6.2 Ciąg arytmetyczny · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Suma od $1$ do $100$

Dodaj $1 + 2 + \dots + 100$ . Zamiast dodawać po kolei, połącz w pary pierwszy z ostatnim: $1 + 100$ , $2 + 99$ , $3 + 98$ … Każda para daje $101$ , a par jest $50$ . Suma: $50 \cdot 101 = 5050$ . W każdym ciągu arytmetycznym „pierwszy plus ostatni” jest tyle samo co „drugi plus przedostatni”, bo jeden rośnie o $r$ , a drugi maleje o $r$ . Stąd wzór na sumę: liczba wyrazów razy średnia z pierwszego i ostatniego.

1 Wzór na $n$ -ty wyraz

Ciąg arytmetyczny

a_{n+1} = a_n + r, \qquad a_n = a_1 + (n - 1)r, \qquad a_n = a_k + (n - k)r.

$r > 0$ : ciąg rosnący, $r < 0$ : malejący, $r = 0$ : stały.

Przykład 1.1 Dwa wyrazy dane, trzeci szukany

W ciągu arytmetycznym $a_3 = 7$ i $a_8 = 22$ . Oblicz $a_{20}$ .

$a_8 = a_3 + 5r$ , więc $22 = 7 + 5r$ , $r = 3$ .
$a_{20} = a_8 + 12r = 22 + 36 = 58$ .

Wynik: $a_{20} = 58$ (przy okazji $a_1 = 1$ , $a_n = 3n - 2$ ).

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

$a_1 = 4$ , $a_6 = 29$ . Oblicz $a_{11}$ .

Odpowiedź
$5r = 25$ , $r = 5$ ; $a_{11} = 4 + 50 = 54$ . (Albo: $a_6$ jest środkiem między $a_1$ i $a_{11}$ , więc $a_{11} = 2 \cdot 29 - 4$ .)
Który wyraz ciągu arytmetycznego $a_1 = 100$ , $r = -3$ jest pierwszym ujemnym?
Odpowiedź
1. $100 - 3(n - 1) < 0 \iff n > \tfrac{103}{3} = 34\tfrac13$ .
2. $a_{35} = -2$ .

2 Suma $n$ wyrazów

Suma $n$ początkowych wyrazów

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2}\cdot n.

Przykład 2.1 Suma z rekurencji

Ciąg określony jest wzorami $a_1 = 3$ , $a_{n+1} = a_n + 4$ . Oblicz $S_{50}$ .

Arytmetyczny z $r = 4$ . $a_{50} = 3 + 49 \cdot 4 = 199$ .
$S_{50} = \dfrac{3 + 199}{2} \cdot 50 = 101 \cdot 50$ .

Wynik: $S_{50} = 5050$ .

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 5 min

Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez $7$ .
Odpowiedź
1. $14, 21, \dots, 98$ : $a_1 = 14$ , $r = 7$ , $98 = 14 + 7(n - 1)$ , $n = 13$ .
2. $S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2} \cdot 13 = 728$ .
Suma $10$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi $85$ , a $a_1 = -1$ . Oblicz $r$ .
Odpowiedź
1. $\dfrac{-2 + 9r}{2} \cdot 10 = 85$
2. $-2 + 9r = 17$ , $r = \tfrac{19}{9}$ .

3 Trzy kolejne wyrazy: $2b = a + c$

Warunek dla trzech liczb

Liczby $a$ , $b$ , $c$ (w tej kolejności) tworzą ciąg arytmetyczny $\iff 2b = a + c$ . Środkowa jest średnią arytmetyczną sąsiednich.

Gdy treść dodaje warunek (rosnący, malejący, niestały), sprawdź każde rozwiązanie i odrzuć te, które go nie spełniają.

Przykład 3.1 Parametr i warunek „malejący”

Ciąg $(3m + 4,\ m^2 + 1,\ 2 - m)$ jest arytmetyczny i malejący. Wyznacz $m$ .

$2(m^2 + 1) = 3m + 4 + 2 - m$ , czyli $2m^2 - 2m - 4 = 0$ , $m^2 - m - 2 = 0$ .
$m = 2$ albo $m = -1$ .
$m = 2$ : ciąg $(10,\,5,\,0)$ , $r = -5$ , malejący ✓. $\ m = -1$ : ciąg $(1,\,2,\,3)$ , rosnący ✗.

