Matematyka i fizyka od podstaw
PLEN

Matura z matematyki › 7.1 Trygonometria kątów od 0° do 180° › Trening · PDF do druku

Matura · poziom podstawowy · trening 7.1

Trening: trygonometria kątów od 0° do 180°

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 7.1 Trygonometria kątów od 0° do 180°: wartości dla kątów szczególnych, funkcje kąta rozwartego, trójkąt prostokątny z brakującym bokiem i wyrażenia sprowadzane do tangensa. Na końcu zadania w stylu arkusza.

Poziom A · wartości

Zestawy A

1 zestaw

  1. Oblicz.

    1. sin⁡30∘+cos⁡60∘\sin 30^\circ + \cos 60^\circ
    2. tg⁡45∘−cos⁡180∘\operatorname{tg} 45^\circ - \cos 180^\circ
    3. sin⁡135∘⋅cos⁡45∘\sin 135^\circ \cdot \cos 45^\circ
    4. cos⁡150∘+sin⁡60∘\cos 150^\circ + \sin 60^\circ
    5. tg⁡120∘⋅tg⁡30∘\operatorname{tg} 120^\circ \cdot \operatorname{tg} 30^\circ
    6. sin⁡250∘+cos⁡250∘\sin^2 50^\circ + \cos^2 50^\circ
    Odpowiedzi

    a) 11   b) 22   c) 12\tfrac12   d) 00   e) −1-1   f) 11

Poziom B · jedna funkcja dana

Zestawy B

1 zestaw

  1. Oblicz pozostałe dwie funkcje.

    1. α\alpha ostry, sin⁡α=35\sin\alpha = \tfrac35
    2. α\alpha rozwarty, sin⁡α=1213\sin\alpha = \tfrac{12}{13}
    3. α\alpha rozwarty, cos⁡α=−22\cos\alpha = -\tfrac{\sqrt2}{2}
    4. α\alpha ostry, tg⁡α=34\operatorname{tg}\alpha = \tfrac34
    5. α\alpha rozwarty, tg⁡α=−2\operatorname{tg}\alpha = -2
    6. α\alpha ostry, cos⁡α=13\cos\alpha = \tfrac{1}{3}
    Odpowiedzi

    a) cos⁡=45\cos = \tfrac45, tg⁡=34\operatorname{tg} = \tfrac34   b) cos⁡=−513\cos = -\tfrac5{13}, tg⁡=−125\operatorname{tg} = -\tfrac{12}{5}   c) sin⁡=22\sin = \tfrac{\sqrt2}{2}, tg⁡=−1\operatorname{tg} = -1   d) sin⁡=35\sin = \tfrac35, cos⁡=45\cos = \tfrac45   e) sin⁡=255\sin = \tfrac{2\sqrt5}{5}, cos⁡=−55\cos = -\tfrac{\sqrt5}{5}   f) sin⁡=223\sin = \tfrac{2\sqrt2}{3}, tg⁡=22\operatorname{tg} = 2\sqrt2

Poziom C · trójkąty i wyrażenia

Zestawy C

2 zestawy

  1. Trójkąt prostokątny (γ=90∘\gamma = 90^\circ): oblicz.

    1. a=8a = 8, b=15b = 15;  sin⁡α\ \sin\alpha
    2. a=1a = 1, c=3c = 3;  tg⁡α\ \operatorname{tg}\alpha
    3. c=10c = 10, α=30∘\alpha = 30^\circ;  b\ b
    4. b=6b = 6, tg⁡α=23\operatorname{tg}\alpha = \tfrac23;  a\ a
    5. a=3a = 3, b=3b = 3;  α\ \alpha
    Odpowiedzi

    a) 817\tfrac{8}{17}   b) 24\tfrac{\sqrt2}{4}   c) 535\sqrt3   d) 44   e) 45∘45^\circ

