1.5 Podzielność i pierwsze dowody · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Przykład to nie dowód

Wyrażenie $n^2 + n + 41$ daje liczbę pierwszą dla $n = 0, 1, 2, \dots, 39$ . Czterdzieści sprawdzeń z rzędu — a mimo to dla $n = 40$ wychodzi $40^2 + 40 + 41 = 41^2$ , czyli liczba złożona. Dlatego w zadaniu „wykaż” sprawdzenie na przykładach daje 0 punktów: przykład pokazuje, że coś działa w jednym przypadku, a dowód musi działać dla każdej liczby z treści.

Na szczęście matura nie wymaga pomysłowości. Prawie wszystkie zadania o podzielności rozwiązuje jeden szablon: zapisz liczby w postaci ogólnej, przekształć wyrażenie do postaci „dzielnik razy liczba całkowita” i napisz wniosek.

1 Zapis ogólny liczb

Podzielność i reszty

Liczba całkowita $a$ jest podzielna przez $d \ne 0$ , gdy $a = d\cdot k$ dla pewnej liczby całkowitej $k$ .

Liczba parzysta: $2k$ ; nieparzysta: $2k + 1$ . Liczba dająca resztę $r$ z dzielenia przez $d$ : $dk + r$ , gdzie $0 \le r < d$ .

Z dwóch kolejnych liczb całkowitych $n$ , $n + 1$ jedna jest parzysta, więc $n(n + 1)$ jest parzyste. Z trzech kolejnych jedna dzieli się przez $3$ , więc $n(n + 1)(n + 2)$ dzieli się przez $6$ .

Gdy w zadaniu są dwie różne liczby, użyj dwóch różnych liter: $a = 5k + 1$ , $b = 5l + 4$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 6 min

Zapisz w postaci ogólnej: liczbę dającą resztę $3$ z dzielenia przez $7$ oraz sumę dwóch kolejnych liczb nieparzystych.
Odpowiedź
1. $7k + 3$
2. $(2k + 1) + (2k + 3) = 4k + 4 = 4(k + 1)$ : zawsze podzielna przez $4$ .
Rozłóż na czynniki: $n^2 + n$ , $\ n^3 - n$ , $\ 7n^2 + 14n$ .
Odpowiedź
1. $n^2 + n = n(n + 1)$
2. $n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1)$
3. $7n^2 + 14n = 7n(n + 2)$ .
Liczba $a$ daje resztę $2$ , a liczba $b$ resztę $3$ z dzielenia przez $5$ . Jaką resztę z dzielenia przez $5$ daje $a + b$ , a jaką $ab$ ?
Odpowiedź
1. $a + b = 5(k + l) + 5 = 5(k + l + 1)$ : reszta $0$ .
2. $ab = (5k + 2)(5l + 3) = 25kl + 15k + 10l + 6 = 5(5kl + 3k + 2l + 1) + 1$ : reszta $1$ .

2 Szablon dowodu podzielności

Szablon

Zapis: liczby z treści w postaci ogólnej (parzysta, nieparzysta, reszta…).
Przekształcenie: doprowadź wyrażenie do postaci $d\cdot W$ , gdzie $d$ to dzielnik z treści.
Uzasadnienie: napisz, że $W$ jest liczbą całkowitą (bo $k$ , $l$ są całkowite), a gdy trzeba, dlaczego jest parzyste.
Wniosek: „zatem liczba … jest podzielna przez $d$ ”, co kończy dowód.

W zasadach oceniania punkt za całość jest dopiero wtedy, gdy jest postać $d\cdot W$ razem z uzasadnieniem, że $W$ jest całkowite.

Przykład 2.1 Suma potęg

Wykaż, że liczba $3^{20} + 3^{21} + 3^{22}$ jest podzielna przez $13$ .

Wyłącz najmniejszą potęgę: $3^{20} + 3^{21} + 3^{22} = 3^{20}(1 + 3 + 9) = 13\cdot 3^{20}$ .
$3^{20}$ jest liczbą całkowitą.

