Matematyka i fizyka od podstaw
PLEN

Matura z matematyki › 6.2 Ciąg arytmetyczny › Trening · PDF do druku

Matura · poziom podstawowy · trening 6.2

Trening: ciąg arytmetyczny

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 6.2 Ciąg arytmetyczny: wyrazy i różnica z dwóch danych, sumy, warunek 2b=a+c2b = a + c z parametrem i układy z sumą i wyrazami. Na końcu zadania w stylu arkusza.

Poziom A · wyrazy

Zestawy A

1 zestaw

  1. Ciąg arytmetyczny: oblicz szukaną wielkość.

    1. a1=5a_1 = 5, r=3r = 3;  a12\ a_{12}
    2. a1=2a_1 = 2, a5=18a_5 = 18;  a9\ a_9
    3. a4=10a_4 = 10, a9=0a_9 = 0;  r\ r
    4. a3=−1a_3 = -1, a7=11a_7 = 11;  a1\ a_1
    5. a1=40a_1 = 40, r=−32r = -\tfrac32;  a21\ a_{21}
    6. an=7−4na_n = 7 - 4n;  r\ r i a1a_1
    Odpowiedzi

    a) 3838   b) 3434   c) −2-2   d) −7-7   e) 1010   f) −4-4; 33

Poziom B · sumy

Zestawy B

1 zestaw

  1. Oblicz.

    1. a1=1a_1 = 1, r=2r = 2;  S20\ S_{20}
    2. a1=10a_1 = 10, a15=−18a_{15} = -18;  S15\ S_{15}
    3. suma liczb trzycyfrowych podzielnych przez 2525
    4. a1=3a_1 = 3, S8=80S_8 = 80;  r\ r
    5. an=3n+1a_n = 3n + 1;  S30\ S_{30}
    6. a1=2a_1 = 2, r=3r = 3, Sn=155S_n = 155;  n\ n
    Odpowiedzi

    a) 400400   b) −60-60   c) 19 35019\,350   d) 22   e) 14251425   f) 1010

Poziom C · trzy wyrazy i układy

Zestawy C

2 zestawy

  1. Wyznacz xx, dla których ciąg jest arytmetyczny.

    1. (x, 7, 12)(x,\ 7,\ 12)
    2. (x+1, 2x+1, 4x−3)(x + 1,\ 2x + 1,\ 4x - 3)
    3. (x2, 5, 1)(x^2,\ 5,\ 1)
    4. (x, x2, 6)(x,\ x^2,\ 6)
    5. (2, x, 32)(\sqrt2,\ x,\ 3\sqrt2)
    Odpowiedzi

    a) 22   b) 44   c) ±3\pm 3   d) −32-\tfrac32 albo 22   e) 222\sqrt2

  2. Wyznacz a1a_1 i rr.

    1. a2+a6=20a_2 + a_6 = 20, a3=7a_3 = 7
    2. S5=25S_5 = 25, S10=100S_{10} = 100
    3. a1+a5=14a_1 + a_5 = 14, a2⋅a4=45a_2 \cdot a_4 = 45
    4. a4=2a2a_4 = 2a_2, S6=42S_6 = 42
    Odpowiedzi

    a) a1=1a_1 = 1, r=3r = 3   b) a1=1a_1 = 1, r=2r = 2   c) a1=3a_1 = 3, r=2r = 2 albo a1=11a_1 = 11, r=−2r = -2   d) a1=2a_1 = 2, r=2r = 2

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE: dokończ zdanie i zadania otwarte za 2–3 punkty z równaniem i selekcją rozwiązań.

Zadania w stylu arkusza

5 zadań · 8 pkt

  1. (0–1 pkt) W ciągu arytmetycznym a1=−4a_1 = -4 i a6=11a_6 = 11. Wyraz a11a_{11} jest równy

    A.2222B.2626C.2929D.3333
    Odpowiedź

    B. a11=2a6−a1=22+4a_{11} = 2a_6 - a_1 = 22 + 4.

  2. (0–1 pkt) Ciąg (3k, k+6, k−2)(3k,\ k + 6,\ k - 2) jest arytmetyczny dla

    A.k=3k = 3B.k=5k = 5C.k=7k = 7D.k=13k = 13
    Odpowiedź

    C. 2(k+6)=3k+k−22(k + 6) = 3k + k - 2, czyli 2k=142k = 14; ciąg (21, 13, 5)(21,\,13,\,5).

  3. (0–1 pkt) Ciąg określony jest wzorami a1=6a_1 = 6, an+1=an−2a_{n+1} = a_n - 2. Suma dwudziestu początkowych wyrazów jest równa

    A.−520-520B.−260-260C.−220-220D.260260
    Odpowiedź

    B. S20=2⋅6+19⋅(−2)2⋅20=−26⋅10S_{20} = \frac{2 \cdot 6 + 19 \cdot (-2)}{2} \cdot 20 = -26 \cdot 10.

  4. (0–3 pkt) Ciąg (3x−2, x2, 7x−6)(3x - 2,\ x^2,\ 7x - 6) jest arytmetyczny i rosnący. Oblicz xx i wyznacz różnicę tego ciągu.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Warunek. 2x2=(3x−2)+(7x−6)2x^2 = (3x - 2) + (7x - 6), czyli x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0.
    2. Rozwiązania. x=1x = 1 albo x=4x = 4.
    3. Wybór. x=1x = 1: (1, 1, 1)(1,\,1,\,1), ciąg stały ✗.  x=4\ x = 4: (10, 16, 22)(10,\,16,\,22), r=6r = 6 ✓.

    1 pkt za równanie. 2 pkt za oba rozwiązania. 3 pkt za x=4x = 4, r=6r = 6 z odrzuceniem x=1x = 1.

  5. (0–2 pkt) Pierwszy wyraz skończonego ciągu arytmetycznego jest równy 55, ostatni 4141, a suma wszystkich wyrazów wynosi 299299. Oblicz liczbę wyrazów i różnicę tego ciągu.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Liczba wyrazów. 5+412⋅n=23n=299\frac{5 + 41}{2} \cdot n = 23n = 299, n=13n = 13.
    2. Różnica. 41=5+12r41 = 5 + 12r, r=3r = 3.

    1 pkt za n=13n = 13. 2 pkt za r=3r = 3.