13.3 Monotoniczność i ekstrema funkcji · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Znak pochodnej mówi, dokąd idzie wykres

Pochodna to nachylenie stycznej (lekcja 13.2 Pochodna: definicja, interpretacja i obliczanie). Gdzie styczna wznosi się, $f' > 0$ , tam wykres rośnie; gdzie opada, $f' < 0$ , wykres maleje. Wierzchołki „górek” i „dolin” wykresu funkcji różniczkowalnej są tam, gdzie styczna jest pozioma, $f' = 0$ , i gdzie pochodna zmienia znak. Całe badanie funkcji sprowadza się więc do rozwiązania nierówności $f'(x) > 0$ , a do tego wystarcza metoda z lekcji 3.3 Nierówności wielomianowe i równania dwukwadratowe (wężyk) i 3.4 Wyrażenia, równania i nierówności wymierne (funkcje wymierne).

1 Przedziały monotoniczności

Twierdzenie i metoda

Jeśli $f'(x) > 0$ dla każdego $x$ z przedziału $I$ , to $f$ jest rosnąca w $I$ ; jeśli $f'(x) < 0$ , to malejąca. Metoda:

wyznacz dziedzinę $f$ ;
oblicz $f'$ i rozłóż na czynniki (w ilorazie mianownik $g^2 > 0$ nie wpływa na znak);
wyznacz miejsca zerowe $f'$ i znak $f'$ na przedziałach między nimi (tabela albo wężyk);
zapisz przedziały monotoniczności osobno, nie sumą.

Przykład 1.1 Wielomian

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = x^3 - 3x$ .

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ ; zera $-1$ i $1$ .

$x$	$(-\infty, -1)$	$-1$	$(-1, 1)$	$1$	$(1, +\infty)$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	max $2$	$\searrow$	min $-2$	$\nearrow$

Wynik: $f$ rośnie w $(-\infty, -1]$ i w $[1, +\infty)$ , maleje w $[-1, 1]$ .

Przykład 1.2 Funkcja z dziurą w dziedzinie

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = x + \frac4x$ .

Dziedzina $x \ne 0$ . $\ f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}$ .
Znak zależy od licznika: $f' > 0$ dla $|x| > 2$ , $f' < 0$ dla $0 < |x| < 2$ .

Wynik: rośnie w $(-\infty, -2]$ i w $[2, +\infty)$ ; maleje w $[-2, 0)$ i w $(0, 2]$ . Zapis „maleje w $[-2, 0) \cup (0, 2]$ ” jest błędny: $f(-1) = -5 < f(1) = 5$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 6 min

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = x^3 - 12x$ .

Odpowiedź
$f' = 3(x - 2)(x + 2)$ : rośnie w $(-\infty, -2]$ i $[2, +\infty)$ , maleje w $[-2, 2]$ .
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ .

Odpowiedź
$f' = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$ : maleje w $(-\infty, -1]$ , rośnie w $[-1, 1]$ , maleje w $[1, +\infty)$ .
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1$ .

Odpowiedź
$f' = 6(x + 2)(x - 1)$ : rośnie w $(-\infty, -2]$ i $[1, +\infty)$ , maleje w $[-2, 1]$ .

2 Ekstrema lokalne

Warunek konieczny i wystarczający

Konieczny: jeśli $f$ ma ekstremum w $x_0$ i jest tam różniczkowalna, to $f'(x_0) = 0$ .
Wystarczający: jeśli $f'(x_0) = 0$ i $f'$ zmienia znak w $x_0$ : z $+$ na $-$ to maksimum, z $-$ na $+$ to minimum.

Samo $f'(x_0) = 0$ nie wystarcza: $f(x) = x^3$ ma $f'(0) = 0$ , ale jest rosnąca, bez ekstremum. W tabeli znaku widać to od razu.

Przykład 2.1 Zero pochodnej bez ekstremum

Wyznacz ekstrema funkcji $f(x) = x^4 - 4x^3$ .