Wniosek: liczba jest postaci $13\cdot k$ z całkowitym $k = 3^{20}$ , więc jest podzielna przez $13$ .

Przykład 2.2 Iloczyn z liczbą parzystą

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $5n^2 + 15n$ jest podzielna przez $10$ .

$5n^2 + 15n = 5n(n + 3)$ .
Liczby $n$ i $n + 3$ różnią się o liczbę nieparzystą, więc mają różną parzystość: jedna z nich jest parzysta. Zatem $n(n + 3) = 2m$ dla pewnego całkowitego $m$ .
$5n(n + 3) = 5\cdot 2m = 10m$ .

Wniosek: liczba $5n^2 + 15n$ jest podzielna przez $10$ .

Przykład 2.3 Liczba nieparzysta

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej $n$ liczba $n^2 + 4n + 7$ jest podzielna przez $4$ .

$n = 2k + 1$ , $k$ całkowite.
$(2k + 1)^2 + 4(2k + 1) + 7 = 4k^2 + 4k + 1 + 8k + 4 + 7 = 4k^2 + 12k + 12$ .
$= 4(k^2 + 3k + 3)$ , a $k^2 + 3k + 3$ jest całkowite.

Wniosek: liczba jest podzielna przez $4$ .

Przykład 2.4 Reszty z dzielenia (zadanie za 3 punkty)

Liczba całkowita $a$ daje resztę $2$ , a liczba całkowita $b$ resztę $5$ z dzielenia przez $7$ . Wykaż, że $a^2 - b^2$ jest podzielna przez $7$ .

$a = 7k + 2$ , $b = 7l + 5$ ( $k$ , $l$ całkowite, różne litery!).
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ , a $a + b = 7k + 7l + 7 = 7(k + l + 1)$ .
$a^2 - b^2 = 7(a - b)(k + l + 1)$ , gdzie $(a - b)(k + l + 1)$ jest całkowite.

Wniosek: $a^2 - b^2$ jest podzielna przez $7$ .

Punktacja w takim zadaniu: 1 pkt za zapis $a$ albo $b$ , 2 pkt za oba zapisy i rozwinięcie, 3 pkt za pełny dowód. Ta sama litera w obu zapisach ( $a = 7k + 2$ , $b = 7k + 5$ ) to założenie, że $b - a = 3$ , i za całe zadanie daje tylko 1 punkt.

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 15 min

Wykaż, że liczba $5^{12} + 5^{13}$ jest podzielna przez $30$ .
Odpowiedź
1. $5^{12}(1 + 5) = 6\cdot 5^{12} = 30\cdot 5^{11}$ .
2. $5^{11}$ jest całkowite, więc liczba jest podzielna przez $30$ .
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n^3 - n$ jest podzielna przez $6$ .
Odpowiedź
1. $n^3 - n = (n - 1)n(n + 1)$ : iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych.
2. Jedna z nich jest parzysta i jedna podzielna przez $3$ , więc iloczyn dzieli się przez $2\cdot 3 = 6$ .
Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez $8$ .
Odpowiedź
1. Liczby $2k + 1$ i $2k + 3$ .
2. $(2k + 3)^2 - (2k + 1)^2 = (2k + 3 - 2k - 1)(2k + 3 + 2k + 1) = 2(4k + 4) = 8(k + 1)$ .
3. $k + 1$ jest całkowite, więc różnica dzieli się przez $8$ .

3 Trzy klasyczne dowody

Te dowody nie są szablonowe, ale warto je znać, bo pokazują metodę „nie wprost”: zakładamy, że teza jest fałszywa, i dochodzimy do sprzeczności.

Przykład 3.1 Liczba $\sqrt2$ jest niewymierna

Wykaż, że $\sqrt2$ nie jest liczbą wymierną.

