9.4 Wektory · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Przesunięcie zapisane liczbami

Wektor $\overrightarrow{AB}$ mówi, o ile trzeba przesunąć punkt $A$ , żeby trafić w $B$ : o $x_B - x_A$ w poziomie i o $y_B - y_A$ w pionie. Dwa wektory są równe, gdy opisują to samo przesunięcie, niezależnie od tego, gdzie się zaczynają. Dzięki temu warunek „ $ABCD$ jest równoległobokiem” to po prostu $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ , a zdanie „ $M$ leży na odcinku $AB$ dwa razy bliżej $B$ niż $A$ ” to $\overrightarrow{AM} = \frac23\overrightarrow{AB}$ .

1 Współrzędne, długość, działania

Wzory (w broszurze CKE)

\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A], \qquad |\vec u| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2},

\vec u + \vec v = [u_1 + v_1,\ u_2 + v_2], \qquad a\vec u = [au_1,\ au_2].

Koniec wektora: $B = A + \overrightarrow{AB}$ , czyli do współrzędnych $A$ dodaje się współrzędne wektora.

Przykład 1.1 Wektor i jego długość

Dane są $A = (1, -2)$ i $B = (4, 2)$ . Oblicz współrzędne i długość wektora $\overrightarrow{AB}$ .

$\overrightarrow{AB} = [4 - 1,\ 2 + 2] = [3, 4]$ .
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{9 + 16}$ .

Wynik: $[3, 4]$ , długość $5$ .

Przykład 1.2 Czwarty wierzchołek równoległoboku

Punkty $A = (-1, 1)$ , $B = (3, 2)$ , $C = (5, 6)$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$ . Wyznacz $D$ .

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = [2, 4]$ .
$D = A + [2, 4]$ .

Wynik: $D = (1, 5)$ . Kontrola: środki przekątnych $AC$ i $BD$ to oba $\left(2, \frac72\right)$ ✓.

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 4 min

Oblicz długość wektora $[-5, 12]$ .

Odpowiedź
$\sqrt{25 + 144} = 13$ .
$\vec u = [2, -1]$ , $\vec v = [-3, 4]$ . Oblicz $2\vec u - \vec v$ .

Odpowiedź
$[4 + 3,\ -2 - 4] = [7, -6]$ .
$A = (2, 1)$ , $\overrightarrow{AB} = [4, -3]$ . Wyznacz $B$ .

Odpowiedź
$B = (6, -2)$ .

2 Podział odcinka

Punkt dzielący odcinek

$\overrightarrow{AM} = t\cdot\overrightarrow{AB}$ $\iff$ $M = A + t(B - A)$ (współrzędna po współrzędnej). Dla $t \in [0, 1]$ punkt leży na odcinku.
$|AM| : |MB| = k : l$ (punkt na odcinku) $\iff$ $t = \frac{k}{k + l}$ , czyli $M = \frac{l\cdot A + k\cdot B}{k + l}$ .
Środek ciężkości trójkąta: $\frac{A + B + C}{3}$ .

Zapis typu $\overrightarrow{AM} = -2\overrightarrow{BM}$ rozwiązuje się jak równanie: $M - A = -2(M - B)$ , więc $3M = A + 2B$ .

Przykład 2.1 Stosunek z warunku wektorowego

$A = (1, -4)$ , $B = (7, 2)$ , $\overrightarrow{AM} = -2\overrightarrow{BM}$ . Wyznacz $M$ i stosunek $|AM| : |MB|$ .

$M - A = -2M + 2B$ , czyli $M = \frac{A + 2B}{3} = \left(\frac{1 + 14}{3}, \frac{-4 + 4}{3}\right)$ .
$M = A + \frac23(B - A)$ : punkt leży na odcinku, dwa razy dalej od $A$ niż od $B$ .

Wynik: $M = (5, 0)$ , $\ |AM| : |MB| = 2 : 1$ .

Zadania · część 2

1 zadanie · ok. 2 min

Punkt $M$ dzieli odcinek o końcach $A = (0, 0)$ i $B = (10, 5)$ w stosunku $|AM| : |MB| = 3 : 2$ . Wyznacz $M$ .