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$ ; zera $0$ (podwójne) i $3$ .
Czynnik $x^2 \ge 0$ nie zmienia znaku, więc znak $f'$ to znak $x - 3$ : ujemny dla $x < 3$ (także po obu stronach $0$ ), dodatni dla $x > 3$ .
W $0$ brak ekstremum; w $3$ minimum, $f(3) = 81 - 108$ .

Wynik: jedno ekstremum: minimum $f(3) = -27$ .

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 5 min

Wyznacz ekstrema funkcji $f(x) = x^3 - 3x^2$ .

Odpowiedź
$f' = 3x(x - 2)$ : maksimum $f(0) = 0$ , minimum $f(2) = -4$ .
Wyznacz ekstrema funkcji $f(x) = x^4 - 2x^2$ .

Odpowiedź
$f' = 4x(x - 1)(x + 1)$ : minima $f(-1) = f(1) = -1$ , maksimum $f(0) = 0$ .
Czy funkcja $f(x) = x^3 + 3x$ ma ekstrema?

Odpowiedź
Nie: $f' = 3x^2 + 3 > 0$ dla każdego $x$ .

3 Największa i najmniejsza wartość na przedziale

Przedział domknięty $[a, b]$

Funkcja ciągła na $[a, b]$ osiąga na nim wartość najmniejszą i największą. Kandydaci są tylko dwojakiego rodzaju: punkty krytyczne leżące wewnątrz $(a, b)$ (gdzie $f' = 0$ ) i końce $a$ , $b$ . Oblicz $f$ we wszystkich kandydatach i porównaj.

Na przedziale otwartym albo na całej prostej porównanie końców nie jest możliwe. Wtedy argument brzmi: „ $f$ maleje na lewo od $x_0$ i rośnie na prawo, więc $f(x_0)$ jest wartością najmniejszą” (jedyne ekstremum lokalne).

Przykład 3.1 Remis

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ na przedziale $[0, 4]$ .

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$ ; oba zera leżą w $(0, 4)$ .
$f(0) = 1$ , $\ f(1) = 5$ , $\ f(3) = 1$ , $\ f(4) = 5$ .

Wynik: najmniejsza $1$ (dla $x = 0$ i $x = 3$ ), największa $5$ (dla $x = 1$ i $x = 4$ ). Koniec przedziału może dać tę samą wartość co ekstremum, a w innych zadaniach większą.

Przykład 3.2 Przedział otwarty

Wyznacz najmniejszą wartość funkcji $f(x) = x + \frac9x$ dla $x > 0$ .

$f'(x) = 1 - \frac{9}{x^2} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x^2}$ : na $(0, +\infty)$ ujemna dla $x < 3$ , dodatnia dla $x > 3$ .
$f$ maleje w $(0, 3]$ i rośnie w $[3, +\infty)$ .

Wynik: wartość najmniejsza $f(3) = 6$ . Największej nie ma.

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 8 min

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x) = x^3 - 3x$ na przedziale $[0, 2]$ .

Odpowiedź
Krytyczny w środku: $x = 1$ . $f(0) = 0$ , $f(1) = -2$ , $f(2) = 2$ : najmniejsza $-2$ , największa $2$ .
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x) = x + \frac1x$ na przedziale $\left[\frac12, 3\right]$ .

Odpowiedź
$f' = \frac{x^2 - 1}{x^2}$ , krytyczny $1$ . $f\!\left(\frac12\right) = \frac52$ , $f(1) = 2$ , $f(3) = \frac{10}{3}$ : najmniejsza $2$ , największa $\frac{10}{3}$ .
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x) = x^4 - 8x^2 + 3$ na przedziale $[-1, 3]$ .

Odpowiedź
$f' = 4x(x - 2)(x + 2)$ ; w $(-1, 3)$ leżą $0$ i $2$ ( $-2$ odpada). $f(-1) = -4$ , $f(0) = 3$ , $f(2) = -13$ , $f(3) = 12$ : najmniejsza $-13$ , największa $12$ .

