4.2 Układy równań z równaniem kwadratowym · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Prosta i okrąg

Ile punktów wspólnych mają okrąg $x^2 + y^2 = 25$ i prosta $y = x + 1$ ? Wstawiamy $y$ do równania okręgu: $x^2 + (x + 1)^2 = 25$ , czyli $2x^2 + 2x - 24 = 0$ , $x^2 + x - 12 = 0$ , $x = 3$ albo $x = -4$ . Punkty $(3,\,4)$ i $(-4,\,-3)$ . Liczba rozwiązań układu to liczba pierwiastków jednego równania kwadratowego, więc o wszystkim decyduje jego $\Delta$ .

1 Podstawienie

Układ: równanie liniowe i kwadratowe

Z równania liniowego wyznacz jedną niewiadomą.
Wstaw do równania kwadratowego: dostajesz równanie kwadratowe z jedną niewiadomą.
Rozwiąż je i dla każdego pierwiastka wylicz drugą niewiadomą z równania liniowego.
Zapisz rozwiązania jako pary.

$\Delta > 0$ : dwie pary, $\Delta = 0$ : jedna (prosta styczna), $\Delta < 0$ : brak.

Przykład 1.1 Punkt na prostej w danej odległości

Punkt $C$ leży na prostej $y = 2x - 1$ i jest odległy od punktu $A = (1,\,1)$ o $\sqrt{20}$ . Wyznacz współrzędne $C$ .

$C = (x,\,2x - 1)$ ; $\ |AC|^2 = (x - 1)^2 + (2x - 2)^2 = 20$ .
$5(x - 1)^2 = 20$ , czyli $(x - 1)^2 = 4$ , $x = 3$ albo $x = -1$ .

Wynik: $C = (3,\,5)$ albo $C = (-1,\,-3)$ .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 8 min

Rozwiąż układ $\begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$
Odpowiedź
1. $x = y + 1$ : $(y + 1)^2 + y^2 = 13$ , $2y^2 + 2y - 12 = 0$ .
2. $y = 2$ albo $y = -3$ .
3. $(3,\,2)$ , $(-2,\,-3)$ .
Dla jakich $k$ prosta $y = k$ ma z parabolą $y = x^2 - 4x + 1$ dokładnie jeden punkt wspólny?
Odpowiedź
1. $x^2 - 4x + 1 - k = 0$ , $\Delta = 16 - 4(1 - k) = 12 + 4k = 0$ .
2. $k = -3$ (wierzchołek paraboli).

2 Układy symetryczne: suma i iloczyn

Gdy dane są $u + v$ i $u^2 + v^2$

$uv = \dfrac{(u + v)^2 - (u^2 + v^2)}{2}$ . Znając $s = u + v$ i $p = uv$ , liczby $u$ , $v$ są pierwiastkami $t^2 - st + p = 0$ (wzory Viète'a odwrotnie, lekcja 3.6 Wzory Viète'a i równania z parametrem).

Przykład 2.1 Wyrazy ciągu

W ciągu geometrycznym $a_1 + a_3 = 15$ i $a_1^2 + a_3^2 = 153$ . Wyznacz $a_1$ i $a_3$ .

$a_1 a_3 = \dfrac{225 - 153}{2} = 36$ .
$t^2 - 15t + 36 = 0$ : $t = 3$ albo $t = 12$ .

Wynik: $(a_1,\,a_3) = (3,\,12)$ albo $(12,\,3)$ . W obu przypadkach $a_2^2 = a_1a_3 = 36$ ; dalsza część zadania zwykle rozróżnia te przypadki.

Zadania · część 2

1 zadanie · ok. 5 min

Rozwiąż układ $\begin{cases} x + y = 7 \\ xy = 10 \end{cases}$

Odpowiedź
$t^2 - 7t + 10 = 0$ : $t = 2$ albo $5$ . Pary $(2,\,5)$ i $(5,\,2)$ .

3 Dwa okręgi: odejmowanie równań

Punkty wspólne dwóch okręgów

Po rozwinięciu oba równania mają ten sam fragment $x^2 + y^2$ . Odejmując je stronami, dostajesz równanie liniowe (prostą przez punkty wspólne). Dalej jak w sekcji 1: podstawienie do jednego z okręgów.

