6.1 Ciągi: wzór ogólny, rekurencja, monotoniczność

0 Trzy wyrazy wystarczą do „nie”

Ciąg $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = 3a_n - 1$ ma wyrazy $1,\ 2,\ 5,\ 14, \dots$ Czy jest arytmetyczny? Różnice $1$ i $3$ są różne, więc nie. Czy geometryczny? Ilorazy $2$ i $\tfrac52$ są różne, więc nie. Do odpowiedzi „nie” wystarczą trzy wyrazy, bo jeden kontrprzykład obala własność. Do odpowiedzi „tak” trzeba pokazać, że różnica (albo iloraz) jest stała dla każdego $n$ , czyli policzyć ją ogólnie.

1 Wzór ogólny

Ciąg liczbowy

Ciąg $(a_n)$ to funkcja, która każdej liczbie naturalnej $n \ge 1$ przyporządkowuje liczbę $a_n$ . Wzór ogólny pozwala obliczyć dowolny wyraz bez liczenia poprzednich: podstaw $n$ .

Pytanie „który wyraz ciągu jest równy $c$ ?” to równanie $a_n = c$ z warunkiem, że $n$ jest liczbą naturalną.

Przykład 1.1 Wyraz i numer wyrazu

Dany jest ciąg $a_n = n^2 - 6n$ . Oblicz $a_4$ i ustal, które wyrazy są równe $16$ .

$a_4 = 16 - 24 = -8$ .
$n^2 - 6n = 16 \iff n^2 - 6n - 16 = 0 \iff (n - 8)(n + 2) = 0$ .
$n = -2$ nie jest numerem wyrazu; zostaje $n = 8$ .

Wynik: $a_4 = -8$ ; równy $16$ jest tylko wyraz $a_8$ .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

Oblicz $a_5$ dla $a_n = \dfrac{(-1)^n \cdot 64}{2^{n}}$ .

Odpowiedź
$a_5 = \dfrac{-64}{32} = -2$ .
Ile wyrazów ciągu $a_n = 50 - 3n$ jest dodatnich?
Odpowiedź
1. $50 - 3n > 0 \iff n < \tfrac{50}{3} = 16\tfrac23$ .
2. Wyrazy $a_1, \dots, a_{16}$ : szesnaście.

2 Rekurencja

Ciąg określony rekurencyjnie

Podany jest pierwszy wyraz i przepis na następny z poprzedniego (czasem z dwóch poprzednich). Wyrazy liczy się po kolei; nie ma skrótu do $a_{100}$ bez wzoru ogólnego.

Przykład 2.1 Rekurencja z $n$

$a_1 = -1$ , $a_{n+1} = n \cdot a_n + 3$ . Oblicz $a_2 + a_3 + a_4$ .

$a_2 = 1 \cdot (-1) + 3 = 2$ .
$a_3 = 2 \cdot 2 + 3 = 7$ .
$a_4 = 3 \cdot 7 + 3 = 24$ .

Wynik: $2 + 7 + 24 = 33$ . Uwaga: przy liczeniu $a_{n+1}$ mnożysz przez $n$ , nie przez $n + 1$ .

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 4 min

$a_1 = 5$ , $a_{n+1} = a_n - 4$ . Oblicz $a_6$ .

Odpowiedź
$5,\ 1,\ -3,\ -7,\ -11,\ -15$ : $a_6 = -15$ .
$a_1 = 1$ , $a_2 = 1$ , $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ . Oblicz $a_5$ .

Odpowiedź
$a_3 = 3$ , $a_4 = 5$ , $a_5 = 11$ .

3 Monotoniczność: znak $a_{n+1} - a_n$

Rosnący, malejący, stały

Ciąg jest rosnący, gdy $a_{n+1} - a_n > 0$ dla każdego $n$ ; malejący, gdy $a_{n+1} - a_n < 0$ dla każdego $n$ ; stały, gdy różnica jest zawsze zerem. Wystarczy policzyć różnicę ogólnie i ustalić jej znak.

Przykład 3.1 Ciąg wymierny

Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n = \dfrac{2n + 6}{n + 1}$ .

