 4); rosnąca   d) 2(x2−x1)(x22+x1x2+x12)2(x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2); rosnąca   e) (x2−x1)(6−x1−x2)(x_2 - x_1)(6 - x_1 - x_2); rosnąca

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu rozszerzonym CKE. W dowodach monotoniczności każdy z akceptowanych sposobów (definicja, przesunięcie wykresu, pochodna) ma tę samą skalę punktów.

Zadania w stylu arkusza

4 zadania · 10 pkt

  1. (0–3 pkt) Wykaż, że funkcja f(x)=x+4x+1f(x) = \dfrac{x + 4}{x + 1} jest malejąca w przedziale (−1, +∞)(-1,\,+\infty).

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Postać. f(x)=1+3x+1f(x) = 1 + \dfrac{3}{x + 1}.
    2. Różnica. dla −1<x1<x2-1 < x_1 < x_2: f(x2)−f(x1)=3x2+1−3x1+1=3(x1−x2)(x1+1)(x2+1)f(x_2) - f(x_1) = \dfrac{3}{x_2 + 1} - \dfrac{3}{x_1 + 1} = \dfrac{3(x_1 - x_2)}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)}.
    3. Znak. licznik ujemny, mianownik dodatni.

    1 pkt za założenie i różnicę (ALBO postać 1+3x+11 + \frac{3}{x + 1}, ALBO pochodną). 2 pkt za znak różnicy (ALBO opis przesunięcia y=3xy = \frac3x o [−1, 1][-1,\,1], ALBO f′(x)=−3(x+1)2<0f'(x) = -\frac{3}{(x + 1)^2} < 0). 3 pkt za pełny dowód.

  2. (0–2 pkt) Funkcja ff ma dziedzinę [−3, 4][-3,\,4] i zbiór wartości [−5, 2][-5,\,2]. Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji g(x)=∣f(x−1)∣g(x) = |f(x - 1)|.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Dziedzina. x−1∈[−3, 4]x - 1 \in [-3,\,4], czyli x∈[−2, 5]x \in [-2,\,5].
    2. Wartości. ∣[−5, 2]∣=[0, 5]|[-5,\,2]| = [0,\,5].

    1 pkt za dziedzinę. 2 pkt za oba zbiory.

  3. (0–3 pkt) Wyznacz wszystkie wartości mm, dla których równanie x2−6∣x∣+5=mx^2 - 6|x| + 5 = m ma dokładnie cztery rozwiązania.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Wykres dla x≥0x \ge 0. x2−6x+5x^2 - 6x + 5, wierzchołek (3, −4)(3,\,-4), f(0)=5f(0) = 5.
    2. Odbicie. f(∣x∣)f(|x|): „W” z minimami −4-4 w x=±3x = \pm 3 i lokalnym maksimum 55 w x=0x = 0.
    3. Cztery punkty. prosta y=my = m przecina „W” w czterech punktach dla −4<m<5-4 < m < 5.

    1 pkt za wykres dla x≥0x \ge 0. 2 pkt za poprawny wykres y=x2−6∣x∣+5y = x^2 - 6|x| + 5. 3 pkt za m∈(−4, 5)m \in (-4,\,5).

  4. (0–2 pkt) Dane są f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1 i g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1. Rozwiąż równanie (f∘g)(x)=(g∘f)(x)(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x).

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Wzory. f(g(x))=2x2+1f(g(x)) = 2x^2 + 1,  g(f(x))=(2x−1)2+1=4x2−4x+2\ g(f(x)) = (2x - 1)^2 + 1 = 4x^2 - 4x + 2.
    2. Równanie. 2x2+1=4x2−4x+22x^2 + 1 = 4x^2 - 4x + 2, czyli 2x2−4x+1=02x^2 - 4x + 1 = 0, x=1±22x = 1 \pm \tfrac{\sqrt2}{2}.

    1 pkt za oba wzory złożeń. 2 pkt za rozwiązania 1±221 \pm \frac{\sqrt2}{2}.