Matematyka i fizyka od podstaw
PLEN

Matura z matematyki › 1.5 Podzielność i pierwsze dowody › Trening · PDF do druku

Matura · poziom podstawowy · trening 1.5

Trening: podzielność i dowody

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 1.5 Podzielność i pierwsze dowody: wyłączanie wspólnego czynnika z sumy potęg, rozkład wyrażeń od nn, reszty z dzielenia i rozwinięcia, od których zaczyna się każdy dowód. Na końcu zadania „wykaż” w stylu arkusza.

Poziom A · wyłączanie i rozkład

Zestawy A

2 zestawy

  1. Zapisz jako iloczyn liczby całkowitej i potęgi (wyłącz najmniejszą potęgę).

    1. 210+2112^{10} + 2^{11}
    2. 58+59+5105^{8} + 5^{9} + 5^{10}
    3. 315−3133^{15} - 3^{13}
    4. 46+2114^{6} + 2^{11}
    5. 7n+7n+17^{n} + 7^{n+1}
    Odpowiedzi

    a) 3⋅2103\cdot 2^{10}   b) 31⋅5831\cdot 5^{8}   c) 8⋅3138\cdot 3^{13}   d) 3⋅2113\cdot 2^{11}   e) 8⋅7n8\cdot 7^{n}

  2. Rozłóż na czynniki.

    1. n2+3nn^2 + 3n
    2. 6n2−6n6n^2 - 6n
    3. n3+2n2+nn^3 + 2n^2 + n
    4. n3−nn^3 - n
    5. (n+1)2−(n−1)2(n + 1)^2 - (n - 1)^2
    Odpowiedzi

    a) n(n+3)n(n + 3)   b) 6n(n−1)6n(n - 1)   c) n(n+1)2n(n + 1)^2   d) (n−1)n(n+1)(n - 1)n(n + 1)   e) 4n4n

Poziom B · zapis ogólny i reszty

Zestawy B

2 zestawy

  1. Podstaw n=2k+1n = 2k + 1 i zapisz wyrażenie w postaci d⋅Wd\cdot W z największym możliwym dd niezależnym od kk.

    1. n2−1n^2 - 1
    2. n2+3n^2 + 3
    3. 3n2+13n^2 + 1
    4. n2+2n+1n^2 + 2n + 1
    Wskazówka

    (2k+1)2=4k2+4k+1(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1. Iloczyn k(k+1)k(k + 1) jest parzysty.

    Odpowiedzi

    a) 4k(k+1)4k(k + 1), czyli 8⋅k(k+1)28\cdot\frac{k(k + 1)}{2}: podzielne przez 88   b) 4(k2+k+1)4(k^2 + k + 1)   c) 4(3k2+3k+1)4(3k^2 + 3k + 1)   d) 4(k+1)24(k + 1)^2

  2. Jaką resztę z dzielenia przez podany dzielnik daje wyrażenie?

    1. a+ba + b, gdy aa daje resztę 33, a bb resztę 44 z dzielenia przez 55
    2. a⋅ba\cdot b, gdy aa daje resztę 22, a bb resztę 33 z dzielenia przez 44
    3. a2a^2, gdy aa daje resztę 22 z dzielenia przez 33
    4. a−ba - b, gdy aa daje resztę 11, a bb resztę 55 z dzielenia przez 66
    5. a2+b2a^2 + b^2, gdy aa daje resztę 11, a bb resztę 22 z dzielenia przez 55
    Odpowiedzi

    a) 22   b) 22   c) 11   d) 22   e) 00

Poziom C · kluczowy krok dowodu

Zestawy C

1 zestaw

  1. Podaj kluczowe przekształcenie, które dowodzi podzielności.

    1. 250+2522^{50} + 2^{52} przez 55
    2. 910−3189^{10} - 3^{18} przez 88
    3. n2+nn^2 + n przez 22
    4. 4n2+12n4n^2 + 12n przez 88
    5. 10012−99921001^2 - 999^2 przez 10001000
    6. n(n+1)(n+2)n(n + 1)(n + 2) przez 66
    Odpowiedzi

    a) 250(1+4)=5⋅2502^{50}(1 + 4) = 5\cdot 2^{50}   b) 320−318=318⋅83^{20} - 3^{18} = 3^{18}\cdot 8   c) n(n+1)n(n + 1): iloczyn kolejnych liczb   d) 4n(n+3)4n(n + 3), a n(n+3)n(n + 3) jest parzyste   e) (1001−999)(1001+999)=2⋅2000=4000(1001 - 999)(1001 + 999) = 2\cdot 2000 = 4000   f) trzy kolejne liczby: jedna parzysta, jedna podzielna przez 33

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE. W zadaniach „wykaż” sprawdzenie na przykładach daje 0 punktów; pełne punkty są za postać „dzielnik razy liczba całkowita” razem z uzasadnieniem i wnioskiem.

Zadania w stylu arkusza

7 zadań · 15 pkt

  1. (0–1 pkt) Dana jest liczba M=68⋅53M = 6^{8}\cdot 5^{3}. Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

    1. Liczba MM jest podzielna przez 10001000.   P / F
    2. Liczba MM jest podzielna przez 949^4.   P / F

    Odpowiedź

    PP.