Odpowiedź
$t = \frac35$ : $\ M = \frac35\cdot(10, 5) = (6, 3)$ .

3 Równoległość i pole

Wyznacznik pary wektorów

Dla $\vec u = [u_1, u_2]$ i $\vec v = [v_1, v_2]$ liczba $d(\vec u, \vec v) = u_1v_2 - u_2v_1$ mówi dwie rzeczy:

$d = 0$ $\iff$ wektory są równoległe (to ten sam warunek co $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$ dla prostych w lekcji 9.1 Prosta na płaszczyźnie);
$|d|$ to pole równoległoboku rozpiętego na $\vec u$ i $\vec v$ , a $\frac12|d|$ pole trójkąta.

W broszurze CKE jest wersja dla trójkąta o wierzchołkach $A$ , $B$ , $C$ : $P = \frac12\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\right|$ , czyli właśnie $\frac12|d(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})|$ . Jest tam też wzór na środek ciężkości trójkąta.

Przykład 3.1 Pole z wektorów

Oblicz pole równoległoboku rozpiętego na wektorach $\vec u = [4, 1]$ i $\vec v = [2, 3]$ .

$d = 4\cdot3 - 1\cdot2 = 10$ .

Wynik: pole $10$ .

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 3 min

Dla jakiego $m$ wektory $[m, 2]$ i $[3, 6]$ są równoległe?

Odpowiedź
$6m - 6 = 0$ , $\ m = 1$ .
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $(0, 0)$ , $(4, 1)$ , $(1, 3)$ .

Odpowiedź
$\frac12|4\cdot3 - 1\cdot1| = \frac{11}{2}$ .

4 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 15 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · działania

Zestawy A

Oblicz.
1. $\overrightarrow{AB}$ i $|\overrightarrow{AB}|$ dla $A = (2, 5)$ , $B = (-1, 1)$
2. $3\vec u - 2\vec v$ dla $\vec u = [1, 2]$ , $\vec v = [3, -5]$
Odpowiedzi
a) $[-3, -4]$ , $5$ b) $[-3, 16]$

Poziom B · punkty

Zestawy B

Wyznacz punkt.
1. $B$ , gdy $A = (1, 1)$ i $\overrightarrow{AB} = [2, 7]$
2. $M$ na $AB$ , $|AM| : |MB| = 1 : 3$ , $A = (0, 0)$ , $B = (8, 4)$
Odpowiedzi
a) $(3, 8)$ b) $(2, 1)$

Poziom C · równoległość i pole

Zestawy C

Oblicz.
1. $m$ , dla którego $[2, 3] \parallel [m, 9]$
2. pole trójkąta $(1, 1)$ , $(5, 2)$ , $(2, 4)$
Odpowiedzi
a) $6$ b) $\tfrac{11}{2}$

Pełny trening (15 przykładów i zadań) →

5 Na maturze

W puli CKE z lat 2024–2026 są trzy zadania z wektorami, każde za 4–5 punktów i zawsze razem z okręgiem albo trójkątem: punkt dzielący odcinek w danym stosunku, równoległobok z danych wektorów. Osobny punkt w kluczu przyznaje się za zapis współrzędnych punktu przez współrzędne końców odcinka (np. $x_M = \frac13x_A + \frac23x_B$ ). Odwrócenie stosunku (np. $4 : 1$ zamiast $1 : 4$ ) ograniczało wynik. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