4 Dowód monotoniczności i liczba rozwiązań

Dwa zastosowania

„Wykaż, że $f$ jest rosnąca w przedziale $I$ ”: oblicz $f'$ i uzasadnij, że $f'(x) > 0$ dla $x \in I$ . Zapisz wniosek z twierdzenia. Jeśli $f' \ge 0$ i zeruje się tylko w pojedynczych punktach, funkcja też jest rosnąca.
Liczba rozwiązań równania $f(x) = c$ : z przedziałów monotoniczności i wartości w ekstremach widać, ile razy wykres przecina prostą $y = c$ . Funkcja rosnąca na całym przedziale przyjmuje każdą wartość co najwyżej raz; z własnością Darboux (lekcja 13.1 Granice i ciągłość funkcji, własność Darboux) daje to „dokładnie jedno rozwiązanie”.

Przykład 4.1 Dowód z pochodnej

Wykaż, że funkcja $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$ jest rosnąca w przedziale $(-3, +\infty)$ .

$f'(x) = \frac{2(x + 3) - (2x - 1)}{(x + 3)^2} = \frac{7}{(x + 3)^2}$ .
Dla $x > -3$ : licznik $7 > 0$ , mianownik $(x + 3)^2 > 0$ , więc $f'(x) > 0$ .
Zatem $f$ jest rosnąca w $(-3, +\infty)$ . $\ \blacksquare$

Zadania · część 4

1 zadanie · ok. 2 min

Wykaż, że funkcja $f(x) = \frac{x + 5}{x + 1}$ jest malejąca w przedziale $(-1, +\infty)$ .

Odpowiedź
$f' = \frac{(x + 1) - (x + 5)}{(x + 1)^2} = \frac{-4}{(x + 1)^2} < 0$ dla $x > -1$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 17 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · monotoniczność

Zestawy A

Wyznacz przedziały monotoniczności.
1. $x^2 - 4x$
2. $\sqrt x - x$
Odpowiedzi
a) maleje w $(-\infty, 2]$ , rośnie w $[2, +\infty)$ b) $f' = \frac{1}{2\sqrt x} - 1$ : rośnie w $\left[0, \frac14\right]$ , maleje w $\left[\frac14, +\infty\right)$

Poziom B · ekstrema

Zestawy B

Wyznacz ekstrema lokalne (rodzaj i wartość).
1. $x^3 - 6x^2$
Odpowiedzi
a) max $f(0) = 0$ , min $f(4) = -32$

Poziom C · wartości na przedziale

Zestawy C

Podaj najmniejszą i największą wartość.
1. $x^2 - 2x$ na $[0, 3]$
Odpowiedzi
a) $-1$ i $3$

Poziom D · dowody i liczba rozwiązań

Zestawy D

Uzasadnij krótko.
1. $x^3 + 2x - 7 = 0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie
Odpowiedzi
a) $f' = 3x^2 + 2 > 0$ , $f(1) = -4$ , $f(2) = 5$

Pełny trening (17 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

Na egzaminie ta lekcja jest częścią zadania optymalizacyjnego (x.2, 4 punkty), w którym punkty są za pochodną, za jej miejsca zerowe w dziedzinie, za uzasadnienie typu ekstremum (znak pochodnej i strzałki albo „jedyne ekstremum lokalne”) i za odpowiedź. Informator ma też samodzielne zadania: dowód monotoniczności za 3 punkty i najmniejszą wartość funkcji, w tym na przedziale domkniętym, gdzie trzeba porównać wartości na końcach. Łatwość zadań x.2 w maju: $42\%$ (2025) i $47\%$ (2026). Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