Przykład 3.1 Odejmowanie

Wyznacz punkty wspólne okręgów $x^2 + y^2 = 10$ i $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 2$ .

Drugie po rozwinięciu: $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 6 = 0$ . Odejmujemy od pierwszego ( $x^2 + y^2 - 10 = 0$ ): $4x + 4y - 16 = 0$ , czyli $y = 4 - x$ .
$x^2 + (4 - x)^2 = 10$ : $2x^2 - 8x + 6 = 0$ , $x = 1$ albo $x = 3$ .

Wynik: $(1,\,3)$ i $(3,\,1)$ .

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 10 min

Wyznacz punkty wspólne okręgu $x^2 + y^2 = 5$ i okręgu $x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$ .
Odpowiedź
1. Odejmujemy: $-6x + 5 = -5$ , $x = \tfrac53$ .
2. $y^2 = 5 - \tfrac{25}{9} = \tfrac{20}{9}$ , $y = \pm\tfrac{2\sqrt5}{3}$ .
3. $\left(\tfrac53,\,\pm\tfrac{2\sqrt5}{3}\right)$ .
Wyznacz punkty wspólne paraboli $y = x^2 - 2$ i prostej $y = x$ ; oblicz długość odcinka między nimi.
Odpowiedź
1. $x^2 - x - 2 = 0$ : $x = 2$ albo $x = -1$ .
2. Punkty $(2,\,2)$ i $(-1,\,-1)$ .
3. Długość $\sqrt{9 + 9} = 3\sqrt2$ .

4 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 17 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · podstawianie

Zestawy A

Rozwiąż układ.
1. $y = x + 2$ , $\ x^2 + y^2 = 10$
2. $y = x^2 - 3$ , $\ y = 2x$
Odpowiedzi
a) $(1,\,3)$ , $(-3,\,-1)$ b) $(3,\,6)$ , $(-1,\,-2)$

Poziom B · liczba rozwiązań

Zestawy B

Podaj liczbę punktów wspólnych (albo parametr).
1. $x^2 + y^2 = 4$ i $y = x + 3$
Odpowiedzi
a) $0$

Poziom C · okręgi i ciągi

Zestawy C

Oblicz.
1. punkty wspólne $x^2 + y^2 = 25$ i $x^2 + y^2 - 8x = 9$
2. $a_1 + a_3 = 10$ , $a_1^2 + a_3^2 = 68$ (ciąg geometryczny, wyrazy dodatnie); $\ a_2$
Odpowiedzi
a) $(2,\,\pm\sqrt{21})$ b) $4$

Pełny trening (17 przykładów i zadań) →

5 Na maturze

Informator CKE dla poziomu rozszerzonego w dziale IV cytuje tylko układy liniowe, a w arkuszach 2024–2026 nie było osobnego zadania z układem nieliniowym. Takie układy były jednak etapem zadań z ciągów (maj 2025: $a_1 + a_3$ i $a_1^2 + a_3^2$ ; średnio 46% punktów) i z geometrii analitycznej (maj 2025: punkty wspólne dwóch okręgów; 23%; próbny arkusz z grudnia 2024: punkt na prostej w danej odległości). W kluczu punkt przyznaje się zwykle za równanie z jedną niewiadomą po podstawieniu. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

3 zadania · 11 pkt · ok. 35 min

(0–4 pkt) Punkt $C$ leży na prostej $y = -x + 4$ , a jego odległość od punktu $A = (2,\,5)$ jest równa $\sqrt{13}$ . Wyznacz współrzędne punktu $C$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Parametryzacja. $C = (x,\,4 - x)$ .
2. Równanie. $(x - 2)^2 + (-1 - x)^2 = 13$ , czyli $2x^2 - 2x + 5 = 13$ , $x^2 - x - 4 = 0$ .
3. Pierwiastki. $x = \dfrac{1 \mp \sqrt{17}}{2}$ .
4. Punkty. $C = \left(\frac{1 - \sqrt{17}}{2},\,\frac{7 + \sqrt{17}}{2}\right)$ albo $C = \left(\frac{1 + \sqrt{17}}{2},\,\frac{7 - \sqrt{17}}{2}\right)$ .
1 pkt za zapis $C$ zależnie od jednej zmiennej. 2 pkt za równanie $(x - 2)^2 + (x + 1)^2 = 13$ . 3 pkt za rozwiązania $x$ . 4 pkt za oba punkty.
(0–4 pkt) Okręgi $x^2 + y^2 - 2x - 8 = 0$ i $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 4 = 0$ przecinają się w punktach $A$ i $B$ . Wyznacz współrzędne tych punktów i długość odcinka $AB$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Odejmowanie. $(-2x - 8) - (4x - 6y + 4) = 0$ , czyli $-6x + 6y - 12 = 0$ , $y = x + 2$ .
2. Podstawienie. $x^2 + (x + 2)^2 - 2x - 8 = 0$ : $2x^2 + 2x - 4 = 0$ , $x = 1$ albo $x = -2$ .
3. Punkty. $A = (1,\,3)$ , $B = (-2,\,0)$ .
4. Długość. $|AB| = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt2$ .
1 pkt za równanie prostej $AB$ (albo inne równanie z jedną niewiadomą). 2 pkt za równanie kwadratowe w $x$ . 3 pkt za punkty $A$ , $B$ . 4 pkt za $3\sqrt2$ .
(0–3 pkt) Pierwszy i trzeci wyraz ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich spełniają $a_1 + a_3 = 26$ oraz $a_1^2 + a_3^2 = 388$ . Wyznacz $a_2$ i wszystkie możliwe ilorazy $q$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Iloczyn. $a_1a_3 = \frac{676 - 388}{2} = 144$ , więc $a_2 = 12$ (wyrazy dodatnie).
2. Pary. $t^2 - 26t + 144 = 0$ : $t = 8$ albo $t = 18$ .
3. Iloraz. $(a_1, a_3) = (8, 18)$ : $q = \frac{12}{8} = \frac32$ ; $\ (18, 8)$ : $q = \frac23$ .
1 pkt za $a_1a_3 = 144$ (albo układ z jedną niewiadomą). 2 pkt za obie pary. 3 pkt za $a_2 = 12$ i $q \in \{\frac32,\,\frac23\}$ .

6 Najczęstsze błędy

„ $x = 3$ albo $x = -4$ , koniec.”: Rozwiązaniem układu są pary. Dla każdego $x$ trzeba wyliczyć $y$ .
„ $y$ liczę z równania kwadratowego: $y^2 = \dots$ , więc $y = \pm\dots$ .”: Wtedy pojawiają się pary, które nie spełniają równania liniowego. Drugą niewiadomą licz z równania liniowego.
„Zgadłem $(2,\,5)$ i się zgadza.”: Zgadnięcie bez wykazania, że innych rozwiązań nie ma, to w kluczu co najwyżej 1 punkt.
„Przy odejmowaniu okręgów znika $x^2 + y^2$ , więc znikają też wyrazy liniowe.”: Znikają tylko kwadraty. Wyrazy liniowe zostają i dają równanie prostej.

7 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Ile rozwiązań może mieć układ prostej i okręgu?

$0$ , $1$ albo $2$ .

2 Jak obliczyć

uv

, znając

u + v

u^2 + v^2

$uv = \frac{(u + v)^2 - (u^2 + v^2)}{2}$ .

3 Co daje odjęcie równań dwóch okręgów?

Równanie prostej przez ich punkty wspólne.

4 Kiedy prosta jest styczna do okręgu?

Gdy równanie po podstawieniu ma $\Delta = 0$ (odległość środka od prostej równa promieniowi).

8 Karta wzorów i co dalej

Metoda

liniowe → podstaw do kwadratowego

dwa okręgi → odejmij, potem podstaw

rozwiązanie = pary

Symetryczne

$uv = \frac{(u + v)^2 - (u^2 + v^2)}{2}$

$u$ , $v$ : pierwiastki $t^2 - st + p$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” jest równanie okręgu i wzór na odległość punktu od prostej; metody rozwiązywania układów broszura nie podaje.

Dalej: ciągi (lekcja 6.1 Ciągi: wzór ogólny, rekurencja, monotoniczność) i geometria analityczna (8.1 Okrąg: cięciwy, styczne, kąty wpisane i środkowe, wycinek koła).