Trening: 1.1 Działania, przedziały i wartość bezwzględna

Poziom A · liczenie

Zestawy A

2 zestawy

Oblicz.
1. $(-2)^3 + 3\cdot(-1)^5$
2. $\frac12 - \frac23 + \frac34$
3. $\left(\frac25 - 1\right)\cdot\left(-\frac{10}{3}\right)$
4. $0{,}25\cdot(-4)^2 - 3$
5. $\left(1 - \frac13\right) : \left(\frac12 - \frac16\right)$
6. $2\sqrt3\cdot\sqrt{12}$
Odpowiedzi
a) $-11$ b) $\frac{7}{12}$ c) $2$ d) $1$ e) $2$ f) $12$
Zapisz bez wartości bezwzględnej i uprość.
1. $|\sqrt2 - 1|$
2. $|1 - \sqrt3|$
3. $|\sqrt5 - 3|$
4. $|\pi - 3| + |3 - \pi|$
5. $|2 - \sqrt5| + |\sqrt5 - 3|$
6. $|\sqrt{10} - 3| - |\sqrt{10} - 4|$
Wskazówka
Ustal znak wyrażenia pod modułem: porównaj kwadraty, np. $\sqrt{10}$ i $3 = \sqrt9$ .

Odpowiedzi
a) $\sqrt2 - 1$ b) $\sqrt3 - 1$ c) $3 - \sqrt5$ d) $2\pi - 6$ e) $1$ f) $2\sqrt{10} - 7$

Poziom B · przedziały

Zestawy B

2 zestawy

Zapisz zbiór jako przedział.
1. $x > -3$
2. $x \le 2$
3. $-1 \le x < 4$
4. $x \ge 0$ i $x \le 5$
5. $2 < x \le 7$
Odpowiedzi
a) $(-3,\,+\infty)$ b) $(-\infty,\,2]$ c) $[-1,\,4)$ d) $[0,\,5]$ e) $(2,\,7]$
Wyznacz $A \cap B$ i $A \cup B$ .
1. $A = [-3,\,4)$ , $B = (1,\,6]$
2. $A = (-\infty,\,2]$ , $B = (-1,\,5)$
3. $A = [0,\,3]$ , $B = [3,\,8)$
4. $A = (-5,\,-1)$ , $B = (1,\,4)$
5. $A = (-\infty,\,0)$ , $B = [-2,\,+\infty)$
Wskazówka
Narysuj oba przedziały na osi jeden pod drugim. Część wspólna: tam, gdzie są oba; koniec należy do niej tylko wtedy, gdy należy do obu zbiorów.

Odpowiedzi
a) $(1,\,4)$ ; $[-3,\,6]$ b) $(-1,\,2]$ ; $(-\infty,\,5)$ c) $\{3\}$ ; $[0,\,8)$ d) $\emptyset$ ; $(-5,\,-1) \cup (1,\,4)$ e) $[-2,\,0)$ ; $\mathbb{R}$

Poziom C · równania z modułem i nierówności liniowe

Zestawy C

2 zestawy

Rozwiąż równanie.
1. $|x - 4| = 3$
2. $|x + 2| = 5$
3. $|2x - 1| = 7$
4. $|x + 6| = 0$
5. $|3 - x| = -1$
6. $|x - 1| = |x - 5|$
Odpowiedzi
a) $x = 1$ lub $x = 7$ b) $x = -7$ lub $x = 3$ c) $x = -3$ lub $x = 4$ d) $x = -6$ e) brak rozwiązań f) $x = 3$ (punkt w równej odległości od $1$ i $5$ )
Rozwiąż nierówność i zapisz zbiór rozwiązań jako przedział.
1. $5 - 3(1 - x) \ge x - 8$
2. $2x - 1 < 5$
3. $-3x + 6 \ge 0$
4. $\frac{x - 1}{2} > x + 1$
5. $4(x + 1) - 3 \le 2(x - 1) + 5$
Wskazówka
Przy mnożeniu lub dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną zmień zwrot nierówności.

Odpowiedzi
a) $[-5,\,+\infty)$ b) $(-\infty,\,3)$ c) $(-\infty,\,2]$ d) $(-\infty,\,-3)$ e) $(-\infty,\,1]$

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE. W zadaniach zamkniętych: dokończ zdanie, wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W zadaniach „prawda/fałsz” punkt jest tylko za obie oceny poprawne. W zadaniach otwartych zapisz obliczenia.

Zadania w stylu arkusza

9 zadań · 12 pkt

(0–1 pkt) Suma wszystkich rozwiązań równania $|x + 1| = 4$ jest równa

A. $-2$ B. $2$ C. $8$ D. $-8$
Odpowiedź
A.
1. Rozwiązania $-5$ i $3$ .
2. Suma $-2 = 2\cdot(-1)$ .
(0–1 pkt) Liczba $|2 - \sqrt6| + |\sqrt6 - 3|$ jest równa

A. $1$ B. $2\sqrt6 - 5$ C. $5 - 2\sqrt6$ D. $-1$
Odpowiedź
A.
1. $2 < \sqrt6 < 3$ .
2. $(\sqrt6 - 2) + (3 - \sqrt6) = 1$ .
(0–1 pkt) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $7 - 2x \ge 1$ jest przedział

A. $(-\infty,\,3]$ B. $[3,\,+\infty)$ C. $(-\infty,\,3)$ D. $(-\infty,\,-3]$
Odpowiedź
A.
1. $-2x \ge -6$
2. Dzielenie przez $-2$ zmienia zwrot: $x \le 3$ .
3. B to brak zmiany zwrotu, C to zgubiony koniec.
(0–1 pkt) Dane są zbiory $A = (-\infty,\,1]$ i $B = [-3,\,4)$ . Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F, jeśli jest fałszywe.

1. $A \cap B = [-3,\,1]$ . P / F
2. Liczba $-4$ należy do zbioru $A \cap B$ . P / F
Odpowiedź
PF.
1. Część wspólna: od $-3$ (należy do $B$ ) do $1$ (należy do $A$ ).
2. $-4 \notin B$ , więc $-4 \notin A \cap B$ .
(0–1 pkt) Dane są zbiory $A = (-3,\,5]$ i $B = [1,\,9)$ . Uzupełnij zdanie. Do zbioru $A \cap B$ należy dokładnie ……… liczb całkowitych.
Odpowiedź
$5$
1. $A \cap B = [1,\,5]$ .
2. Liczby $1, 2, 3, 4, 5$ .
(0–1 pkt) Liczba $|\sqrt5 - 3|\cdot(3 + \sqrt5)$ jest równa

A. $4$ B. $-4$ C. $14$ D. $9 - \sqrt5$
Odpowiedź
A.
1. $|\sqrt5 - 3| = 3 - \sqrt5$ .
2. $(3 - \sqrt5)(3 + \sqrt5) = 9 - 5 = 4$ .
3. B to wynik bez zmiany znaku pod modułem.
(0–2 pkt) Rozwiąż równanie $|3x - 6| = 9$ i oblicz sumę jego rozwiązań. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Dwa przypadki. $3x - 6 = 9$ albo $3x - 6 = -9$ .
2. Rozwiązania. $x = 5$ albo $x = -1$ .
3. Suma. $5 + (-1) = 4$ .
1 pkt za zapisanie obu równań ALBO za jedno poprawne rozwiązanie. 2 pkt za oba rozwiązania i sumę $4$ .
(0–2 pkt) Oblicz wartość wyrażenia $(\sqrt3 - 2)^2 - |4\sqrt3 - 7|$ . Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Kwadrat. $(\sqrt3 - 2)^2 = 3 - 4\sqrt3 + 4 = 7 - 4\sqrt3$ .
2. Moduł. $4\sqrt3 = \sqrt{48} < \sqrt{49} = 7$ , więc $|4\sqrt3 - 7| = 7 - 4\sqrt3$ .
3. Wynik. $7 - 4\sqrt3 - (7 - 4\sqrt3) = 0$ .
1 pkt za rozwinięcie kwadratu ALBO za opuszczenie modułu z uzasadnieniem znaku. 2 pkt za wynik $0$ .

Uwaga: opuszczenie modułu bez sprawdzenia znaku (np. $|4\sqrt3 - 7| = 4\sqrt3 - 7$ ) prowadzi do $14 - 8\sqrt3$ i daje co najwyżej 1 pkt za kwadrat.
(0–2 pkt) Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność $2(x - 3) - (1 - x) < 5$ . Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Nierówność. $2x - 6 - 1 + x < 5$
2. $3x < 12$ , czyli $x < 4$ .
3. Odpowiedź. największa liczba całkowita to $3$ .
1 pkt za rozwiązanie nierówności $x < 4$ . 2 pkt za odpowiedź $3$ .

Uwaga: odpowiedź $4$ (pominięty znak ostry) to 1 pkt.