Trening: prosta i okrąg, dwa okręgi, styczne

a) $1$   b) $2\sqrt2$   c) $0$ (punkt leży na prostej)   d) $\sqrt5$

a) styczne ($d = 2\sqrt2 = r$)   b) styczne ($d = 2$)   c) rozłączne ($d = 5 > 4$)   d) rozłączne zewnętrznie ($5 > 4$)   e) jeden wewnątrz drugiego ($1 < 3$)

a) $3x + 4y = 25$   b) $y = -2x + 5$   c) $y = 2$ i $y = -2$

1. Prosta przez $P$. $x = 5$ nie jest styczna ($d = 5 \ne \sqrt5$); pozostałe: $y = k(x - 5)$, czyli $kx - y - 5k = 0$.
2. Styczność. $\frac{|-5k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \sqrt5$, $\ 25k^2 = 5k^2 + 5$.
3. Współczynniki. $k^2 = \frac14$, $\ k = \pm\frac12$.
4. Wynik. $y = \frac12x - \frac52$ albo $y = -\frac12x + \frac52$.

1 pkt za postać prostej przez $P$ (z rozpatrzeniem prostej pionowej). 2 pkt za równanie z $k$. 3 pkt za $k = \pm\frac12$. 4 pkt za obie styczne.

1. Odległość środków. $d = |a|$, promienie $3$ i $1$.
2. Styczność zewnętrzna. $|a| = 4$; $\$ wewnętrzna: $|a| = 2$.
3. Wynik. $a \in \{-4, -2, 2, 4\}$.

1 pkt za $d = |a|$. 2 pkt za jeden rodzaj styczności. 3 pkt za oba.

1. Symetralna. środek $AB$: $(3, 3)$; $a_{AB} = -1$, więc symetralna $y = x$.
2. Przecięcie z $Oy$. $x = 0$: $\ C = (0, 0)$.
3. Kontrola. $|CA|^2 = 26 = |CB|^2$ ✓.

1 pkt za środek $AB$ i współczynnik symetralnej (albo za równanie $|CA| = |CB|$). 2 pkt za symetralną albo równanie z jedną niewiadomą. 3 pkt za $C = (0, 0)$.