    1. M=28⋅38⋅53M = 2^8\cdot 3^8\cdot 5^3, a 1000=23⋅531000 = 2^3\cdot 5^3.
    2. 94=389^4 = 3^8.

  2. (0–2 pkt) Wykaż, że liczba 340+919+27133^{40} + 9^{19} + 27^{13} jest podzielna przez 1313.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Wspólna podstawa. 340+338+3393^{40} + 3^{38} + 3^{39}.
    2. Wyłączenie. 338(9+1+3)=13⋅3383^{38}(9 + 1 + 3) = 13\cdot 3^{38}.
    3. Wniosek. 3383^{38} jest całkowite, więc liczba dzieli się przez 1313.

    1 pkt za sprowadzenie do potęg 33 albo wyłączenie wspólnego czynnika. 2 pkt za postać 13⋅33813\cdot 3^{38} z wnioskiem.

  3. (0–2 pkt) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nn liczba 7n2+7n7n^2 + 7n jest podzielna przez 1414.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Rozkład. 7n(n+1)7n(n + 1).
    2. Parzystość. n(n+1)n(n + 1) to iloczyn kolejnych liczb, więc n(n+1)=2mn(n + 1) = 2m.
    3. Wniosek. 7n(n+1)=14m7n(n + 1) = 14m.

    1 pkt za zapis 7n(n+1)7n(n + 1). 2 pkt za uzasadnienie parzystości i wniosek.

  4. (0–2 pkt) Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej nn liczba n2+4n+3n^2 + 4n + 3 jest podzielna przez 88.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Rozkład. n2+4n+3=(n+1)(n+3)n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3).
    2. Zapis. n=2k+1n = 2k + 1: (2k+2)(2k+4)=4(k+1)(k+2)(2k + 2)(2k + 4) = 4(k + 1)(k + 2).
    3. Parzystość. (k+1)(k+2)(k + 1)(k + 2) to iloczyn kolejnych liczb, więc jest parzysty: (k+1)(k+2)=2m(k + 1)(k + 2) = 2m.
    4. Wniosek. n2+4n+3=8mn^2 + 4n + 3 = 8m.

    1 pkt za postać 4(k+1)(k+2)4(k + 1)(k + 2) (albo 4k2+12k+84k^2 + 12k + 8). 2 pkt za uzasadnienie podzielności przez 88.

    Uwaga: zanim zaczniesz dowodzić, możesz sprawdzić tezę na jednym przykładzie (n=3n = 3: 9+12+3=249 + 12 + 3 = 24). To nie jest dowód, ale chroni przed pomyłką w przepisaniu treści.

  5. (0–2 pkt) Wykaż, że liczba 25012−249922501^2 - 2499^2 jest podzielna przez 10 00010\,000.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Różnica kwadratów. (2501−2499)(2501+2499)=2⋅5000(2501 - 2499)(2501 + 2499) = 2\cdot 5000.
    2. Wniosek. =10 000=10 000⋅1= 10\,000 = 10\,000\cdot 1.

    1 pkt za zastosowanie wzoru a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). 2 pkt za wynik 10 00010\,000 i wniosek.

  6. (0–3 pkt) Liczba całkowita aa daje resztę 11, a liczba całkowita bb resztę 22 z dzielenia przez 33. Wykaż, że liczba a2+ab+b2a^2 + ab + b^2 daje resztę 11 z dzielenia przez 33.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Zapis. a=3k+1a = 3k + 1, b=3l+2b = 3l + 2.
    2. Składniki. a2=9k2+6k+1a^2 = 9k^2 + 6k + 1,  ab=9kl+6k+3l+2\ ab = 9kl + 6k + 3l + 2,  b2=9l2+12l+4\ b^2 = 9l^2 + 12l + 4.
    3. Suma. a2+ab+b2=9k2+9kl+9l2+12k+15l+7=3(3k2+3kl+3l2+4k+5l+2)+1.a^2 + ab + b^2 = 9k^2 + 9kl + 9l^2 + 12k + 15l + 7 = 3(3k^2 + 3kl + 3l^2 + 4k + 5l + 2) + 1.
    4. Wniosek. Nawias jest całkowity, więc reszta wynosi 11.

    1 pkt za zapis a=3k+1a = 3k + 1 ALBO b=3l+2b = 3l + 2. 2 pkt za oba zapisy i rozwinięcie całego wyrażenia. 3 pkt za postać 3⋅W+13\cdot W + 1 z wnioskiem.

  7. (0–3 pkt) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nn liczba n5−nn^5 - n jest podzielna przez 66.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Rozkład. n5−n=n(n4−1)=n(n2−1)(n2+1)=(n−1)n(n+1)(n2+1)n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = (n - 1)n(n + 1)(n^2 + 1).
    2. Kolejne liczby. (n−1)n(n+1)(n - 1)n(n + 1) to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych: dzieli się przez 22 i przez 33.
    3. Wniosek. n5−n=6m(n2+1)n^5 - n = 6m(n^2 + 1) dla całkowitego mm: liczba dzieli się przez 66.

    1 pkt za rozkład n(n4−1)n(n^4 - 1) albo dalszy. 2 pkt za wyodrębnienie (n−1)n(n+1)(n - 1)n(n + 1). 3 pkt za pełne uzasadnienie podzielności przez 22 i przez 33.