Załóżmy, że $\sqrt2 = \frac pq$ , gdzie $p$ , $q$ są całkowite, $q \ne 0$ , a ułamka nie da się skrócić.
Wtedy $p^2 = 2q^2$ , więc $p^2$ jest parzyste, a zatem $p$ jest parzyste: $p = 2m$ .
$4m^2 = 2q^2$ , czyli $q^2 = 2m^2$ : także $q$ jest parzyste.

Sprzeczność: $p$ i $q$ są parzyste, więc ułamek $\frac pq$ dało się skrócić przez $2$ . Zatem $\sqrt2$ nie jest wymierna.

Przykład 3.2 Liczba $\log_2 5$ jest niewymierna

Wykaż, że $\log_2 5$ nie jest liczbą wymierną.

$\log_2 5 > 0$ . Załóżmy, że $\log_2 5 = \frac pq$ z dodatnimi całkowitymi $p$ , $q$ .
Wtedy $2^{\frac pq} = 5$ , czyli $2^p = 5^q$ .

Sprzeczność: $2^p$ jest parzyste, a $5^q$ nieparzyste. Zatem $\log_2 5$ jest niewymierny.

Przykład 3.3 Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele

Wykaż, że nie istnieje największa liczba pierwsza.

Załóżmy, że wszystkie liczby pierwsze to $p_1, p_2, \dots, p_k$ .
Liczba $N = p_1 p_2\cdots p_k + 1$ przy dzieleniu przez każdą z nich daje resztę $1$ .
Ale każda liczba większa od $1$ ma dzielnik pierwszy, więc $N$ ma dzielnik pierwszy spoza listy.

Sprzeczność: lista nie zawierała wszystkich liczb pierwszych.

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 10 min

Wykaż, że $\log_3 2$ jest liczbą niewymierną.
Odpowiedź
1. $\log_3 2 > 0$ ; gdyby $\log_3 2 = \frac pq$ z dodatnimi całkowitymi $p, q$ , to $3^p = 2^q$ .
2. Lewa strona jest nieparzysta, prawa parzysta: sprzeczność.
Wykaż, że $\sqrt3$ jest liczbą niewymierną.

Wskazówka
Jeśli $p^2$ dzieli się przez $3$ , to $p$ dzieli się przez $3$ (bo $3$ jest liczbą pierwszą).
Odpowiedź
1. $\sqrt3 = \frac pq$ (nieskracalny) daje $p^2 = 3q^2$ , więc $3 \mid p$ , $p = 3m$ .
2. $9m^2 = 3q^2$ , czyli $q^2 = 3m^2$ , więc $3 \mid q$ .
3. Sprzeczność z nieskracalnością.

4 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 32 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · wyłączanie i rozkład

Zestawy A

Zapisz jako iloczyn liczby całkowitej i potęgi (wyłącz najmniejszą potęgę).
1. $2^{10} + 2^{11}$
2. $4^{6} + 2^{11}$
Odpowiedzi
a) $3\cdot 2^{10}$ b) $3\cdot 2^{11}$
Rozłóż na czynniki.
1. $6n^2 - 6n$
2. $n^3 - n$
Odpowiedzi
a) $6n(n - 1)$ b) $(n - 1)n(n + 1)$

Poziom B · zapis ogólny i reszty

Zestawy B

Podstaw $n = 2k + 1$ i zapisz wyrażenie w postaci $d\cdot W$ z największym możliwym $d$ niezależnym od $k$ .
1. $n^2 - 1$
2. $3n^2 + 1$
Wskazówka
$(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ . Iloczyn $k(k + 1)$ jest parzysty.