3 zadania · 11 pkt · ok. 30 min

(0–4 pkt) Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Pochodna. dziedzina $x \ne 1$ ; $\ f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 3)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}$ .
2. Znak. $f' > 0$ dla $x < -1$ i $x > 3$ ; $\ f' < 0$ dla $-1 < x < 1$ i $1 < x < 3$ .
3. Monotoniczność. rośnie w $(-\infty, -1]$ i w $[3, +\infty)$ ; maleje w $[-1, 1)$ i w $(1, 3]$ .
4. Ekstrema. maksimum $f(-1) = \frac{4}{-2} = -2$ , minimum $f(3) = \frac{12}{2} = 6$ .
1 pkt za pochodną. 2 pkt za miejsca zerowe i znak pochodnej. 3 pkt za przedziały monotoniczności zapisane osobno. 4 pkt za oba ekstrema z wartościami. Maksimum mniejsze od minimum nie jest błędem: to ekstrema lokalne na dwóch różnych gałęziach.
(0–3 pkt) Wykaż, że funkcja $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 5$ jest rosnąca w $\mathbb R$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Pochodna. $f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2$ .
2. Znak. $f'(x) > 0$ dla $x \ne 1$ i $f'(1) = 0$ ; pochodna nie zmienia znaku.
3. Wniosek. $f$ jest rosnąca w $(-\infty, 1]$ i w $[1, +\infty)$ , a przedziały mają wspólny punkt, więc rośnie w $\mathbb R$ . (Inaczej: $f(x) = (x - 1)^3 - 4$ , przesunięcie funkcji rosnącej $x^3$ .) $\ \blacksquare$
1 pkt za pochodną. 2 pkt za postać $3(x - 1)^2$ i znak. 3 pkt za poprawny wniosek uwzględniający punkt $x = 1$ .
(0–4 pkt) Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji $f(x) = x^3 - 12x + 5$ na przedziale $[-1, 4]$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Pochodna. $f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2)$ .
2. Punkty krytyczne w przedziale. tylko $x = 2$ ( $-2 \notin [-1, 4]$ ).
3. Wartości. $f(-1) = 16$ , $\ f(2) = -11$ , $\ f(4) = 21$ .
4. Wynik. najmniejsza $-11$ (dla $x = 2$ ), największa $21$ (dla $x = 4$ ).
1 pkt za pochodną. 2 pkt za punkt krytyczny w przedziale z odrzuceniem $-2$ . 3 pkt za wartości w $2$ i na obu końcach. 4 pkt za obie odpowiedzi.

7 Najczęstsze błędy

„Maleje w $[-2, 0) \cup (0, 2]$ .”: Monotoniczność na sumie przedziałów rozdzielonych dziurą w dziedzinie zwykle nie zachodzi. Zapisuj przedziały osobno.
„ $f'(x_0) = 0$ , więc ekstremum.”: Potrzebna zmiana znaku pochodnej. Czynnik w parzystej potędze, np. $x^2$ , znaku nie zmienia.
„Największa wartość na $[a, b]$ to maksimum lokalne.”: Trzeba porównać z wartościami na końcach; w zadaniu 3 największa wartość jest na końcu przedziału.
„Krytyczny punkt $-2$ też liczę.”: Na przedziale $[a, b]$ bierzesz tylko punkty krytyczne leżące w tym przedziale.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Co trzeba sprawdzić, żeby z

f'(x_0) = 0

wywnioskować minimum?

Że $f'$ zmienia znak w $x_0$ z $-$ na $+$ .

2 Czy

x^3

ma ekstremum w

0

Nie: $3x^2 \ge 0$ nie zmienia znaku.

3 Którzy kandydaci wchodzą do porównania przy szukaniu wartości największej na

[a, b]

Punkty krytyczne leżące w $(a, b)$ oraz końce $a$ i $b$ .

4 Ile rozwiązań ma

x^3 - 3x = 1

Trzy: maksimum lokalne $2$ i minimum lokalne $-2$ , a $1$ leży między nimi.

9 Karta wzorów i co dalej

Monotoniczność

$f' > 0$ na $I$ : rośnie; $\ f' < 0$ : maleje

tabela: zera $f'$ , znak, strzałki

przedziały osobno, nie sumą

Ekstrema i wartości

ekstremum: $f' = 0$ i zmiana znaku

$[a, b]$ : krytyczne w środku + końce

otwarty: jedyne ekstremum lokalne

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” nie ma twierdzeń o monotoniczności ani warunków istnienia ekstremum; są tylko wzory na pochodne (dział 16). Metodę trzeba znać.

Dalej: zadania optymalizacyjne (lekcja 13.4 Zadania optymalizacyjne z pochodną).