Wynik: $m = 2$ . Bez sprawdzenia warunku „malejący” w kluczu traci się punkt.

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 6 min

Dla jakiego $x$ liczby $x - 1$ , $2x$ , $4x - 5$ tworzą ciąg arytmetyczny?

Odpowiedź
$4x = 5x - 6$ , $x = 6$ ; ciąg $(5,\,12,\,19)$ .
Ciąg $(m^2,\ 2m + 3,\ 6)$ jest arytmetyczny. Wyznacz wszystkie $m$ i dla każdego podaj ciąg.
Odpowiedź
1. $2(2m + 3) = m^2 + 6$ , czyli $m^2 - 4m = 0$ .
2. $m = 0$ : $(0,\,3,\,6)$ ; $\ m = 4$ : $(16,\,11,\,6)$ .

4 Zadania z treścią

Przykład 4.1 Suma i średnia

Suma $8$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi $100$ , a średnia arytmetyczna wyrazów $a_2$ i $a_5$ jest równa $11$ . Wyznacz $a_1$ i $r$ .

$S_8 = \dfrac{2a_1 + 7r}{2} \cdot 8 = 4(2a_1 + 7r) = 100$ , czyli $2a_1 + 7r = 25$ .
$\dfrac{a_2 + a_5}{2} = 11$ : $a_1 + r + a_1 + 4r = 22$ , czyli $2a_1 + 5r = 22$ .
Odejmujemy: $2r = 3$ , $r = \tfrac32$ , $a_1 = \tfrac{22 - 7{,}5}{2} = \tfrac{29}{4}$ .

Wynik: $a_1 = \tfrac{29}{4}$ , $r = \tfrac32$ .

Zadania · część 4

1 zadanie · ok. 4 min

W amfiteatrze w pierwszym rzędzie jest $20$ miejsc, a w każdym następnym o $2$ więcej. Ile jest miejsc w $15$ rzędach?
Odpowiedź
1. $a_{15} = 20 + 28 = 48$ .
2. $S_{15} = \dfrac{20 + 48}{2} \cdot 15 = 510$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 26 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · wyrazy

Zestawy A

Ciąg arytmetyczny: oblicz szukaną wielkość.
1. $a_1 = 5$ , $r = 3$ ; $\ a_{12}$
2. $a_3 = -1$ , $a_7 = 11$ ; $\ a_1$
Odpowiedzi
a) $38$ b) $-7$

Poziom B · sumy

Zestawy B

Oblicz.
1. $a_1 = 1$ , $r = 2$ ; $\ S_{20}$
2. $a_1 = 3$ , $S_8 = 80$ ; $\ r$
Odpowiedzi
a) $400$ b) $2$

Poziom C · trzy wyrazy i układy

Zestawy C

Wyznacz $x$ , dla których ciąg jest arytmetyczny.
1. $(x,\ 7,\ 12)$
2. $(x,\ x^2,\ 6)$
Odpowiedzi
a) $2$ b) $-\tfrac32$ albo $2$
Wyznacz $a_1$ i $r$ .
1. $a_2 + a_6 = 20$ , $a_3 = 7$
Odpowiedzi
a) $a_1 = 1$ , $r = 3$

Pełny trening (26 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

Ciąg arytmetyczny to w arkuszach z lat 2024–2026 kilkanaście zadań zamkniętych i kilka otwartych za 2–4 punkty. Według sprawozdań CKE obliczenie wyrazu z dwóch danych (maj 2026) było najłatwiejszym zadaniem arkusza (87%), a zadanie z parametrem i warunkiem „malejący” (maj 2025) miało łatwość 49%. W zasadach oceniania powtarzają się Uwagi: pomylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym to 0 punktów, brak odrzucenia rozwiązania, które nie spełnia warunku, to punkt mniej, a sam wynik bez rozwiązania to 0 punktów. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 9 pkt · ok. 25 min

(0–1 pkt) W ciągu arytmetycznym $a_1 = 3$ i $a_4 = 15$ . Wyraz $a_{10}$ jest równy

A. $36$ B. $39$ C. $43$ D. $45$

Odpowiedź
B. $3r = 12$ , $r = 4$ ; $a_{10} = 3 + 36 = 39$ .
(0–1 pkt) Ciąg $(4m,\ 3 + m,\ m)$ jest arytmetyczny dla

