9.2 Odległość, równanie okręgu i symetrie · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych

Odcinek między punktami $A$ i $B$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długości $|x_B - x_A|$ i $|y_B - y_A|$ . Stąd wzór na odległość. Okrąg o środku $S$ i promieniu $r$ to zbiór punktów odległych od $S$ dokładnie o $r$ ; jego równanie to po prostu ten wzór podniesiony do kwadratu. Symetrie zmieniają znaki współrzędnych, więc obraz okręgu ma ten sam promień i środek w odbitym punkcie.

1 Odległość i środek odcinka

Wzory (w broszurze CKE)

|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}, \qquad S = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right).

Gdy znany jest środek $S$ i jeden koniec $A$ , drugi koniec to $B = (2x_S - x_A,\ 2y_S - y_A)$ .

Przykład 1.1 Długość i środek

Oblicz długość odcinka o końcach $A = (-1, 2)$ , $B = (5, -6)$ i współrzędne jego środka.

$|AB| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{100}$ .
$S = \left(\frac{-1 + 5}{2}, \frac{2 - 6}{2}\right)$ .

Wynik: $|AB| = 10$ , $\ S = (2, -2)$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 5 min

Oblicz odległość punktów $(2, 3)$ i $(5, 7)$ .

Odpowiedź
$\sqrt{9 + 16} = 5$ .
Punkty $A = (1, 1)$ i $B = (4, -3)$ są kolejnymi wierzchołkami kwadratu. Oblicz obwód i długość przekątnej kwadratu.

Odpowiedź
Bok $|AB| = \sqrt{9 + 16} = 5$ : obwód $20$ , przekątna $5\sqrt2$ .
Punkt $C = (x, 4)$ leży w odległości $5$ od punktu $A = (1, 0)$ . Oblicz $x$ .

Odpowiedź
$(x - 1)^2 + 16 = 25$ , $\ (x - 1)^2 = 9$ : $x = 4$ albo $x = -2$ .

2 Równanie okręgu

Postać kanoniczna (w broszurze CKE)

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \qquad \text{środek } S = (a, b), \text{ promień } r > 0.

W nawiasach są minusy: $(x + 3)^2$ oznacza $a = -3$ .
Po prawej stoi $r^2$ : dla $r^2 = 20$ promień to $2\sqrt5$ .
Okrąg przecina oś $Ox$ , gdy $|b| < r$ ; jest do niej styczny, gdy $|b| = r$ ; nie ma z nią punktów wspólnych, gdy $|b| > r$ . Dla osi $Oy$ porównuje się $|a|$ z $r$ .

Przykład 2.1 Środek i punkt okręgu

Wyznacz równanie okręgu o środku $S = (2, -1)$ przechodzącego przez punkt $P = (5, 3)$ .

$r = |SP| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ .

Wynik: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$ .

Przykład 2.2 Postać rozwinięta (poziom rozszerzony)

Wyznacz środek i promień okręgu $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ .

Uzupełnienie do kwadratów: $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ , $\ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$ .
$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 3 + 9 + 4 = 16$ .

Wynik: $S = (3, -2)$ , $\ r = 4$ . Na poziomie podstawowym równanie okręgu jest podawane w postaci kanonicznej.

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 6 min

Odcinek o końcach $A = (-1, 4)$ i $B = (5, -4)$ jest średnicą okręgu. Wyznacz równanie okręgu.

Odpowiedź
Środek $(2, 0)$ , promień $\frac12|AB| = \frac12\cdot10 = 5$ : $\ (x - 2)^2 + y^2 = 25$ .
Ile punktów wspólnych z każdą z osi ma okrąg $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 9$ ?

Odpowiedź
$S = (-3, 1)$ , $r = 3$ . Oś $Ox$ : $|b| = 1 < 3$ , dwa punkty. Oś $Oy$ : $|a| = 3 = r$ , jeden punkt (styczność).
Czy punkt $(0, 1)$ leży na okręgu $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 9$ ?

