1.4 Procenty, procent składany, lokaty i kredyty · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Procent od czego?

Pan X zarabia o 20% więcej niż średnia, a pan Y o 20% mniej. O ile procent X zarabia więcej od Y? Odpowiedź „o 40%” jest zła. Jeśli średnia to $S$ , to X ma $1{,}2S$ , a Y ma $0{,}8S$ , więc

\frac{1{,}2S}{0{,}8S} = 1{,}5,

czyli X zarabia o 50% więcej od Y. A Y zarabia o tyle mniej od X: $\frac{0{,}8}{1{,}2} = \frac23$ , czyli o $33\frac13\%$ mniej. Ten sam „odstęp” daje różne procenty, bo za każdym razem liczymy od innej podstawy. Zadanie z takim pytaniem było w informatorze CKE.

1 Procent i porównania

Procent

$p\%$ liczby $a$ to $\dfrac{p}{100}\cdot a$ . Liczba $b$ stanowi $\dfrac{b}{a}\cdot 100\%$ liczby $a$ .

$b$ jest większa od $a$ o $\dfrac{b - a}{a}\cdot 100\%$ (podstawą jest liczba, od której porównujemy).

Punkty procentowe to różnica dwóch procentów: wzrost oprocentowania z 4% do 5% to wzrost o 1 punkt procentowy, czyli o 25%.

Przykład 1.1 Podwyżka i obniżka o tyle samo procent

Cena wzrosła z 80 zł do 92 zł. O ile procent? A gdyby potem obniżono ją o tyle samo procent, ile wyniesie?

Wzrost: $\frac{92 - 80}{80} = \frac{12}{80} = 0{,}15$ , czyli o 15%.
Obniżka o 15% liczona od nowej ceny: $92\cdot 0{,}85 = 78{,}20$ zł.

Wynik: podwyżka o 15%; po obniżce o 15% cena to 78,20 zł, a nie 80 zł.

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 8 min

Oblicz 35% liczby 240.

Odpowiedź
$0{,}35\cdot 240 = 84$ .
Liczba $a$ jest o 25% większa od liczby $b$ . O ile procent liczba $b$ jest mniejsza od $a$ ?
Odpowiedź
1. $a = 1{,}25b$ , więc $b = \frac{a}{1{,}25} = 0{,}8a$ .
2. $b$ jest mniejsza od $a$ o 20%.
Po obniżce o 30% kurtka kosztuje 56 zł. Ile kosztowała przed obniżką?
Odpowiedź
1. $0{,}7x = 56$
2. $x = 80$ zł.

2 Kolejne zmiany: mnożniki

Wzrost o $p\%$ to pomnożenie przez $1 + \frac{p}{100}$ , spadek o $p\%$ to pomnożenie przez $1 - \frac{p}{100}$ . Kolejne zmiany procentowe się mnoży, a nie dodaje.

Przykład 2.1 Dwie zmiany

Cenę podniesiono o 20%, a potem obniżono o 20%. Jak zmieniła się w porównaniu z ceną początkową?

Mnożniki: $1{,}2\cdot 0{,}8 = 0{,}96$ .
$0{,}96 = 1 - 0{,}04$ .

Wynik: cena spadła o 4%. Dwie podwyżki o 10% dają $1{,}1^2 = 1{,}21$ , czyli wzrost o 21%, a nie o 20%.

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 5 min

Towar kosztował 200 zł. Cenę podniesiono o 10%, a potem obniżono o 10%. Ile kosztuje teraz?

Odpowiedź
$200\cdot 1{,}1\cdot 0{,}9 = 198$ zł.
Liczba mieszkańców miasta spadała o 5% rocznie przez dwa lata. O ile procent spadła w tym czasie?
Odpowiedź
1. $0{,}95^2 = 0{,}9025$
2. Spadek o $9{,}75\%$ .

3 Procent składany i lokaty

Procent składany

K_n = K\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

$K$ to kapitał początkowy, $p\%$ oprocentowanie w jednym okresie kapitalizacji, $n$ liczba okresów. Odsetki to $K_n - K$ .

