Trening: 1.4 Procenty, procent składany, lokaty i kredyty

Poziom A · procent i porównania

Zestawy A

2 zestawy

Oblicz.
1. 15% liczby 60
2. 120% liczby 45
3. 0,5% liczby 3000
4. jakim procentem liczby 72 jest 18?
5. jakim procentem liczby 30 jest 45?
Odpowiedzi
a) $9$ b) $54$ c) $15$ d) $25\%$ e) $150\%$
O ile procent zmieniła się wielkość?
1. z 50 na 65
2. z 80 na 60
3. z 120 na 150
4. z 150 na 120
5. z 0,4 na 0,5
Wskazówka
Zmianę dziel przez wartość początkową.

Odpowiedzi
a) wzrost o $30\%$ b) spadek o $25\%$ c) wzrost o $25\%$ d) spadek o $20\%$ e) wzrost o $25\%$

Poziom B · kolejne zmiany i wartość sprzed zmiany

Zestawy B

2 zestawy

Jak w sumie zmieniła się cena?
1. +10%, potem +20%
2. +50%, potem −50%
3. −10%, potem −10%
4. +25%, potem −20%
5. +5% trzy razy
Odpowiedzi
a) wzrost o $32\%$ b) spadek o $25\%$ c) spadek o $19\%$ d) bez zmiany e) wzrost o $15{,}7625\%$
Oblicz cenę przed zmianą.
1. po podwyżce o 20% kosztuje 84 zł
2. po obniżce o 15% kosztuje 68 zł
3. po dwóch podwyżkach o 10% kosztuje 242 zł
4. po obniżce o 40% kosztuje 90 zł
Wskazówka
Nowa cena $=$ stara $\cdot$ mnożnik, więc stara $=$ nowa $:$ mnożnik. Nie odejmuj procentów od nowej ceny.

Odpowiedzi
a) $70$ zł b) $80$ zł c) $200$ zł d) $150$ zł

Poziom C · lokaty

Zestawy C

2 zestawy

Oblicz kapitał końcowy (bez podatku).
1. 2000 zł, 3% rocznie, kapitalizacja roczna, 2 lata
2. 10 000 zł, 2% rocznie, kapitalizacja roczna, 3 lata
3. 5000 zł, 6% rocznie, kapitalizacja roczna, 2 lata: same odsetki
4. 1000 zł, 10% rocznie, kapitalizacja półroczna, 1 rok
Odpowiedzi
a) $2121{,}80$ zł b) $10\,612{,}08$ zł c) $618$ zł d) $1102{,}50$ zł
Wyznacz roczne oprocentowanie lokaty z kapitalizacją roczną.
1. 10 000 zł po 2 latach to 10 816 zł
2. 5000 zł po 2 latach to 5618 zł
3. 2500 zł po 2 latach to 3025 zł
4. 8000 zł po 2 latach to 8820 zł
Wskazówka
$q^2 = \frac{K_2}{K}$ , więc $q = \sqrt{\frac{K_2}{K}}$ , a oprocentowanie to $q - 1$ .

Odpowiedzi
a) $4\%$ b) $6\%$ c) $10\%$ d) $5\%$

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE. W zadaniach zamkniętych: dokończ zdanie, wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W zadaniach „prawda/fałsz” punkt jest tylko za obie oceny poprawne. W zadaniach otwartych zapisz obliczenia.

Zadania w stylu arkusza

8 zadań · 10 pkt

(0–1 pkt) Na lokatę dwuletnią z oprocentowaniem 3% w skali roku i roczną kapitalizacją wpłacono 20 000 zł. Łączna kwota odsetek po dwóch latach (bez podatku) jest równa

A. $1200$ złB. $1218$ złC. $21\,218$ złD. $1800$ zł
Odpowiedź
B.
1. $20\,000\cdot 1{,}03^2 = 21\,218$ zł
2. Odsetki $1218$ zł.
(0–1 pkt) Kapitał złożono na lokacie z oprocentowaniem 5% w skali roku i roczną kapitalizacją. Po trzech latach kapitał wzrośnie (w zaokrągleniu do 0,1%) o