A. $m = -2$ B. $m = 1$ C. $m = 2$ D. $m = 3$

Odpowiedź
C. $2(3 + m) = 5m$ , $6 = 3m$ , $m = 2$ ; ciąg $(8,\,5,\,2)$ .
(0–1 pkt) Ciąg określony jest wzorami $a_1 = 7$ , $a_{n+1} = a_n + 3$ . Suma $S_{40}$ jest równa

A. $2620$ B. $2660$ C. $5240$ D. $4960$

Odpowiedź
A. $a_{40} = 7 + 117 = 124$ ; $S_{40} = \frac{131}{2} \cdot 40 = 2620$ .
(0–3 pkt) Ciąg $(m + 7,\ m^2 + 1,\ 1 - 5m)$ jest arytmetyczny i rosnący. Oblicz $m$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Warunek. $2(m^2 + 1) = (m + 7) + (1 - 5m)$ , czyli $2m^2 + 4m - 6 = 0$ .
2. Rozwiązania. $m^2 + 2m - 3 = (m - 1)(m + 3) = 0$ : $m = 1$ albo $m = -3$ .
3. Wybór. $m = 1$ : ciąg $(8,\,2,\,-4)$ , malejący ✗. $\ m = -3$ : ciąg $(4,\,10,\,16)$ , rosnący ✓.
1 pkt za równanie $2(m^2 + 1) = (m + 7) + (1 - 5m)$ . 2 pkt za oba rozwiązania. 3 pkt za $m = -3$ z odrzuceniem $m = 1$ .

Uwaga: podanie obu wartości bez wyboru to 2 pkt.
(0–3 pkt) Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa $-50$ , a średnia arytmetyczna wyrazów $a_1$ , $a_4$ i $a_7$ jest równa $1$ . Wyznacz $a_1$ i różnicę $r$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Suma. $\frac{2a_1 + 9r}{2} \cdot 10 = -50$ , czyli $2a_1 + 9r = -10$ .
2. Średnia. $\frac{a_1 + (a_1 + 3r) + (a_1 + 6r)}{3} = a_1 + 3r = 1$ .
3. Układ. $a_1 = 1 - 3r$ : $2 - 6r + 9r = -10$ , $r = -4$ , $a_1 = 13$ .
1 pkt za jedno z równań. 2 pkt za układ. 3 pkt za $a_1 = 13$ , $r = -4$ .

Uwaga: błędna interpretacja (np. $-50$ jako $a_{10}$ albo średnia dzielona przez $2$ ) daje co najwyżej 1 pkt.

7 Najczęstsze błędy

„ $a_n = a_1 + nr$ .”: $a_n = a_1 + (n - 1)r$ : od $a_1$ do $a_n$ jest $n - 1$ kroków.
„ $(a, b, c)$ arytmetyczny $\iff b^2 = ac$ .”: To warunek geometryczny. Arytmetyczny: $2b = a + c$ . Pomylenie ciągów to w kluczu 0 punktów.
„ $r = a_2 - a_1 = m^2 + 1 - m + 7$ .”: Odejmujesz cały wyraz: $(m^2 + 1) - (m + 7) = m^2 - m - 6$ . Zgubiony nawias to w kluczu 0 punktów za taki zapis.
„Wyszły dwa $m$ , podaję oba.”: Jeśli treść ma warunek (rosnący, malejący), sprawdź każde $m$ i odrzuć złe z uzasadnieniem.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Ile wynosi

a_7

, jeśli

a_5 = 10

a_9 = 18

$14$ (średnia).

2 Jaka jest suma

2 + 4 + \dots + 40

$\frac{2 + 40}{2} \cdot 20 = 420$ .

3 Dla jakiego

r

ciąg arytmetyczny jest stały?

$r = 0$ .

4 Jak sprawdzić, że

(1, 4, 7)

jest ciągiem arytmetycznym?

$2 \cdot 4 = 1 + 7$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Wzory

$a_n = a_1 + (n - 1)r$

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} n$

Własności

$2b = a + c$

$a_k + a_l = a_m + a_n$ dla $k + l = m + n$

Wzory na $a_n$ , $S_n$ i warunek $2b = a + c$ są w broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne”.

Dalej: ciąg geometryczny (lekcja 6.3 Ciąg geometryczny).

0 Suma od 111 do 100100100

1 Wzór na nnn-ty wyraz