Gdy oprocentowanie roczne $p\%$ jest dopisywane $m$ razy w roku (np. kwartalnie: $m = 4$ ), w każdym okresie dolicza się $\frac{p}{m}\%$ , a okresów w ciągu $n$ lat jest $mn$ : $\ K_n = K\left(1 + \frac{p}{100m}\right)^{mn}$ .

„Procent składany” znaczy, że odsetki są dopisywane do kapitału, więc w kolejnym okresie same zarabiają. Przy procencie prostym odsetki co roku liczy się od tego samego kapitału początkowego. W zadaniach CKE pomija się podatek od odsetek, chyba że treść mówi inaczej.

Przykład 3.1 Odsetki z lokaty

Na lokatę z kapitalizacją roczną wpłacono 5000 zł na 4% rocznie. Ile odsetek będzie po 3 latach?

$K_3 = 5000\cdot 1{,}04^3 = 5000\cdot 1{,}124864 = 5624{,}32$ zł.
Odsetki: $5624{,}32 - 5000 = 624{,}32$ zł.

Wynik: 624,32 zł (przy procencie prostym byłoby $3\cdot 200 = 600$ zł).

Przykład 3.2 Oprocentowanie z wyniku

Kapitał 20 000 zł po dwóch latach na lokacie z roczną kapitalizacją wzrósł do 22 472 zł. Jakie było roczne oprocentowanie?

$20\,000\cdot q^2 = 22\,472$ , gdzie $q = 1 + \frac{p}{100}$ .
$q^2 = 1{,}1236$ , więc $q = \sqrt{1{,}1236} = 1{,}06$ .

Wynik: 6% rocznie. (Kto podzieli $12{,}36\%$ przez $2$ , dostanie $6{,}18\%$ : to błąd, bo procentów składanych się nie dzieli.)

Zadania · część 3

4 zadania · ok. 12 min

Na lokatę z roczną kapitalizacją wpłacono 8000 zł na 5% rocznie. Ile odsetek będzie po 2 latach?
Odpowiedź
1. $8000\cdot 1{,}05^2 = 8000\cdot 1{,}1025 = 8820$ zł
2. Odsetki $820$ zł.
Kapitał 40 000 zł po dwóch latach na lokacie z roczną kapitalizacją wzrósł do 43 264 zł. Jakie było oprocentowanie?
Odpowiedź
1. $q^2 = \frac{43\,264}{40\,000} = 1{,}0816$
2. $q = 1{,}04$ : 4% rocznie.
Na lokatę 10 000 zł na 4% rocznie bank dolicza odsetki co kwartał. Ile będzie na lokacie po roku? Porównaj z kapitalizacją roczną.
Odpowiedź
1. W kwartale $1\%$ : $10\,000\cdot 1{,}01^4 = 10\,406{,}04$ zł.
2. Kapitalizacja roczna: $10\,400$ zł, czyli o 6,04 zł mniej.
Po ilu pełnych latach kapitał 1000 zł na 10% rocznie (kapitalizacja roczna) po raz pierwszy przekroczy 1500 zł?
Odpowiedź
1. $1{,}1^4 = 1{,}4641$ , czyli $1464{,}10$ zł: za mało.
2. $1{,}1^5 = 1{,}61051$ , czyli $1610{,}51$ zł: po 5 latach.

4 Koszt kredytu

Kredyt działa jak lokata, tylko odwrotnie: to bank „wpłaca”, a odsetki płacisz ty. Najprostszy model to kredyt spłacany jednorazowo po $n$ latach: do oddania jest $K\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ , a koszt kredytu to odsetki, czyli różnica między kwotą do oddania a pożyczoną. Kredyty spłacane w ratach wymagają sumy ciągu geometrycznego (lekcja 6.3 Ciąg geometryczny); w arkuszach z lat 2024–2026 zadań o kredytach nie było.

Przykład 4.1 Kredyt spłacany jednorazowo

Firma pożycza 10 000 zł na 2 lata na 8% rocznie z roczną kapitalizacją i spłaca całość na końcu. Ile wynosi koszt kredytu?

Do oddania: $10\,000\cdot 1{,}08^2 = 10\,000\cdot 1{,}1664 = 11\,664$ zł.

Wynik: koszt kredytu $1664$ zł.