Odpowiedź
Tak: $9 + 0 = 9$ (to właśnie punkt styczności z osią $Oy$ ).

3 Symetrie

Obraz punktu $(x, y)$ (w broszurze CKE)

względem osi $Ox$ : $(x, -y)$ ;
względem osi $Oy$ : $(-x, y)$ ;
względem początku układu $O$ : $(-x, -y)$ ;
względem punktu $K = (p, q)$ : $(2p - x,\ 2q - y)$ ( $K$ jest środkiem odcinka między punktem a obrazem).

Obraz okręgu to okrąg o tym samym promieniu i środku w obrazie środka. Obraz prostej: w jej równaniu zamienia się $y$ na $-y$ (symetria względem $Ox$ ) albo $x$ na $-x$ (względem $Oy$ ).

Przykład 3.1 Obraz okręgu

Wyznacz równanie obrazu okręgu $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 5$ w symetrii względem osi $Oy$ .

Środek $(1, -4)$ przechodzi na $(-1, -4)$ ; promień bez zmian.

Wynik: $(x + 1)^2 + (y + 4)^2 = 5$ .

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 4 min

Podaj obraz punktu $P = (3, -5)$ w symetrii względem początku układu współrzędnych.

Odpowiedź
$(-3, 5)$ .
Podaj obraz punktu $P = (3, -5)$ w symetrii względem punktu $K = (1, 2)$ .

Odpowiedź
$(2\cdot1 - 3,\ 2\cdot2 + 5) = (-1, 9)$ .
Wyznacz równanie obrazu prostej $y = 2x + 3$ w symetrii względem osi $Ox$ .

Odpowiedź
$-y = 2x + 3$ , czyli $y = -2x - 3$ .

4 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 18 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · odcinki

Zestawy A

Oblicz.
1. $|AB|$ dla $(0, 0)$ i $(6, 8)$
2. $A = (2, -1)$ , środek $AB$ to $(5, 3)$ ; $\ B$
Odpowiedzi
a) $10$ b) $(8, 7)$

Poziom B · okręgi

Zestawy B

Podaj środek i promień albo równanie okręgu.
1. $(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 16$
2. średnica od $(0, 0)$ do $(6, 8)$
Odpowiedzi
a) $(3, -5)$ , $r = 4$ b) $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$

Poziom C · symetrie

Zestawy C

Podaj obraz.
1. $(-4, 7)$ względem $Ox$
2. okrąg $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 3$ względem $O$
Odpowiedzi
a) $(-4, -7)$ b) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 3$

Pełny trening (18 przykładów i zadań) →

5 Na maturze

W arkuszach podstawowych 2024–2026 ta lekcja daje kilka zadań zamkniętych w każdej sesji: równanie okręgu z danych (środek i punkt, średnica), obraz okręgu w symetrii, położenie okręgu względem osi, obwód kwadratu z dwóch wierzchołków. Dystraktory w odpowiedziach to prawie zawsze $r$ zamiast $r^2$ i zamienione znaki. W informatorze i próbnych arkuszach jest też zadanie otwarte za 4 punkty, które łączy kwadrat, symetrię i okrąg. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 8 pkt · ok. 20 min

(0–1 pkt) Okrąg o środku $S = (-2, 3)$ przechodzi przez początek układu współrzędnych. Równanie tego okręgu to

A. $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$ B. $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 13$ C. $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = \sqrt{13}$ D. $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = \sqrt{13}$

Odpowiedź
A. $r^2 = |SO|^2 = 4 + 9$ .
(0–1 pkt) Obrazem okręgu $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 7$ w symetrii względem osi $Ox$ jest okrąg

A. $(x + 4)^2 + (y + 1)^2 = 7$ B. $(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 7$ C. $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 7$ D. $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 49$

Odpowiedź
B. Środek $(4, -1) \to (4, 1)$ .
(0–1 pkt) Dany jest okrąg $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$ . Oceń prawdziwość zdań.