$a_n = 2 + \dfrac{4}{n + 1}$ .
$a_{n+1} - a_n = \dfrac{4}{n + 2} - \dfrac{4}{n + 1} = \dfrac{4(n + 1) - 4(n + 2)}{(n + 1)(n + 2)} = \dfrac{-4}{(n + 1)(n + 2)}$ .
Mianownik dodatni dla każdego $n \ge 1$ , więc różnica ujemna.

Wynik: ciąg malejący.

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 5 min

Wykaż, że ciąg $a_n = n^2 + n$ jest rosnący.

Odpowiedź
$a_{n+1} - a_n = (n + 1)^2 + (n + 1) - n^2 - n = 2n + 2 > 0$ .
Czy ciąg $a_n = n^2 - 6n$ jest monotoniczny?
Odpowiedź
1. $a_{n+1} - a_n = 2n - 5$ : ujemne dla $n \le 2$ , dodatnie dla $n \ge 3$ .
2. Nie: $a_1 = -5 > a_2 = -8 > a_3 = -9 < a_4 = -8$ .

4 Czy ciąg jest arytmetyczny albo geometryczny?

Test

Arytmetyczny $\iff$ $a_{n+1} - a_n$ nie zależy od $n$ (to różnica $r$ ).
Geometryczny (o wyrazach niezerowych) $\iff$ $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ nie zależy od $n$ (to iloraz $q$ ).
Żeby wykazać „nie”, wystarczy kontrprzykład z trzech kolejnych wyrazów.

Przykład 4.1 Ciąg z $(-1)^n$

Ciąg $a_n = 3 \cdot (-1)^n + 5$ . Czy jest geometryczny? Oblicz sumę jego ośmiu początkowych wyrazów.

Wyrazy: $2,\ 8,\ 2,\ 8, \dots$ Ilorazy $4$ i $\tfrac14$ : nie jest geometryczny.
Cztery pary $2 + 8$ : suma $4 \cdot 10 = 40$ .

Wynik: nie jest geometryczny; $S_8 = 40$ .

Zadania · część 4

1 zadanie · ok. 3 min

Wykaż, że ciąg $a_n = 7 - 2n$ jest arytmetyczny.

Odpowiedź
$a_{n+1} - a_n = 7 - 2(n + 1) - 7 + 2n = -2$ : stała, nie zależy od $n$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 31 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · wyrazy

Zestawy A

Oblicz wskazany wyraz.
1. $a_n = 2n^2 - n$ , $\ a_3$
2. $a_n = 48 \cdot \left(\tfrac12\right)^{n-1}$ , $\ a_5$
Odpowiedzi
a) $15$ b) $3$
Ciąg określony rekurencyjnie: oblicz wskazany wyraz.
1. $a_1 = 3$ , $a_{n+1} = a_n + 5$ ; $\ a_4$
2. $a_1 = 0$ , $a_{n+1} = n - a_n$ ; $\ a_5$
Odpowiedzi
a) $18$ b) $2$

Poziom B · numer wyrazu i znak

Zestawy B

Odpowiedz.
1. który wyraz $a_n = 3n - 14$ jest równy $25$
Odpowiedzi
a) $a_{13}$

Poziom C · monotoniczność i typ

Zestawy C

Oblicz $a_{n+1} - a_n$ i podaj monotoniczność.
1. $a_n = 5 - 4n$
Odpowiedzi
a) $-4$ ; malejący
Arytmetyczny (A), geometryczny (G), żaden (Ż)?
1. $a_n = 3 \cdot 2^n$
Odpowiedzi
a) G ( $q = 2$ )

Pełny trening (31 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach z lat 2024–2026 ten dział to głównie zadania za 1 punkt: obliczenie wyrazu ze wzoru albo rekurencji i P/F o typie lub monotoniczności ciągu. Według sprawozdania CKE w maju 2025 obliczenie trzeciego wyrazu ciągu rekurencyjnego rozwiązało 75% zdających, a rozstrzygnięcie, czy ten sam ciąg jest arytmetyczny i geometryczny, tylko 47%. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 7 pkt · ok. 15 min

(0–1 pkt) Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorami $a_1 = 3$ , $a_{n+1} = 2a_n - 4$ dla $n \ge 1$ . Wyraz $a_4$ jest równy

A. $-12$ B. $-4$ C. $0$ D. $2$

Odpowiedź
B. $a_2 = 2$ , $a_3 = 0$ , $a_4 = -4$ .
(0–1 pkt) Dla ciągu z poprzedniego zadania oceń prawdziwość zdań.

1. Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny. P F
2. Ciąg $(a_n)$ jest malejący. P F
Odpowiedź
FP.
1. Różnice $-1$ , $-2$ , $-4$ : nie arytmetyczny.
2. $a_{n+1} - a_n = a_n - 4$ ; ponieważ $a_1 = 3 < 4$ i kolejne wyrazy maleją, zawsze $a_n < 4$ , więc różnica ujemna: malejący.
(0–1 pkt) Dany jest ciąg $a_n = \dfrac{(-1)^{n+1} \cdot 81}{3^{n-1}}$ . Wyraz $a_5$ jest równy

A. $-1$ B. $1$ C. $-\tfrac13$ D. $\tfrac13$

Odpowiedź
B. $(-1)^6 \cdot \tfrac{81}{81} = 1$ .
(0–1 pkt) Liczba $40$ jest wyrazem ciągu $a_n = n^2 - 3n$ o numerze

A. $5$ B. $8$ C. $10$ D. $40$

Odpowiedź
B. $n^2 - 3n - 40 = (n - 8)(n + 5) = 0$ , $n = 8$ .
(0–3 pkt) Ciąg jest określony wzorami $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = n \cdot a_n - 1$ dla $n \ge 1$ . Oblicz sumę $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Wyrazy. $a_2 = 1 \cdot 2 - 1 = 1$ , $a_3 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ , $a_4 = 3 \cdot 1 - 1 = 2$ , $a_5 = 4 \cdot 2 - 1 = 7$ .
2. Suma. $2 + 1 + 1 + 2 + 7 = 13$ .
1 pkt za $a_2$ , $a_3$ . 2 pkt za $a_4$ , $a_5$ . 3 pkt za sumę $13$ .

7 Najczęstsze błędy

„ $a_1, a_2, a_3$ rosną, więc ciąg jest rosnący.”: Monotoniczność dotyczy wszystkich $n$ . Trzeba policzyć $a_{n+1} - a_n$ ogólnie.
„ $a_{n+1} = n \cdot a_n + 3$ ; dla $a_3$ mnożę przez $3$ .”: Dla $a_3 = a_{2+1}$ jest $n = 2$ : mnożysz przez $2$ .
„Równanie $a_n = 16$ ma rozwiązania $8$ i $-2$ , więc dwa wyrazy.”: Numer wyrazu jest liczbą naturalną: $n = -2$ odpada.
„Ciąg $2, 8, 2, 8, \dots$ jest geometryczny, bo co drugi wyraz się powtarza.”: Iloraz musi być stały między kolejnymi wyrazami: $4$ i $\frac14$ to nie to samo.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jak wykazać, że ciąg nie jest arytmetyczny?

Wskazać trzy kolejne wyrazy o różnych różnicach.

2 Jaki jest

a_3

, jeśli

a_1 = 4

a_{n+1} = \frac{a_n}{2}

$1$ .

3 Czy ciąg

a_n = -3n + 1

jest malejący?

Tak: $a_{n+1} - a_n = -3 < 0$ .

4 Ile wynosi

(-1)^n

dla

n

parzystych?

$1$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Ciągi

wzór ogólny: podstaw $n$

rekurencja: wyraz po wyrazie

numer wyrazu $\in \mathbb N_+$

Testy

rosnący $\iff a_{n+1} - a_n > 0$

arytmetyczny $\iff a_{n+1} - a_n = \text{const}$

geometryczny $\iff \frac{a_{n+1}}{a_n} = \text{const}$

Broszura CKE „Wybrane wzory matematyczne” zawiera wzory ciągów arytmetycznego i geometrycznego, ale nie definicję monotoniczności ciągu.

Dalej: ciąg arytmetyczny (lekcja 6.2 Ciąg arytmetyczny) i geometryczny (6.3 Ciąg geometryczny).