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 35 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · procent i porównania

Zestawy A

Oblicz.
1. 15% liczby 60
2. jakim procentem liczby 72 jest 18?
Odpowiedzi
a) $9$ b) $25\%$
O ile procent zmieniła się wielkość?
1. z 80 na 60
2. z 150 na 120
Wskazówka
Zmianę dziel przez wartość początkową.

Odpowiedzi
a) spadek o $25\%$ b) spadek o $20\%$

Poziom B · kolejne zmiany i wartość sprzed zmiany

Zestawy B

Jak w sumie zmieniła się cena?
1. +10%, potem +20%
2. +25%, potem −20%
Odpowiedzi
a) wzrost o $32\%$ b) bez zmiany
Oblicz cenę przed zmianą.
1. po podwyżce o 20% kosztuje 84 zł
2. po dwóch podwyżkach o 10% kosztuje 242 zł
Wskazówka
Nowa cena $=$ stara $\cdot$ mnożnik, więc stara $=$ nowa $:$ mnożnik. Nie odejmuj procentów od nowej ceny.

Odpowiedzi
a) $70$ zł b) $200$ zł

Poziom C · lokaty

Zestawy C

Oblicz kapitał końcowy (bez podatku).
1. 2000 zł, 3% rocznie, kapitalizacja roczna, 2 lata
2. 1000 zł, 10% rocznie, kapitalizacja półroczna, 1 rok
Odpowiedzi
a) $2121{,}80$ zł b) $1102{,}50$ zł
Wyznacz roczne oprocentowanie lokaty z kapitalizacją roczną.
1. 10 000 zł po 2 latach to 10 816 zł
2. 8000 zł po 2 latach to 8820 zł
Wskazówka
$q^2 = \frac{K_2}{K}$ , więc $q = \sqrt{\frac{K_2}{K}}$ , a oprocentowanie to $q - 1$ .

Odpowiedzi
a) $4\%$ b) $5\%$

Pełny trening (35 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

Lokata z procentem składanym to typowe zadanie zamknięte za 1 punkt (w maju 2026 roku rozwiązało je 83% zdających; najczęstsza zła odpowiedź to procent prosty). Trudniejsze są procenty ukryte w zadaniach tekstowych: w maju 2025 roku zadanie z dwoma zespołami i procentowymi oszczędnościami miało łatwość tylko 30%, bo zdający liczyli procent od złej kwoty albo stosowali procent składany tam, gdzie go nie było. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

6 zadań · 7 pkt · ok. 15 min

(0–1 pkt) Klient wpłacił 12 000 zł na lokatę dwuletnią z oprocentowaniem 5% w skali roku i roczną kapitalizacją odsetek. Łączna kwota odsetek po dwóch latach (bez podatku) jest równa

A. $1200$ złB. $1230$ złC. $13\,230$ złD. $2460$ zł
Odpowiedź
B.
1. $12\,000\cdot 1{,}05^2 = 13\,230$ zł
2. Odsetki $13\,230 - 12\,000 = 1230$ zł.
3. A to procent prosty, C to cała kwota, nie odsetki.
(0–1 pkt) Kapitał 30 000 zł złożony na dwa lata na lokacie z roczną kapitalizacją odsetek wzrósł do 33 708 zł. Roczne oprocentowanie tej lokaty było równe

A. $6\%$ B. $6{,}18\%$ C. $12{,}36\%$ D. $5{,}6\%$
Odpowiedź
A.
1. $q^2 = \frac{33\,708}{30\,000} = 1{,}1236$
2. $q = 1{,}06$ .
3. B to wzrost $12{,}36\%$ podzielony przez $2$ .
(0–1 pkt) Liczba $x$ jest o 25% większa od liczby $y > 0$ . Wtedy liczba $y$ jest mniejsza od liczby $x$ o

A. $25\%$ B. $20\%$ C. $75\%$ D. $80\%$
Odpowiedź
B.
1. $y = \frac{x}{1{,}25} = 0{,}8x$ .
2. D to „ile procent $x$ stanowi $y$ ”, a nie „o ile mniej”.
(0–1 pkt) Cenę 150 zł podniesiono o 20%, a następnie nową cenę obniżono o 20%. Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