1. Okrąg nie ma punktów wspólnych z osią $Ox$ . P F
2. Okrąg jest styczny do osi $Oy$ . P F

Odpowiedź
PP. $r = 2$ ; odległość środka od $Ox$ to $3 > 2$ , od $Oy$ to $2 = r$ .
(0–1 pkt) Uzupełnij zdanie. Punkty $A = (-2, -1)$ i $C = (4, 7)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu. Bok tego kwadratu ma długość ______.

Odpowiedź
$5\sqrt2$ : przekątna $|AC| = 10$ , bok $\frac{10}{\sqrt2}$ .
(0–4 pkt) Punkty $A = (1, -2)$ i $C = (7, 6)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$ . Kwadrat $A'B'C'D'$ jest obrazem kwadratu $ABCD$ w symetrii względem osi $Ox$ . Wyznacz równanie okręgu wpisanego w kwadrat $A'B'C'D'$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Środek kwadratu. środek $AC$ : $S = (4, 2)$ .
2. Bok. $|AC| = \sqrt{36 + 64} = 10$ , bok $5\sqrt2$ , promień okręgu wpisanego $r = \frac{5\sqrt2}{2}$ , $\ r^2 = \frac{25}{2}$ .
3. Obraz. $S' = (4, -2)$ ; promień się nie zmienia.
4. Równanie. $(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = \frac{25}{2}$ .
1 pkt za $S$ albo $|AC|$ . 2 pkt za $S$ i $r$ . 3 pkt za $S'$ i $r$ . 4 pkt za równanie.

6 Najczęstsze błędy

„ $(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 9$ ma środek $(3, -1)$ .”: Środek ma współrzędne przeciwne do liczb w nawiasach: $(-3, 1)$ .
„Promień okręgu $(x - 2)^2 + y^2 = 20$ to $20$ .”: Po prawej jest $r^2$ : $r = \sqrt{20} = 2\sqrt5$ .
„Symetria względem osi $Ox$ zmienia znak $x$ .”: Zmienia znak $y$ : punkt odbija się w pionie, przez oś $Ox$ . Odległość od osi $Ox$ to $|y|$ .
„Obraz okręgu w symetrii ma inny promień.”: Symetria zachowuje odległości: promień jest ten sam, przesuwa się tylko środek.

7 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jaki jest środek i promień okręgu

x^2 + (y + 5)^2 = 3

$(0, -5)$ i $\sqrt3$ .

2 Obraz punktu

(-2, 6)

względem osi

Oy

$(2, 6)$ .

3 Okrąg o środku

(4, -3)

jest styczny do osi

Ox

. Ile wynosi promień?

$3$ .

4 Odległość punktu

(6, 8)

od początku układu?

$10$ .

8 Karta wzorów i co dalej

Odcinek i okrąg

$|AB| = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ ; środek: średnie

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

oś $Ox$ : porównaj $|b|$ z $r$ ; oś $Oy$ : $|a|$ z $r$

Symetrie

$Ox$ : $(x, -y)$ ; $\ Oy$ : $(-x, y)$ ; $\ O$ : $(-x, -y)$

względem $K$ : $(2p - x, 2q - y)$

okrąg: odbijasz środek, $r$ bez zmian

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” są wzory na długość odcinka i środek odcinka, równanie okręgu w postaci kanonicznej (i rozwiniętej) oraz współrzędne obrazów w symetriach względem osi, początku układu i dowolnego punktu.

Dalej: prosta i okrąg, dwa okręgi, styczne (lekcja 9.3 Prosta i okrąg, dwa okręgi, styczna i prosta prostopadła, poziom rozszerzony) albo stereometria (lekcja 10.1 Proste, płaszczyzny i kąty w przestrzeni).