3 zadania · 11 pkt · ok. 30 min

(0–4 pkt) Równoległobok $ABCD$ ma wierzchołek $A = (-2, -1)$ , a $\overrightarrow{AB} = [6, 2]$ i $\overrightarrow{AD} = [1, 4]$ . Wyznacz współrzędne wierzchołków $C$ i $D$ , pole równoległoboku i długość przekątnej $AC$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Wierzchołki. $D = A + \overrightarrow{AD} = (-1, 3)$ ; $\ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = [7, 6]$ , $\ C = (5, 5)$ .
2. Pole. $|6\cdot4 - 2\cdot1| = 22$ .
3. Przekątna. $|AC| = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85}$ .
1 pkt za $D$ . 2 pkt za $C$ . 3 pkt za pole $22$ (dowolną poprawną metodą). 4 pkt za $\sqrt{85}$ .
(0–4 pkt) Dane są punkty $A = (-1, 3)$ i $B = (5, -3)$ . Punkt $M$ spełnia warunek $\overrightarrow{AM} = \frac23\overrightarrow{AB}$ . Okrąg o środku $M$ jest styczny do prostej $y = x + 6$ . Wyznacz równanie tego okręgu.
Rozwiązanie i punktacja
1. Punkt $M$ . $M = A + \frac23[6, -6] = (-1 + 4,\ 3 - 4) = (3, -1)$ .
2. Promień. prosta $x - y + 6 = 0$ : $\ r = \frac{|3 + 1 + 6|}{\sqrt2} = \frac{10}{\sqrt2} = 5\sqrt2$ .
3. Równanie. $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 50$ .
1 pkt za zapis $x_M = x_A + \frac23(x_B - x_A)$ (i analogicznie $y_M$ ). 2 pkt za $M = (3, -1)$ . 3 pkt za $r = 5\sqrt2$ . 4 pkt za równanie.
(0–3 pkt) Wyznacz wszystkie wartości $m$ , dla których wektory $\vec u = [m - 1, 3]$ i $\vec v = [2, m + 4]$ są równoległe.
Rozwiązanie i punktacja
1. Warunek. $(m - 1)(m + 4) - 3\cdot2 = 0$ .
2. Równanie. $m^2 + 3m - 10 = 0$ .
3. Wynik. $m = 2$ albo $m = -5$ .
1 pkt za warunek równoległości. 2 pkt za równanie kwadratowe. 3 pkt za oba rozwiązania.

6 Najczęstsze błędy

„ $\overrightarrow{AB} = [x_A - x_B,\ y_A - y_B]$ .”: Od końca odejmuje się początek: $[x_B - x_A,\ y_B - y_A]$ . Odwrócenie daje wektor przeciwny.
„ $|AM| : |MB| = 2 : 1$ , więc $M = A + \frac12\overrightarrow{AB}$ .”: Stosunek $2 : 1$ oznacza, że $|AM|$ to $\frac{2}{3}$ odcinka: $M = A + \frac23\overrightarrow{AB}$ .
„Czwarty wierzchołek równoległoboku $ABCD$ : $D = B + \overrightarrow{AC}$ .”: Dla kolejnych wierzchołków $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ , czyli $D = A + C - B$ .
„Pole równoległoboku to $u_1v_2 - u_2v_1$ .”: Wartość bezwzględna tej liczby. Znak zależy tylko od kolejności wektorów.

7 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Wektor od

(3, 7)

(1, 2)

$[-2, -5]$ .

2 Czy wektory

[2, -6]

[-1, 3]

są równoległe?

Tak: $2\cdot3 - (-6)(-1) = 0$ (drugi to $-\frac12$ pierwszego).

3 Środek ciężkości trójkąta

(0,0)

(3,0)

(0,6)

$(1, 2)$ .

4 Ile wynosi

|t\vec u|

dla

t = -3

|\vec u| = 2

$6$ .

8 Karta wzorów i co dalej

Działania

$\overrightarrow{AB} = B - A$ , $\ |\vec u| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$

równoległobok: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

Podział i pole

$\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}$ : $M = A + t(B - A)$

$k : l$ : $M = \frac{lA + kB}{k + l}$

pole: $|u_1v_2 - u_2v_1|$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są współrzędne wektora, jego długość, dodawanie wektorów, mnożenie przez liczbę i przesunięcie o wektor. Są też wzór na pole trójkąta przez współrzędne wierzchołków i współrzędne środka ciężkości trójkąta. Wzoru na punkt dzielący odcinek w danym stosunku nie ma.

Dalej: stereometria (lekcja 10.1 Proste, płaszczyzny i kąty w przestrzeni).