1. Cena końcowa jest równa 144 zł. P / F
2. Cena końcowa jest równa cenie początkowej. P / F
Odpowiedź
PF.
1. $150\cdot 1{,}2\cdot 0{,}8 = 150\cdot 0{,}96 = 144$ zł.
2. To o 4% mniej niż na początku.
(0–1 pkt) Oprocentowanie lokaty wzrosło z 5% do 6%. Uzupełnij zdanie. Oprocentowanie wzrosło o ……… procent.
Odpowiedź
$20$
1. Wzrost o 1 punkt procentowy.
2. $\frac{6 - 5}{5} = 0{,}2$ , czyli o $20\%$ .
(0–2 pkt) Pan Adam wpłacił 4000 zł na lokatę trzyletnią z oprocentowaniem 5% w skali roku i roczną kapitalizacją odsetek. Oblicz łączną kwotę odsetek po trzech latach (bez podatku). Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Kapitał końcowy. $K_3 = 4000\cdot 1{,}05^3 = 4000\cdot 1{,}157625 = 4630{,}50\ \text{zł}.$
2. Odsetki. $4630{,}50 - 4000 = 630{,}50$ zł.
1 pkt za zapisanie $4000\cdot 1{,}05^3$ (albo kapitału po kolejnych latach). 2 pkt za odsetki $630{,}50$ zł.

Uwaga: procent prosty ( $3\cdot 200 = 600$ zł) to niepoprawna metoda: 0 pkt.

7 Najczęstsze błędy

„Podwyżka o 20% i obniżka o 20% się znoszą.”: Druga zmiana liczy się od nowej ceny: $1{,}2\cdot 0{,}8 = 0{,}96$ , spadek o 4%.
„X ma o 20% więcej niż średnia, Y o 20% mniej, więc X ma o 40% więcej niż Y.”: Porównanie z Y liczy się od Y: $\frac{1{,}2}{0{,}8} = 1{,}5$ , czyli o 50%.
„Lokata 6% na 2 lata to 12% odsetek.”: Przy procencie składanym: $1{,}06^2 = 1{,}1236$ , czyli $12{,}36\%$ . 12% to procent prosty.
„Wzrost z 5% do 6% to wzrost o 1%.”: To wzrost o 1 punkt procentowy, a o $20\%$ .
„Procent składany pasuje do każdego zadania z procentami.”: Tylko gdy odsetki (albo zmiana) są doliczane do nowej kwoty w kolejnych okresach. W zadaniu „zespół zaoszczędził 13% przydzielonej kwoty” to zwykły procent od przydziału.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Przez co pomnożyć cenę, żeby obniżyć ją o 15%?

Przez $0{,}85$ .

2 Ile procent wzrośnie kapitał w dwa lata przy 10% rocznie (kapitalizacja roczna)?

$1{,}1^2 = 1{,}21$ : o 21%.

3 Od jakiej liczby liczymy, gdy pytanie brzmi „o ile procent

b

jest większe od

a

”?

Od $a$ .

4 Co to jest koszt kredytu?

Odsetki: kwota do oddania minus kwota pożyczona.

5 Jak z

K_2 = K q^2

wyznaczyć oprocentowanie?

$q = \sqrt{\frac{K_2}{K}}$ , a $p\% = (q - 1)\cdot 100\%$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Procenty

$p\%$ z $a$ : $\frac{p}{100}a$ ; wzrost o $p\%$ : $\cdot\left(1 + \frac{p}{100}\right)$

$b$ większe od $a$ o $\frac{b - a}{a}\cdot 100\%$

kolejne zmiany: mnożniki się mnoży

Procent składany

$K_n = K\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

$m$ razy w roku: $K\left(1 + \frac{p}{100m}\right)^{mn}$

odsetki $= K_n - K$

Wzór na procent składany z kapitalizacją roczną jest w broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” (w rozdziale o ciągach, bo kolejne kapitały tworzą ciąg geometryczny). Wersji z kapitalizacją częstszą niż raz w roku broszura nie podaje, ale łatwo ją wyprowadzić: w każdym z $mn$ okresów kapitał mnoży się przez $1 + \frac{p}{100m}$ .

Dalej: podzielność i pierwsze dowody (lekcja 1.5 Podzielność i pierwsze dowody). Procenty w zadaniach tekstowych: lekcja 4.1 Układy równań liniowych i zadania tekstowe; wzrost wykładniczy: lekcja 5.6 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna.