Matematyka i fizyka od podstaw
PLEN

Matura z matematyki › 1.3 Logarytmy › Trening · PDF do druku

Matura · poziom podstawowy, część rozszerzona · trening 1.3

Trening: logarytmy

Zestawy krótkich przykładów do lekcji 1.3 Logarytmy: logarytmy z definicji, wyznaczanie liczby lub podstawy, wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi, a na poziomie rozszerzonym zamiana podstawy. Na końcu zadania w stylu arkusza.

Poziom A · definicja

Zestawy A

2 zestawy

  1. Oblicz.

    1. log⁡264\log_2 64
    2. log⁡3127\log_3\frac{1}{27}
    3. log⁡0,01\log 0{,}01
    4. log⁡128\log_{\frac12} 8
    5. log⁡255\log_{25} 5
    6. log⁡432\log_4 32
    Odpowiedzi

    a) 66   b) −3-3   c) −2-2   d) −3-3   e) 12\frac12   f) 52\frac52

  2. Wyznacz xx.

    1. log⁡2x=5\log_2 x = 5
    2. log⁡x49=2\log_x 49 = 2
    3. log⁡3x=−2\log_3 x = -2
    4. log⁡x8=32\log_x 8 = \frac32
    5. log⁡5(x−1)=2\log_5(x - 1) = 2
    Wskazówka

    Zamień na potęgę: log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b. Podstawa musi być dodatnia i różna od 11.

    Odpowiedzi

    a) x=32x = 32   b) x=7x = 7   c) x=19x = \frac19   d) x=4x = 4   e) x=26x = 26

Poziom B · wzory

Zestawy B

2 zestawy

  1. Oblicz.

    1. log⁡63+log⁡612\log_6 3 + \log_6 12
    2. log⁡240−log⁡25\log_2 40 - \log_2 5
    3. 2log⁡36−log⁡342\log_3 6 - \log_3 4
    4. log⁡5+log⁡20\log 5 + \log 20
    5. 12log⁡216+log⁡212\frac12\log_2 16 + \log_2\frac12
    6. log⁡575−log⁡53\log_5 75 - \log_5 3
    Odpowiedzi

    a) 22   b) 33   c) 22   d) 22   e) 11   f) 22

  2. Zapisz jako jeden logarytm (wszystkie litery oznaczają liczby dodatnie).

    1. log⁡3x+log⁡3y\log_3 x + \log_3 y
    2. 2log⁡a−log⁡b2\log a - \log b
    3. log⁡2x+3\log_2 x + 3
    4. 12log⁡5x\frac12\log_5 x
    5. log⁡72+log⁡7x−log⁡73\log_7 2 + \log_7 x - \log_7 3
    Odpowiedzi

    a) log⁡3(xy)\log_3(xy)   b) log⁡a2b\log\dfrac{a^2}{b}   c) log⁡2(8x)\log_2(8x)   d) log⁡5x\log_5\sqrt x   e) log⁡72x3\log_7\dfrac{2x}{3}

Poziom C · zamiana podstawy (rozszerzenie)

Zestawy C

1 zestaw

  1. Oblicz.

    1. log⁡23⋅log⁡316\log_2 3\cdot\log_3 16
    2. log⁡49⋅log⁡32\log_4 9\cdot\log_3 2
    3. log⁡28\log_{\sqrt2} 8
    4. 9log⁡359^{\log_3 5}
    5. 1log⁡410+1log⁡2510\dfrac{1}{\log_4 10} + \dfrac{1}{\log_{25} 10}
    Wskazówka

    1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a oraz log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b\cdot\log_b c = \log_a c.

    Odpowiedzi

    a) 44   b) 11   c) 66   d) 2525   e) 22

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE. W zadaniach zamkniętych: dokończ zdanie, wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W zadaniach „prawda/fałsz” punkt jest tylko za obie oceny poprawne. Zadania oznaczone „poziom rozszerzony” wymagają zamiany podstawy.

Zadania w stylu arkusza

9 zadań · 13 pkt

  1. (0–1 pkt) Liczba log⁡52−log⁡550\log_5 2 - \log_5 50 jest równa

    A.−2-2B.22C.−48-48D.log⁡548\log_5 48
    Odpowiedź

    A.

    1. log⁡5250=log⁡5125\log_5\frac{2}{50} = \log_5\frac{1}{25}
    2. =−2= -2.

  2. (0–1 pkt) Liczba log⁡26+log⁡212−log⁡29\log_2 6 + \log_2 12 - \log_2 9 jest równa

    A.33B.log⁡29\log_2 9C.88D.22
    Odpowiedź

    A.

    1. log⁡26⋅129=log⁡28\log_2\frac{6\cdot 12}{9} = \log_2 8
    2. =3= 3.

  3. (0–1 pkt) Liczba log⁡934\log_9\sqrt[4]{3} jest równa

    A.18\dfrac18B.12\dfrac12C.22D.14\dfrac14
    Odpowiedź

    A.

    1. 34=314=918\sqrt[4]{3} = 3^{\frac14} = 9^{\frac18}
    2. log⁡9918=18\log_9 9^{\frac18} = \frac18.

  4. (0–1 pkt) Dla dodatnich liczb xx i yy wyrażenie log⁡x−3log⁡y+log⁡2\log x - 3\log y + \log 2 jest równe

    A.log⁡2xy3\log\dfrac{2x}{y^3}B.log⁡2x3y\log\dfrac{2x}{3y}C.log⁡(2x−y3)\log(2x - y^3)D.3log⁡2xy3\log\dfrac{2x}{y}
    Odpowiedź

    A.

    1. log⁡x+log⁡2−log⁡y3\log x + \log 2 - \log y^3
    2. =log⁡2xy3= \log\frac{2x}{y^3}.

  5. (0–1 pkt) Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

    1. log⁡42=12\log_4 2 = \frac12.   P / F
    2. log⁡39+log⁡39=log⁡318\log_3 9 + \log_3 9 = \log_3 18.   P / F

    Odpowiedź

    PF.

    1. 412=24^{\frac12} = 2.
    2. log⁡39+log⁡39=log⁡381=4\log_3 9 + \log_3 9 = \log_3 81 = 4, a log⁡318≠4\log_3 18 \ne 4.

  6. (0–1 pkt) Wiadomo, że log⁡2x=3\log_2 x = 3 i log⁡2y=5\log_2 y = 5. Uzupełnij zdanie. Liczba log⁡2(x2y)\log_2(x^2y) jest równa  ……… .

    Odpowiedź

    1111

    1. log⁡2(x2y)=2log⁡2x+log⁡2y\log_2(x^2y) = 2\log_2 x + \log_2 y
    2. =6+5=11= 6 + 5 = 11.

  7. (0–2 pkt) Oblicz log⁡2(log⁡381)+log⁡0,001\log_2(\log_3 81) + \log 0{,}001. Zapisz obliczenia.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Logarytm wewnętrzny. log⁡381=4\log_3 81 = 4, więc log⁡24=2\log_2 4 = 2.
    2. Drugi składnik. log⁡0,001=log⁡10−3=−3\log 0{,}001 = \log 10^{-3} = -3.
    3. Wynik. 2+(−3)=−12 + (-3) = -1.

    1 pkt za log⁡2(log⁡381)=2\log_2(\log_3 81) = 2 ALBO za log⁡0,001=−3\log 0{,}001 = -3. 2 pkt za wynik −1-1.

  8. (0–2 pkt, poziom rozszerzony) Oblicz 25log⁡53+log⁡23⋅log⁡33225^{\log_5 3} + \log_2 3\cdot\log_3 32. Zapisz obliczenia.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Potęga. 25log⁡53=(5log⁡53)2=925^{\log_5 3} = \left(5^{\log_5 3}\right)^2 = 9.
    2. Iloczyn. log⁡23⋅log⁡332=log⁡232=5\log_2 3\cdot\log_3 32 = \log_2 32 = 5.
    3. Wynik. 9+5=149 + 5 = 14.

    1 pkt za obliczenie jednego ze składników. 2 pkt za wynik 1414.

  9. (0–3 pkt, poziom rozszerzony) Wykaż, że log⁡23⋅log⁡34⋅log⁡45⋅log⁡56⋅log⁡67⋅log⁡78=3\log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\log_4 5\cdot\log_5 6\cdot\log_6 7\cdot\log_7 8 = 3.

    Rozwiązanie i punktacja
    1. Zamiana podstawy. Każdy czynnik zapisz jako iloraz logarytmów dziesiętnych: log⁡k(k+1)=log⁡(k+1)log⁡k\log_k (k + 1) = \dfrac{\log(k + 1)}{\log k}.
    2. Skracanie. log⁡3log⁡2⋅log⁡4log⁡3⋯log⁡8log⁡7=log⁡8log⁡2.\frac{\log 3}{\log 2}\cdot\frac{\log 4}{\log 3}\cdots\frac{\log 8}{\log 7} = \frac{\log 8}{\log 2}.
    3. Teza. log⁡8log⁡2=log⁡28=3\dfrac{\log 8}{\log 2} = \log_2 8 = 3.

    1 pkt za zapisanie co najmniej dwóch czynników przez wspólną podstawę. 2 pkt za doprowadzenie iloczynu do log⁡8log⁡2\frac{\log 8}{\log 2} (albo log⁡28\log_2 8). 3 pkt za pełne rozumowanie.