Trening: monotoniczność i ekstrema

a) maleje w $(-\infty, 2]$, rośnie w $[2, +\infty)$   b) rośnie w $(-\infty, -3]$ i $[3, +\infty)$, maleje w $[-3, 3]$   c) rośnie w $(-\infty, 0]$, maleje w $[0, +\infty)$   d) $f' = \frac{1}{2\sqrt x} - 1$: rośnie w $\left[0, \frac14\right]$, maleje w $\left[\frac14, +\infty\right)$

a) max $f(0) = 0$, min $f(4) = -32$   b) max $f(-1) = -2$, min $f(1) = 2$   c) min $f(1) = -3$   d) brak

a) $-1$ i $3$   b) $-4$ i $0$   c) $4$ i $5$   d) $-5$ i $4$

a) $f' = 3x^2 + 2 > 0$, $f(1) = -4$, $f(2) = 5$   b) $f' = \frac{5}{(x + 2)^2} > 0$   c) $3$: max $2$, min $-2$

1. Pochodna. $x \ne -1$; $\ f'(x) = \frac{2x(x + 1) - x^2}{(x + 1)^2} = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}$.
2. Znak. dodatnia dla $x < -2$ i $x > 0$, ujemna dla $-2 < x < -1$ i $-1 < x < 0$.
3. Monotoniczność. rośnie w $(-\infty, -2]$ i $[0, +\infty)$; maleje w $[-2, -1)$ i $(-1, 0]$.
4. Ekstrema. max $f(-2) = -4$, min $f(0) = 0$.

1 pkt za pochodną. 2 pkt za zera i znak. 3 pkt za przedziały. 4 pkt za ekstrema.

1. Pochodna. $f'(x) = 4x(x - 1)(x + 1)$; w $(0, 2)$ tylko $x = 1$.
2. Wartości. $f(0) = 3$, $\ f(1) = 2$, $\ f(2) = 11$.
3. Wynik. najmniejsza $2$, największa $11$.

1 pkt za pochodną i punkt krytyczny. 2 pkt za wartości w kandydatach. 3 pkt za obie odpowiedzi.