Odpowiedzi
a) $4k(k + 1)$ , czyli $8\cdot\frac{k(k + 1)}{2}$ : podzielne przez $8$ b) $4(3k^2 + 3k + 1)$
Jaką resztę z dzielenia przez podany dzielnik daje wyrażenie?
1. $a + b$ , gdy $a$ daje resztę $3$ , a $b$ resztę $4$ z dzielenia przez $5$
2. $a - b$ , gdy $a$ daje resztę $1$ , a $b$ resztę $5$ z dzielenia przez $6$
Odpowiedzi
a) $2$ b) $2$

Poziom C · kluczowy krok dowodu

Zestawy C

Podaj kluczowe przekształcenie, które dowodzi podzielności.
1. $2^{50} + 2^{52}$ przez $5$
2. $n^2 + n$ przez $2$
Odpowiedzi
a) $2^{50}(1 + 4) = 5\cdot 2^{50}$ b) $n(n + 1)$ : iloczyn kolejnych liczb

Pełny trening (32 przykładów i zadań) →

5 Na maturze

W każdym arkuszu podstawowym z lat 2025–2026 było zadanie „Wykaż”, zwykle za 2 punkty: suma potęg (wyłącz wspólny czynnik), wyrażenie od $n$ z iloczynem dwóch liczb o różnej parzystości, liczba nieparzysta zapisana jako $2k + 1$ , rzadziej reszty z dzielenia za 3 punkty. Łatwość w majowych sesjach: 32% (2025) i 41% (2026). Według sprawozdania CKE punkty traci się na źle rozwiniętych wzorach skróconego mnożenia, błędach przy wyłączaniu przed nawias, sprawdzaniu tezy na przykładach i braku wniosku na końcu. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 10 pkt · ok. 25 min

(0–1 pkt) Dana jest liczba $N = 2^{15}\cdot 3^{10}$ . Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

1. Liczba $N$ jest podzielna przez $36$ . P / F
2. Liczba $N$ jest kwadratem liczby całkowitej. P / F
Odpowiedź
PF.
1. $36 = 2^2\cdot 3^2$ , a $N$ zawiera $2^{15}$ i $3^{10}$ .
2. Kwadrat liczby całkowitej ma w rozkładzie same parzyste wykładniki, a $15$ jest nieparzyste.
(0–2 pkt) Wykaż, że liczba $2^{30} + 4^{14} + 8^9$ jest podzielna przez $11$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Wspólna podstawa. $2^{30} + 2^{28} + 2^{27}$ .
2. Wyłączenie czynnika. $2^{27}(2^3 + 2 + 1) = 11\cdot 2^{27}$ .
3. Wniosek. $2^{27}$ jest liczbą całkowitą, więc liczba jest podzielna przez $11$ .
1 pkt za zapisanie wszystkich składników jako potęg $2$ (albo za wyłączenie wspólnego czynnika). 2 pkt za postać $11\cdot 2^{27}$ z wnioskiem.
(0–2 pkt) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $3n^2 + 9n$ jest podzielna przez $6$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Rozkład. $3n^2 + 9n = 3n(n + 3)$ .
2. Parzystość. $n$ i $n + 3$ mają różną parzystość, więc $n(n + 3) = 2m$ dla całkowitego $m$ .
3. Wniosek. $3n(n + 3) = 6m$ : liczba jest podzielna przez $6$ .
1 pkt za zapis $3n(n + 3)$ . 2 pkt za uzasadnienie, że $n(n + 3)$ jest parzyste, i wniosek.

Uwagi: sprawdzenie dla kilku $n$ to 0 pkt. Zapis „ $3n(n + 3) = 0$ ” nie jest uzasadnieniem podzielności.
(0–2 pkt) Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej $n$ liczba $n^2 + 7$ jest podzielna przez $8$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Zapis. $n = 2k + 1$ , $k$ całkowite.
2. Przekształcenie. $(2k + 1)^2 + 7 = 4k^2 + 4k + 8 = 4\big(k(k + 1) + 2\big).$
3. Parzystość. $k(k + 1)$ jest parzyste, więc $k(k + 1) + 2 = 2m$ .
4. Wniosek. $n^2 + 7 = 8m$ .
1 pkt za zapis $n = 2k + 1$ i postać $4k^2 + 4k + 8$ (albo $4(k^2 + k + 2)$ ). 2 pkt za uzasadnienie podzielności przez $8$ .

