Trening: 4.2 Układy równań z równaniem kwadratowym

Poziom A · podstawianie

Zestawy A

1 zestaw

Rozwiąż układ.
1. $y = x + 2$ , $\ x^2 + y^2 = 10$
2. $x + y = 5$ , $\ xy = 6$
3. $y = 2x$ , $\ x^2 + y^2 = 20$
4. $y = x^2 - 3$ , $\ y = 2x$
5. $x - 2y = 0$ , $\ x^2 - y^2 = 12$
Odpowiedzi
a) $(1,\,3)$ , $(-3,\,-1)$ b) $(2,\,3)$ , $(3,\,2)$ c) $(2,\,4)$ , $(-2,\,-4)$ d) $(3,\,6)$ , $(-1,\,-2)$ e) $(4,\,2)$ , $(-4,\,-2)$

Poziom B · liczba rozwiązań

Zestawy B

1 zestaw

Podaj liczbę punktów wspólnych (albo parametr).
1. $x^2 + y^2 = 4$ i $y = x + 3$
2. $x^2 + y^2 = 8$ i $y = -x + 4$
3. $y = x^2$ i $y = 2x - 1$
4. $y = x^2 + 1$ i $y = kx$ styczne: $k$
5. $x^2 + y^2 = 25$ i $y = m$ dokładnie dwa punkty
Odpowiedzi
a) $0$ b) $1$ c) $1$ d) $\pm 2$ e) $-5 < m < 5$

Poziom C · okręgi i ciągi

Zestawy C

1 zestaw

Oblicz.
1. punkty wspólne $x^2 + y^2 = 25$ i $x^2 + y^2 - 8x = 9$
2. prosta przez punkty wspólne $x^2 + y^2 = 4$ i $(x - 3)^2 + y^2 = 1$
3. $u + v = 9$ , $u^2 + v^2 = 41$ ; $\ uv$
4. $a_1 + a_3 = 10$ , $a_1^2 + a_3^2 = 68$ (ciąg geometryczny, wyrazy dodatnie); $\ a_2$
5. punkty prostej $y = x$ odległe o $5$ od $(1,\,0)$
Odpowiedzi
a) $(2,\,\pm\sqrt{21})$ b) $x = 2$ c) $20$ d) $4$ e) $(4,\,4)$ , $(-3,\,-3)$

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu rozszerzonym CKE. Układ z równaniem kwadratowym jest w nich etapem: punkt za równanie z jedną niewiadomą, kolejne za rozwiązania i odpowiedź.

Zadania w stylu arkusza

2 zadania · 8 pkt

(0–4 pkt) Prosta $y = x - 1$ przecina okrąg $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 10$ w punktach $A$ i $B$ . Oblicz długość cięciwy $AB$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Podstawienie. $(x - 2)^2 + (x - 4)^2 = 10$ , czyli $2x^2 - 12x + 10 = 0$ , $x^2 - 6x + 5 = 0$ .
2. Punkty. $x = 1$ albo $x = 5$ : $A = (1,\,0)$ , $B = (5,\,4)$ .
3. Długość. $|AB| = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt2$ .
1 pkt za równanie z jedną niewiadomą. 2 pkt za jego rozwiązania. 3 pkt za punkty. 4 pkt za $4\sqrt2$ .
(0–4 pkt) Wyznacz wszystkie wartości $m$ , dla których prosta $y = mx + 2$ ma z okręgiem $x^2 + y^2 = 1$ dwa punkty wspólne.
Rozwiązanie i punktacja
1. Podstawienie. $x^2 + (mx + 2)^2 = 1$ : $(1 + m^2)x^2 + 4mx + 3 = 0$ .
2. Warunek. $\Delta = 16m^2 - 12(1 + m^2) = 4m^2 - 12 > 0$ .
3. Wynik. $m^2 > 3$ : $m < -\sqrt3$ albo $m > \sqrt3$ .
1 pkt za równanie kwadratowe w $x$ . 2 pkt za warunek $\Delta > 0$ . 3 pkt za $4m^2 - 12 > 0$ . 4 pkt za odpowiedź.

Uwaga: rozwiązanie przez odległość środka od prostej ( $\frac{2}{\sqrt{1 + m^2}} < 1$ ) jest równie dobre.