A. $15\%$ B. $15{,}8\%$ C. $16{,}2\%$ D. $5\%$
Odpowiedź
B.
1. $1{,}05^3 = 1{,}157625$
2. Wzrost o $15{,}7625\% \approx 15{,}8\%$ .
(0–1 pkt) Po obniżce o 25% bilet kosztuje 120 zł. Przed obniżką bilet kosztował

A. $150$ złB. $160$ złC. $145$ złD. $96$ zł
Odpowiedź
B.
1. $0{,}75x = 120$
2. $x = 160$ zł.
3. A to doliczenie 25% do nowej ceny.
(0–1 pkt) Liczby $a$ i $b$ są dodatnie i $a = 0{,}6b$ . Liczba $b$ jest większa od liczby $a$ o

A. $40\%$ B. $60\%$ C. $66\frac23\%$ D. $166\frac23\%$
Odpowiedź
C.
1. $\frac{b}{a} = \frac{1}{0{,}6} = \frac53$
2. $b$ jest większa o $\frac23$ liczby $a$ , czyli o $66\frac23\%$ .
3. A to porównanie od $b$ , a nie od $a$ .
(0–1 pkt) Liczba mieszkańców miasta co roku rośnie o 2% w stosunku do roku poprzedniego. Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

1. Po dwóch latach liczba mieszkańców wzrośnie o $4{,}04\%$ . P / F
2. Po dziesięciu latach liczba mieszkańców wzrośnie o dokładnie $20\%$ . P / F
Odpowiedź
PF.
1. $1{,}02^2 = 1{,}0404$ .
2. $1{,}02^{10} \approx 1{,}219$ : wzrost o około $21{,}9\%$ , nie o $20\%$ .
(0–1 pkt) Kapitał 6000 zł po dwóch latach na lokacie z roczną kapitalizacją wzrósł do 6615 zł. Uzupełnij zdanie. Roczne oprocentowanie lokaty było równe ……… %.
Odpowiedź
$5$
1. $q^2 = \frac{6615}{6000} = 1{,}1025$
2. $q = 1{,}05$ .
(0–2 pkt) Na lokatę roczną wpłacono 8000 zł przy oprocentowaniu 4% w skali roku. Oblicz, o ile złotych więcej odsetek da kapitalizacja kwartalna niż roczna. Wynik zaokrąglij do 1 grosza. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Kwartalna. $8000\cdot 1{,}01^4 = 8000\cdot 1{,}04060401 \approx 8324{,}83\ \text{zł}.$
2. Roczna. $8000\cdot 1{,}04 = 8320$ zł.
3. Różnica. $8324{,}83 - 8320 = 4{,}83$ zł.
1 pkt za kwotę po roku przy kapitalizacji kwartalnej ( $8000\cdot 1{,}01^4$ ). 2 pkt za różnicę $4{,}83$ zł.

Uwaga: przyjęcie 4% na kwartał (zamiast 1%) to błąd metody: 0 pkt.
(0–2 pkt) W dwóch klasach jest razem 60 uczniów. Na wycieczkę pojechało 75% uczniów klasy A i 60% uczniów klasy B, razem 42 osoby. Oblicz, ilu uczniów jest w każdej klasie. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Układ. $\begin{cases} a + b = 60\\ 0{,}75a + 0{,}6b = 42 \end{cases}$
2. Rozwiązanie. $0{,}75a + 0{,}6(60 - a) = 42$ , więc $0{,}15a = 6$ i $a = 40$ .
3. Odpowiedź. klasa A: 40 uczniów, klasa B: 20 uczniów.
1 pkt za zapisanie układu równań (albo równania z jedną niewiadomą). 2 pkt za $a = 40$ , $b = 20$ .

Uwaga: odgadnięcie wyniku i sprawdzenie bez uzasadnienia, że jest jedyny: 1 pkt.