Uwaga: postać $4(k^2 + k + 2)$ dowodzi tylko podzielności przez $4$ ; bez argumentu o parzystości $k(k + 1)$ jest 1 pkt.
(0–3 pkt) Liczba całkowita $a$ daje resztę $3$ , a liczba całkowita $b$ resztę $1$ z dzielenia przez $4$ . Wykaż, że liczba $a^2 - b^2$ jest podzielna przez $8$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Zapis. $a = 4k + 3$ , $b = 4l + 1$ , gdzie $k$ , $l$ całkowite.
2. Rozkład. $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ , gdzie $a - b = 4(k - l) + 2 = 2\big(2(k - l) + 1\big)$ i $a + b = 4(k + l + 1)$ .
3. Wniosek. $a^2 - b^2 = 8\big(2(k - l) + 1\big)(k + l + 1),$ a nawias jest liczbą całkowitą.
1 pkt za zapis $a = 4k + 3$ ALBO $b = 4l + 1$ . 2 pkt za oba zapisy i rozkład $a^2 - b^2$ (albo rozwinięcie kwadratów). 3 pkt za pełny dowód.

Uwaga: ta sama litera w obu zapisach ( $a = 4k + 3$ , $b = 4k + 1$ ): 1 pkt za całe zadanie.

6 Najczęstsze błędy

„Sprawdziłem dla $n = 1, 2, 3$ .”: To nie jest dowód: 0 punktów. Dowód musi działać dla każdej liczby z treści.
„ $a = 5k + 1$ , $b = 5k + 4$ .”: Ta sama litera oznacza, że $b = a + 3$ , czyli szczególny przypadek. Dla dwóch liczb potrzebne są dwie litery.
„Mam $4(k^2 + k + 2)$ , więc liczba dzieli się przez $8$ .”: Z tej postaci wynika tylko podzielność przez $4$ . Do $8$ brakuje argumentu, że nawias jest parzysty.
„Doszedłem do $7n(n + 3)$ i koniec.”: Trzeba napisać wniosek i uzasadnienie: dlaczego to jest podzielne przez dzielnik z treści.
„ $(2k + 1)^2 = 4k^2 + 1$ .”: Wzór skróconego mnożenia: $(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ . To najczęstszy błąd rachunkowy w tych zadaniach.

7 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jak zapisać liczbę dającą resztę

2

z dzielenia przez

3

$3k + 2$ , $k$ całkowite.

2 Dlaczego

n(n + 1)

jest zawsze parzyste?

Z dwóch kolejnych liczb całkowitych jedna jest parzysta.

3 Co musi się znaleźć na końcu dowodu podzielności?

Postać $d\cdot W$ , informacja, że $W$ jest całkowite, i wniosek.

4 Jak dowieść, że

3^{10} + 3^{11}

dzieli się przez

4

$3^{10}(1 + 3) = 4\cdot 3^{10}$ .

5 Na czym polega dowód nie wprost?

Zakładamy, że teza jest fałszywa, i dochodzimy do sprzeczności.

8 Karta wzorów i co dalej

Zapis ogólny

parzysta $2k$ , nieparzysta $2k + 1$ , reszta $r$ : $dk + r$

dwie liczby: dwie litery ( $k$ , $l$ )

$n(n + 1)$ parzyste; $n(n + 1)(n + 2)$ podzielne przez $6$

Szablon dowodu

zapis → przekształcenie do $d\cdot W$ → $W$ całkowite → wniosek

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

suma potęg: wyłącz najmniejszą potęgę

Wzory skróconego mnożenia są w broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Szablonu dowodu ani zapisu reszt broszura nie zawiera: to trzeba wyćwiczyć.

Dalej: wzory skróconego mnożenia i wyrażenia wymierne (lekcja 2.1 Wzory skróconego mnożenia i wyrażenia wymierne), bez których dowody podzielności się nie obejdą.