1.3 Logarytmy · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Do jakiej potęgi?

Potęgowanie odpowiada na pytanie „ile to jest $2^5$ ?” (odpowiedź: $32$ ). Logarytm odpowiada na pytanie odwrotne: „do jakiej potęgi trzeba podnieść $2$ , żeby dostać $32$ ?” Odpowiedź to $5$ i zapisujemy ją jako $\log_2 32 = 5$ .

Kto o tym pamięta, ten liczy większość logarytmów z arkusza podstawowego w głowie: $\log_3 9 = 2$ , $\log_{10} 1000 = 3$ , $\log_2 \frac18 = -3$ . Trudniejsze przypadki, jak $\log_8 4$ , rozwiązuje ta sama technika co w lekcji o potęgach: wspólna podstawa.

1 Definicja logarytmu

Logarytm

\log_a b = c \quad\Longleftrightarrow\quad a^c = b, \qquad a > 0,\ a \ne 1,\ b > 0.

$a$ to podstawa, $b$ to liczba logarytmowana. Logarytm dziesiętny: $\log b = \log_{10} b$ .

Zawsze: $\log_a 1 = 0$ , $\ \log_a a = 1$ , $\ \log_a a^k = k$ , $\ a^{\log_a b} = b$ .

Przykład 1.1 Wspólna podstawa

Oblicz $\log_8 4$ .

Szukamy $c$ , dla którego $8^c = 4$ .
Wspólna podstawa: $(2^3)^c = 2^2$ , czyli $2^{3c} = 2^2$ .
$3c = 2$ , więc $c = \frac23$ .

Wynik: $\log_8 4 = \frac23$ .

Sprawdzenie: $8^{\frac23} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 4$ ✓.

Przykład 1.2 Logarytm z pierwiastka

Oblicz $\log_5 \sqrt[3]{25}$ .

$\sqrt[3]{25} = 25^{\frac13} = (5^2)^{\frac13} = 5^{\frac23}$ .
$\log_5 5^{\frac23} = \frac23$ .

Wynik: $\frac23$ .

Zadania · część 1

4 zadania · ok. 8 min

Oblicz $\log_3 81$ i $\log_2 \frac18$ .
Odpowiedź
1. $3^4 = 81$ , więc $\log_3 81 = 4$ .
2. $2^{-3} = \frac18$ , więc $\log_2\frac18 = -3$ .
Oblicz $\log_{\frac12} 4$ .
Odpowiedź
1. $\left(\frac12\right)^c = 4 = \left(\frac12\right)^{-2}$
2. $c = -2$ .
Oblicz $\log_4 8$ .
Odpowiedź
1. $2^{2c} = 2^3$
2. $c = \frac32$ .
Wyznacz $x$ , jeśli $\log_x 49 = 2$ .
Odpowiedź
1. $x^2 = 49$ , a podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od $1$ .
2. $x = 7$ ( $x = -7$ odpada).

2 Logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi

Wzory (dla $x, y > 0$ )

\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \qquad \log_a x^k = k\log_a x.

Czytaj wzory w obie strony: sumę logarytmów o tej samej podstawie zamieniasz na logarytm iloczynu, różnicę na logarytm ilorazu, a liczbę przed logarytmem wciągasz jako wykładnik.

Przykład 2.1 Różnica logarytmów

Oblicz $\log_3 54 - \log_3 2$ .

Różnica to logarytm ilorazu: $\log_3\frac{54}{2} = \log_3 27$ .
$3^3 = 27$ .

Wynik: $3$ .

Przykład 2.2 Liczba przed logarytmem

Oblicz $2\log_5 10 - \log_5 4$ .

$2\log_5 10 = \log_5 10^2 = \log_5 100$ .
$\log_5 100 - \log_5 4 = \log_5 25 = 2$ .

Wynik: $2$ .

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 8 min

Oblicz $\log_2 12 - \log_2 3$ .
Odpowiedź
1. $\log_2\frac{12}{3} = \log_2 4$
2. $= 2$ .
Oblicz $3\log 2 + \log 125$ .
Odpowiedź
1. $\log 8 + \log 125 = \log 1000$
2. $= 3$ .
Zapisz $\log_7 x + 2\log_7 y - \log_7 3$ jako jeden logarytm ( $x, y > 0$ ).
Odpowiedź
1. $\log_7 x + \log_7 y^2 - \log_7 3$
2. $= \log_7\dfrac{xy^2}{3}$ .

3 Zamiana podstawy (rozszerzenie)

Ta część dotyczy tylko poziomu rozszerzonego. Gdy logarytmy w zadaniu mają różne podstawy, sprowadzamy je do jednej.

Zamiana podstawy

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \qquad (a, c > 0,\ a, c \ne 1,\ b > 0).

Wnioski: $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ oraz $\log_a b\cdot\log_b c = \log_a c$ (łańcuch „skraca się” jak ułamki).

Przykład 3.1 Iloczyn logarytmów

Oblicz $\log_2 9\cdot\log_3 8$ .

$\log_2 9 = 2\log_2 3$ i $\log_3 8 = 3\log_3 2$ .
$\log_2 3\cdot\log_3 2 = 1$ (odwrotności).

Wynik: $2\cdot 3\cdot 1 = 6$ .

Zadania · część 3 (rozszerzenie)

3 zadania · ok. 10 min

Oblicz $\log_2 5\cdot\log_5 8$ .
Odpowiedź
1. $\log_2 5\cdot\log_5 8 = \log_2 8$
2. $= 3$ .
Oblicz $\dfrac{1}{\log_2 6} + \dfrac{1}{\log_3 6}$ .
Odpowiedź
1. $\dfrac{1}{\log_2 6} = \log_6 2$ i $\dfrac{1}{\log_3 6} = \log_6 3$
2. $\log_6 2 + \log_6 3 = \log_6 6 = 1$ .
Oblicz $16^{\log_4 3}$ .
Odpowiedź
1. $16^{\log_4 3} = \left(4^{\log_4 3}\right)^2$
2. $= 3^2 = 9$ .

4 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 36 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · definicja

Zestawy A

Oblicz.
1. $\log_2 64$
2. $\log_{25} 5$
Odpowiedzi
a) $6$ b) $\frac12$
Wyznacz $x$ .
1. $\log_x 49 = 2$
2. $\log_x 8 = \frac32$
Wskazówka
Zamień na potęgę: $\log_a b = c \iff a^c = b$ . Podstawa musi być dodatnia i różna od $1$ .

Odpowiedzi
a) $x = 7$ b) $x = 4$

Poziom B · wzory

Zestawy B

Oblicz.
1. $\log_6 3 + \log_6 12$
2. $2\log_3 6 - \log_3 4$
Odpowiedzi
a) $2$ b) $2$
Zapisz jako jeden logarytm (wszystkie litery oznaczają liczby dodatnie).
1. $2\log a - \log b$
2. $\log_7 2 + \log_7 x - \log_7 3$
Odpowiedzi
a) $\log\dfrac{a^2}{b}$ b) $\log_7\dfrac{2x}{3}$

Poziom C · zamiana podstawy (rozszerzenie)

Zestawy C

Oblicz.
1. $\log_2 3\cdot\log_3 16$
2. $\log_{\sqrt2} 8$
Wskazówka
$\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ oraz $\log_a b\cdot\log_b c = \log_a c$ .

Odpowiedzi
a) $4$ b) $6$

Pełny trening (36 przykładów i zadań) →

5 Na maturze

Na poziomie podstawowym w latach 2025–2026 w każdym arkuszu było jedno zadanie zamknięte z logarytmami: różnica lub suma logarytmów o tej samej podstawie, logarytm pierwiastka, zapis sumy logarytmów jako jednego logarytmu. W majowych sesjach rozwiązało je 78–80% zdających. Na poziomie rozszerzonym logarytmy pojawiają się w zadaniach otwartych za 2–3 punkty: „oblicz” wyrażenie z różnymi podstawami albo „wykaż” zależność, w której trzeba zamienić podstawę. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

7 zadań · 10 pkt · ok. 20 min

(0–1 pkt) Liczba $\log_9 3 - \log_9 27$ jest równa

A. $-1$ B. $1$ C. $-2$ D. $-24$
Odpowiedź
A.
1. $\log_9\frac{3}{27} = \log_9\frac19$
2. $= -1$ .
3. D to odjęcie liczb logarytmowanych.
(0–1 pkt) Liczba $\log_2 80 - \log_2 5$ jest równa

A. $4$ B. $16$ C. $\log_2 75$ D. $75$
Odpowiedź
A.
1. $\log_2\frac{80}{5} = \log_2 16$
2. $= 4$ .
(0–1 pkt) Liczba $\log_4\sqrt[3]{2}$ jest równa

A. $\dfrac16$ B. $\dfrac23$ C. $\dfrac13$ D. $\dfrac32$
Odpowiedź
A.
1. $\sqrt[3]{2} = 2^{\frac13} = 4^{\frac16}$
2. $\log_4 4^{\frac16} = \frac16$ .
3. C to $\log_2\sqrt[3]{2}$ .
(0–1 pkt) Dla dodatnich liczb $a$ i $b$ wyrażenie $\log_3 a + 4\log_3 b$ jest równe

A. $\log_3(ab^4)$ B. $\log_3(a + 4b)$ C. $4\log_3(ab)$ D. $\log_3(4ab)$
Odpowiedź
A.
1. $4\log_3 b = \log_3 b^4$
2. Suma logarytmów: $\log_3(ab^4)$ .
(0–1 pkt) Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

1. $3\log_2 5 = \log_2 125$ . P / F
2. $\log_2 5 + 1 = \log_2 6$ . P / F
Odpowiedź
PF.
1. $3\log_2 5 = \log_2 5^3 = \log_2 125$ .
2. $1 = \log_2 2$ , więc $\log_2 5 + 1 = \log_2 10$ , a nie $\log_2 6$ .
(0–2 pkt, poziom rozszerzony) Oblicz $\log_3 4\cdot\log_2 27$ . Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Potęgi. $\log_3 4 = 2\log_3 2$ , $\ \log_2 27 = 3\log_2 3$ .
2. Zamiana podstawy. $\log_3 2\cdot\log_2 3 = 1$ .
3. Wynik. $2\cdot 3 = 6$ .
1 pkt za sprowadzenie do jednej podstawy (np. $\frac{2\log 2}{\log 3}\cdot\frac{3\log 3}{\log 2}$ ) ALBO za zapis $\log_3 2\cdot\log_2 3 = 1$ . 2 pkt za wynik $6$ .
(0–3 pkt, poziom rozszerzony) Niech $a = \log_2 3$ . Wykaż, że $\log_{12} 18 = \dfrac{1 + 2a}{2 + a}$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Zamiana podstawy. $\log_{12} 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 12}.$
2. Rozkład. $\log_2 18 = \log_2(2\cdot 3^2) = 1 + 2a$ , $\ \log_2 12 = \log_2(2^2\cdot 3) = 2 + a$ .
3. Teza. $\log_{12} 18 = \dfrac{1 + 2a}{2 + a}$ , co kończy dowód.
1 pkt za zamianę podstawy na $2$ (albo inną wspólną). 2 pkt za zapisanie licznika lub mianownika przez $a$ . 3 pkt za pełne rozumowanie.

Uwaga: sprawdzenie równości na przybliżeniach z kalkulatora nie jest dowodem: 0 pkt.

6 Najczęstsze błędy

„ $\log(x + y) = \log x + \log y$ .”: Wzór dotyczy iloczynu: $\log(xy) = \log x + \log y$ . Logarytmu sumy nie da się rozbić.
„ $\log_9 3 - \log_9 27 = \log_9(3 - 27)$ .”: Różnica logarytmów to logarytm ilorazu: $\log_9\frac{3}{27}$ .
„ $\log_a b$ może być tylko dodatni.”: Logarytm może być ujemny ( $\log_2\frac14 = -2$ ) albo zerem ( $\log_a 1 = 0$ ). Dodatnia musi być liczba logarytmowana $b$ .
„ $\frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \log_2 2$ .”: Iloraz logarytmów to nie logarytm ilorazu: $\frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac32$ (i to jest $\log_4 8$ z zamiany podstawy).

7 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Co znaczy

\log_a b = c

$a^c = b$ .

2 Ile to

\log_a 1

\log_a a

$0$ i $1$ .

3 Jak zapisać

2\log x - \log y

jako jeden logarytm?

$\log\frac{x^2}{y}$ .

4 Ile to

\log_2 3\cdot\log_3 2

$1$ (zamiana podstawy).

5 Jakie warunki musi spełniać podstawa logarytmu?

$a > 0$ i $a \ne 1$ .

8 Karta wzorów i co dalej

Poziom podstawowy

$\log_a b = c \iff a^c = b$

$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$

$\log_a\frac xy = \log_a x - \log_a y$ , $\ \log_a x^k = k\log_a x$

Poziom rozszerzony

$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

$\log_a b\cdot\log_b c = \log_a c$

$a^{\log_a b} = b$

Definicja logarytmu, trzy wzory i zamiana podstawy są w broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” (rozdział 3). Odczytywania logarytmu „w głowie” przez wspólną podstawę broszura nie uczy.

Dalej: procenty i procent składany (lekcja 1.4 Procenty, procent składany, lokaty i kredyty). Funkcja logarytmiczna i jej zastosowania: lekcja 5.6 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna.