9.3 Prosta i okrąg, dwa okręgi, styczna i prosta prostopadła

0 Odległość zamiast układu

Czy prosta przecina okrąg, można sprawdzić układem równań i wyróżnikiem. Szybciej jest porównać odległość $d$ środka okręgu od prostej z promieniem $r$ : $d < r$ to dwa punkty wspólne, $d = r$ to styczność, $d > r$ to brak punktów wspólnych. Tak samo dla dwóch okręgów: porównuje się odległość środków z sumą i różnicą promieni. Zamiast rozwiązywać równanie kwadratowe z parametrem, dostaje się jedno równanie z wartością bezwzględną.

1 Odległość punktu od prostej

Wzór (w broszurze CKE)

d\big(P,\ Ax + By + C = 0\big) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \qquad P = (x_0, y_0).

Prosta jest styczna do okręgu o środku $S$ i promieniu $r$ $\iff$ $d(S, \text{prosta}) = r$ .
Cięciwa wycięta z okręgu przez prostą w odległości $d < r$ od środka ma długość $2\sqrt{r^2 - d^2}$ .
Przed użyciem wzoru prostą trzeba zapisać w postaci ogólnej.

Przykład 1.1 Odległość

Oblicz odległość punktu $P = (3, -1)$ od prostej $4x - 3y + 5 = 0$ .

$d = \frac{|4\cdot3 - 3\cdot(-1) + 5|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{20}{5}$ .

Wynik: $d = 4$ .

Przykład 1.2 Styczna z parametrem

Dla jakich $m$ prosta $y = x + m$ jest styczna do okręgu $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 8$ ?

Postać ogólna: $x - y + m = 0$ ; środek $S = (1, 2)$ , $r = 2\sqrt2$ .
$\frac{|1 - 2 + m|}{\sqrt2} = 2\sqrt2$ , czyli $|m - 1| = 4$ .

Wynik: $m = 5$ albo $m = -3$ (dwie styczne równoległe).

Przykład 1.3 Długość cięciwy

Oblicz długość cięciwy, którą prosta $3x + 4y - 15 = 0$ wycina z okręgu $x^2 + y^2 = 25$ .

$d = \frac{|-15|}{5} = 3$ .
Połowa cięciwy: $\sqrt{25 - 9} = 4$ .

Wynik: $8$ .

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 6 min

Oblicz odległość początku układu od prostej $5x + 12y - 26 = 0$ .

Odpowiedź
$\frac{26}{13} = 2$ .
Dla jakich $k$ prosta $y = kx$ jest styczna do okręgu $(x - 5)^2 + y^2 = 9$ ?

Odpowiedź
$kx - y = 0$ : $\ \frac{|5k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 3$ , $\ 25k^2 = 9k^2 + 9$ , $\ k = \pm\frac34$ .

2 Styczna i symetralna

Dwa fakty, które zastępują rachunek

Styczna w punkcie $A$ okręgu jest prostopadła do promienia $SA$ . Wektor $\overrightarrow{SA} = [p, q]$ daje od razu postać ogólną stycznej: $p(x - x_A) + q(y - y_A) = 0$ .
Symetralna odcinka $AB$ to zbiór punktów równo odległych od $A$ i $B$ : prosta prostopadła do $AB$ przez jego środek. Środek okręgu przez $A$ i $B$ leży na symetralnej $AB$ ; wierzchołek trójkąta równoramiennego o podstawie $AB$ też.

Przykład 2.1 Styczna w punkcie

Wyznacz równanie stycznej do okręgu $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$ w punkcie $A = (5, 3)$ .

Sprawdzenie: $9 + 16 = 25$ , więc $A$ leży na okręgu.
$\overrightarrow{SA} = [3, 4]$ : styczna $3(x - 5) + 4(y - 3) = 0$ .

Wynik: $3x + 4y - 27 = 0$ .

Przykład 2.2 Punkt równo odległy

Na prostej $y = x$ znajdź punkt $C$ równo odległy od $A = (1, 2)$ i $B = (5, -6)$ .

Środek $AB$ : $(3, -2)$ ; $\ a_{AB} = \frac{-8}{4} = -2$ , więc symetralna ma $a = \frac12$ : $\ y = \frac12x - \frac72$ .
Przecięcie z $y = x$ : $x = \frac12x - \frac72$ , $\ x = -7$ .

Wynik: $C = (-7, -7)$ . Kontrola: $|AC|^2 = 64 + 81 = 145 = 144 + 1 = |BC|^2$ ✓.

Zadania · część 2

1 zadanie · ok. 2 min

Wyznacz równanie stycznej do okręgu $x^2 + y^2 = 10$ w punkcie $(1, 3)$ .

Odpowiedź
$\overrightarrow{SA} = [1, 3]$ : $\ (x - 1) + 3(y - 3) = 0$ , czyli $x + 3y = 10$ .

3 Dwa okręgi

Położenie (odległość środków $d$ , promienie $r_1 \ge r_2$ )

$d > r_1 + r_2$ : rozłączne zewnętrznie; $\ d = r_1 + r_2$ : styczne zewnętrznie;
$r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$ : przecinają się w dwóch punktach;
$d = r_1 - r_2 > 0$ : styczne wewnętrznie; $\ d < r_1 - r_2$ : jeden wewnątrz drugiego.

Gdy okręgi się przecinają, odjęcie ich równań daje prostą przez oba punkty wspólne (lekcja 4.2 Układy równań z równaniem kwadratowym).

Zadania · część 3

1 zadanie · ok. 2 min

Określ położenie okręgów $x^2 + y^2 = 4$ i $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 9$ .

Odpowiedź
$d = 5 = 2 + 3$ : styczne zewnętrznie.

4 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 15 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · odległości

Zestawy A

Oblicz odległość.
1. $(1, 2)$ od $3x - 4y + 10 = 0$
2. między prostymi $y = 2x + 1$ i $y = 2x + 6$
Odpowiedzi
a) $1$ b) $\sqrt5$

Poziom B · położenie

Zestawy B

Określ położenie.
1. $y = x + 4$ i $x^2 + y^2 = 8$
2. $x^2 + y^2 = 16$ i $(x - 1)^2 + y^2 = 1$
Odpowiedzi
a) styczne ( $d = 2\sqrt2 = r$ ) b) jeden wewnątrz drugiego ( $1 < 3$ )

Poziom C · styczne i symetralne

Zestawy C

Wyznacz.
1. styczna do $x^2 + y^2 = 25$ w punkcie $(3, 4)$
Odpowiedzi
a) $3x + 4y = 25$

Pełny trening (15 przykładów i zadań) →

5 Na maturze

W arkuszach rozszerzonych 2024–2026 ta lekcja daje jedno duże zadanie otwarte w sesji. Schemat oceniania przyznaje punkty za kolejne obiekty: współczynnik kierunkowy, symetralna albo prosta wspólna dwóch okręgów, równanie z jedną niewiadomą, wynik. Stałe uwagi z kluczy: odwrócony stosunek podziału odcinka albo błędnie wybrany punkt ogranicza wynik; założenie prostopadłości bez uzasadnienia daje co najwyżej 2 punkty; punkt podany bez sprawdzenia rachunkiem nie dostaje punktów. Jeśli treść mówi „rozważ wszystkie przypadki”, trzeba podać wszystkie rozwiązania. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

4 zadania · 14 pkt · ok. 45 min

(0–4 pkt) Środek okręgu leży na prostej $y = 2x$ , okrąg jest styczny do osi $Ox$ i przechodzi przez punkt $A = (3, 2)$ . Wyznacz równanie tego okręgu. Rozważ wszystkie przypadki.
Rozwiązanie i punktacja
1. Środek i promień. $S = (a, 2a)$ ; styczność z $Ox$ : $r = |2a|$ .
2. Warunek. $|SA| = r$ : $\ (3 - a)^2 + (2 - 2a)^2 = 4a^2$ .
3. Równanie. $a^2 - 14a + 13 = 0$ : $\ a = 1$ albo $a = 13$ .
4. Wynik. $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$ albo $(x - 13)^2 + (y - 26)^2 = 676$ .
1 pkt za $S = (a, 2a)$ i $r = |2a|$ . 2 pkt za równanie z niewiadomą $a$ . 3 pkt za $a \in \{1, 13\}$ . 4 pkt za oba równania.
(0–4 pkt) Dane są punkty $A = (-2, 1)$ i $B = (4, 5)$ . Punkt $C$ leży na prostej $x + y - 1 = 0$ , a trójkąt $ABC$ jest równoramienny o podstawie $AB$ . Oblicz współrzędne $C$ i pole trójkąta $ABC$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Symetralna $AB$ . środek $M = (1, 3)$ , $a_{AB} = \frac{4}{6} = \frac23$ , więc $y = -\frac32x + \frac92$ .
2. Punkt $C$ . z $x + y = 1$ : $\ x - \frac32x + \frac92 = 1$ , $\ x = 7$ , $\ C = (7, -6)$ .
3. Pole. $|AB| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ , $\ |MC| = \sqrt{36 + 81} = 3\sqrt{13}$ , $\ P = \frac12\cdot2\sqrt{13}\cdot3\sqrt{13} = 39$ .
1 pkt za środek $AB$ i współczynnik symetralnej. 2 pkt za równanie symetralnej. 3 pkt za $C$ . 4 pkt za pole $39$ .
(0–3 pkt) Wyznacz równania stycznych do okręgu $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$ równoległych do prostej $y = 2x$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Szukane proste. $y = 2x + m$ , czyli $2x - y + m = 0$ .
2. Styczność. $\frac{|4 - 1 + m|}{\sqrt5} = \sqrt5$ , $\ |m + 3| = 5$ .
3. Wynik. $y = 2x + 2$ albo $y = 2x - 8$ .
1 pkt za postać $y = 2x + m$ . 2 pkt za równanie $|m + 3| = 5$ . 3 pkt za obie styczne.
(0–3 pkt) Oblicz długość cięciwy, którą prosta $x - y + 1 = 0$ wycina z okręgu $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 10$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Odległość środka. $d = \frac{|3 - 2 + 1|}{\sqrt2} = \sqrt2$ .
2. Połowa cięciwy. $\sqrt{10 - 2} = 2\sqrt2$ .
3. Wynik. $4\sqrt2$ .
1 pkt za $d = \sqrt2$ . 2 pkt za trójkąt prostokątny z $r$ , $d$ i połową cięciwy. 3 pkt za $4\sqrt2$ . Droga przez układ równań też jest akceptowana.

6 Najczęstsze błędy

„Odległość od prostej $y = 2x + 1$ : wstawiam $A = 2$ , $B = 1$ .”: Najpierw postać ogólna: $2x - y + 1 = 0$ , czyli $A = 2$ , $B = -1$ , $C = 1$ .
„Styczne do okręgu równoległe do danej prostej: jest jedna.”: Zawsze dwie, symetryczne względem środka okręgu. Równanie z wartością bezwzględną daje oba wyniki.
„Okręgi o $d < r_1 + r_2$ się przecinają.”: Tylko gdy dodatkowo $d > r_1 - r_2$ . Inaczej jeden okrąg leży wewnątrz drugiego albo są styczne wewnętrznie.
„Znalazłem jeden okrąg, koniec zadania.”: Równanie kwadratowe z parametrem zwykle ma dwa rozwiązania. Jeśli oba spełniają warunki zadania, trzeba podać oba.

7 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Prosta jest w odległości

3

od środka okręgu o promieniu

5

. Jak długa jest cięciwa?

$2\sqrt{25 - 9} = 8$ .

2 Gdzie leży środek okręgu przechodzącego przez

A

B

Na symetralnej odcinka $AB$ .

3 Okręgi o promieniach

7

3

, odległość środków

4

. Położenie?

$d = 7 - 3$ : styczne wewnętrznie.

4 Styczna do

x^2 + y^2 = 25

w punkcie

(-3, 4)

$-3x + 4y = 25$ .

8 Karta wzorów i co dalej

Prosta i okrąg

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

styczna: $d = r$ ; cięciwa $2\sqrt{r^2 - d^2}$

styczna w $A$ : $\overrightarrow{SA}$ jest jej wektorem normalnym

Dwa okręgi

$d$ vs $r_1 + r_2$ i $r_1 - r_2$

symetralna: punkty równo odległe od $A$ i $B$

odjęcie równań: prosta przez punkty wspólne

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” jest wzór na odległość punktu od prostej, równanie okręgu w obu postaciach i warunki prostopadłości prostych. Warunków położenia dwóch okręgów ani wzoru na długość cięciwy w tej postaci tam nie ma.

Dalej: wektory (lekcja 9.4 Wektory).