Trening: 9.4 Wektory · Matematyka i fizyka od podstaw

Poziom A · działania

Zestawy A

1 zestaw

Oblicz.
1. $\overrightarrow{AB}$ i $|\overrightarrow{AB}|$ dla $A = (2, 5)$ , $B = (-1, 1)$
2. $|[8, -6]|$
3. $[1, 2] + [3, -5]$
4. $3\vec u - 2\vec v$ dla $\vec u = [1, 2]$ , $\vec v = [3, -5]$
Odpowiedzi
a) $[-3, -4]$ , $5$ b) $10$ c) $[4, -3]$ d) $[-3, 16]$

Poziom B · punkty

Zestawy B

1 zestaw

Wyznacz punkt.
1. $B$ , gdy $A = (1, 1)$ i $\overrightarrow{AB} = [2, 7]$
2. $C$ w równoległoboku $ABCD$ : $A = (0, 0)$ , $B = (5, 1)$ , $D = (2, 3)$
3. środek ciężkości trójkąta $(0, 0)$ , $(6, 0)$ , $(3, 9)$
4. $M$ na $AB$ , $|AM| : |MB| = 1 : 3$ , $A = (0, 0)$ , $B = (8, 4)$
Odpowiedzi
a) $(3, 8)$ b) $(7, 4)$ c) $(3, 3)$ d) $(2, 1)$

Poziom C · równoległość i pole

Zestawy C

1 zestaw

Oblicz.
1. $m$ , dla którego $[2, 3] \parallel [m, 9]$
2. $k$ , dla którego $[4, k] \parallel [2, -1]$
3. pole równoległoboku rozpiętego na $[3, 1]$ i $[1, 2]$
4. pole trójkąta $(1, 1)$ , $(5, 2)$ , $(2, 4)$
Odpowiedzi
a) $6$ b) $-2$ c) $5$ d) $\tfrac{11}{2}$

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu rozszerzonym CKE: krótkie zadania otwarte i dowód.

Zadania w stylu arkusza

3 zadania · 8 pkt

(0–3 pkt) Dane są punkty $A = (2, -1)$ i $B = (8, 5)$ . Punkt $P$ spełnia warunek $\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{PB}$ . Wyznacz współrzędne $P$ i długość odcinka $AP$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Równanie. $P - A = 2(B - P)$ , czyli $P = \frac{A + 2B}{3}$ .
2. Współrzędne. $P = \left(\frac{2 + 16}{3}, \frac{-1 + 10}{3}\right) = (6, 3)$ .
3. Długość. $|AP| = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt2$ .
1 pkt za zapis współrzędnych $P$ przez współrzędne $A$ i $B$ . 2 pkt za $P = (6, 3)$ . 3 pkt za $4\sqrt2$ .
(0–3 pkt) Trójkąt ma wierzchołki $A = (0, 0)$ , $B = (6, 2)$ , $C = (2, 5)$ . Oblicz jego pole i współrzędne środka ciężkości.
Rozwiązanie i punktacja
1. Wektory. $\overrightarrow{AB} = [6, 2]$ , $\overrightarrow{AC} = [2, 5]$ .
2. Pole. $\frac12|6\cdot5 - 2\cdot2| = 13$ .
3. Środek ciężkości. $\left(\frac83, \frac73\right)$ .
1 pkt za wektory albo inną poprawną metodę pola. 2 pkt za pole $13$ . 3 pkt za środek ciężkości.
(0–2 pkt) Wykaż, że czworokąt o kolejnych wierzchołkach $A = (0, 0)$ , $B = (4, 1)$ , $C = (6, 5)$ , $D = (2, 4)$ jest równoległobokiem.
Rozwiązanie i punktacja
1. Wektory. $\overrightarrow{AB} = [4, 1]$ , $\ \overrightarrow{DC} = [6 - 2,\ 5 - 4] = [4, 1]$ .
2. Wniosek. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ , więc boki $AB$ i $DC$ są równoległe i równej długości: $ABCD$ jest równoległobokiem.
1 pkt za obliczenie obu wektorów. 2 pkt za wniosek.