  2. Kąt α\alpha ostry: oblicz tg⁡α\operatorname{tg}\alpha albo uprość.

    1. sin⁡α−cos⁡αcos⁡α=2\dfrac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\cos\alpha} = 2
    2. 3sin⁡αsin⁡α+cos⁡α=2\dfrac{3\sin\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = 2
    3. 2sin⁡α=3cos⁡α2\sin\alpha = \sqrt3\cos\alpha
    4. sin⁡3α+sin⁡αcos⁡2αsin⁡α\dfrac{\sin^3\alpha + \sin\alpha\cos^2\alpha}{\sin\alpha}
    5. tg⁡α⋅cos⁡α+sin⁡α\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha + \sin\alpha
    Odpowiedzi

    a) tg⁡α=3\operatorname{tg}\alpha = 3   b) tg⁡α=2\operatorname{tg}\alpha = 2   c) tg⁡α=32\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{\sqrt3}{2}   d) 11   e) 2sin⁡α2\sin\alpha

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE: dokończ zdanie i krótkie zadania otwarte.

Zadania w stylu arkusza

5 zadań · 7 pkt

  1. (0–1 pkt) Kąt α\alpha jest rozwarty i sin⁡α=53\sin\alpha = \tfrac{\sqrt5}{3}. Wtedy tg⁡α\operatorname{tg}\alpha jest równy

    A.−52-\tfrac{\sqrt5}{2}B.−25-\tfrac{2}{\sqrt5}C.25\tfrac{2}{\sqrt5}D.52\tfrac{\sqrt5}{2}
    Odpowiedź

    A. cos⁡α=−23\cos\alpha = -\frac23, tg⁡α=5/3−2/3\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt5/3}{-2/3}.

  2. (0–1 pkt) W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 66 i 88. Sinus najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy

    A.35\tfrac35B.34\tfrac34C.45\tfrac45D.43\tfrac43
    Odpowiedź

    A. Przeciwprostokątna 1010; najmniejszy kąt leży naprzeciw boku 66.

  3. (0–1 pkt) Kąt α\alpha jest ostry i tg⁡α=2sin⁡α\operatorname{tg}\alpha = 2\sin\alpha. Wtedy

    A.cos⁡α=22\cos\alpha = \tfrac{\sqrt2}{2}B.cos⁡α=12\cos\alpha = \tfrac12C.cos⁡α=2\cos\alpha = 2D.cos⁡α=32\cos\alpha = \tfrac{\sqrt3}{2}
    Odpowiedź

    B. sin⁡αcos⁡α=2sin⁡α\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha, a sin⁡α≠0\sin\alpha \ne 0 dla kąta ostrego: cos⁡α=12\cos\alpha = \frac12.

  4. (0–1 pkt) Wartość wyrażenia cos⁡2120∘−sin⁡230∘+tg⁡135∘\cos^2 120^\circ - \sin^2 30^\circ + \operatorname{tg} 135^\circ jest równa

    A.−1-1B.00C.12\tfrac12D.11
    Odpowiedź

    A. 14−14−1\frac14 - \frac14 - 1.

  5. (0–3 pkt) W trójkącie prostokątnym ABCABC kąt przy CC jest prosty, ∣BC∣=6|BC| = 6, a cos⁡∠ABC=35\cos\angle ABC = \tfrac35. Oblicz ∣AC∣|AC| oraz tg⁡∠BAC\operatorname{tg}\angle BAC.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Przeciwprostokątna. cos⁡∠ABC=∣BC∣∣AB∣=35\cos\angle ABC = \frac{|BC|}{|AB|} = \frac35, więc ∣AB∣=10|AB| = 10.
    2. Bok. ∣AC∣=100−36=8|AC| = \sqrt{100 - 36} = 8.
    3. Tangens. tg⁡∠BAC=∣BC∣∣AC∣=34\operatorname{tg}\angle BAC = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac34.

    1 pkt za ∣AB∣=10|AB| = 10. 2 pkt za ∣AC∣=8|AC| = 8. 3 pkt za tg⁡∠BAC=34\operatorname{tg}\angle BAC = \frac34.