Trening: 3.4 Wyrażenia, równania i nierówności wymierne

Poziom A · wyrażenia

Zestawy A

1 zestaw

Uprość i podaj dziedzinę.
1. $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x + 1}$
2. $\dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{3}{x + 1}$
3. $\dfrac{x}{x - 2} - \dfrac{4}{x^2 - 2x}$
4. $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$
5. $\dfrac{2}{x + 3} + \dfrac{x - 1}{x^2 - 9}$
Odpowiedzi
a) $\dfrac{3x + 1}{x(x + 1)}$ ; $x \ne 0,\,-1$ b) $\dfrac{6}{x^2 - 1}$ ; $x \ne \pm 1$ c) $\dfrac{x + 2}{x}$ ; $x \ne 0,\,2$ d) $\dfrac{x - 3}{x}$ ; $x \ne 0,\,-3$ e) $\dfrac{3x - 7}{x^2 - 9}$ ; $x \ne \pm 3$

Poziom B · równania

Zestawy B

1 zestaw

Rozwiąż.
1. $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$
2. $\dfrac{x^2}{x + 2} = \dfrac{4}{x + 2}$
3. $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{4}{3}$
4. $\dfrac{x + 1}{x - 1} - \dfrac{x - 1}{x + 1} = \dfrac{8}{x^2 - 1}$
5. $\dfrac{2x}{x - 3} = \dfrac{6}{x - 3}$
Odpowiedzi
a) $-2$ b) $-2$ odrzucone; $2$ c) $-\tfrac32,\ 1$ d) $2$ e) brak rozwiązań

Poziom C · nierówności

Zestawy C

2 zestawy

Rozwiąż nierówność.
1. $\dfrac{x - 4}{x + 1} < 0$
2. $\dfrac{x + 2}{3 - x} \ge 0$
3. $\dfrac{3}{x - 2} > 1$
4. $\dfrac{x}{x - 1} \le 2$
5. $\dfrac{x^2 - 1}{x} > 0$
6. $\dfrac{(x - 2)^2}{x + 3} \le 0$
Odpowiedzi
a) $(-1,\,4)$ b) $[-2,\,3)$ c) $(2,\,5)$ d) $(-\infty,\,1) \cup [2,\,+\infty)$ e) $(-1,\,0) \cup (1,\,+\infty)$ f) $(-\infty,\,-3) \cup \{2\}$
Wyznacz wartości parametru.
1. $\dfrac{m + 4}{1 - m} > 0$
2. $\dfrac{m}{m - 2} < -1$
3. $\dfrac{m^2 - 1}{m + 2} \ge 0$
4. $\dfrac{2m + 6}{m^2} > 0$
Odpowiedzi
a) $(-4,\,1)$ b) $(1,\,2)$ c) $(-2,\,-1] \cup [1,\,+\infty)$ d) $(-3,\,0) \cup (0,\,+\infty)$

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu rozszerzonym CKE: zadania otwarte z punktowanymi etapami: dziedzina, jeden ułamek, nierówność wielomianowa, zbiór.

Zadania w stylu arkusza

3 zadania · 9 pkt

(0–3 pkt) Rozwiąż nierówność $\dfrac{2}{x - 1} \le \dfrac{1}{x + 1}$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Jeden ułamek. $\dfrac{2(x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{x + 3}{(x - 1)(x + 1)} \le 0$ , $x \ne \pm 1$ .
2. Wężyk. pierwiastki $-3$ , $-1$ , $1$ ; znaki od prawej: $+$ , $-$ , $+$ , $-$ .
3. Wynik. $x \in (-\infty,\,-3] \cup (-1,\,1)$ .
1 pkt za dziedzinę i jeden ułamek. 2 pkt za równoważną nierówność wielomianową. 3 pkt za zbiór.
(0–3 pkt) Rozwiąż równanie $\dfrac{x}{x + 3} + \dfrac{1}{x - 3} = \dfrac{6}{x^2 - 9}$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Dziedzina. $x \ne \pm 3$ .
2. Mnożenie. $x(x - 3) + (x + 3) = 6$ , czyli $x^2 - 2x - 3 = 0$ .
3. Wynik. $x = 3$ (poza dziedziną) albo $x = -1$ .
1 pkt za dziedzinę. 2 pkt za równanie kwadratowe z pierwiastkami. 3 pkt za $x = -1$ .
(0–3 pkt) Wyznacz wszystkie wartości $m$ , dla których $\dfrac{m + 6}{m - 2} > m$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Jeden ułamek. $\dfrac{m + 6 - m^2 + 2m}{m - 2} = \dfrac{-(m^2 - 3m - 6)}{m - 2} > 0$ .
2. Iloczyn. $(m^2 - 3m - 6)(m - 2) < 0$ ; pierwiastki trójmianu $\dfrac{3 \mp \sqrt{33}}{2}$ .
3. Kolejność. $\dfrac{3 - \sqrt{33}}{2} \approx -1{,}37 < 2 < \dfrac{3 + \sqrt{33}}{2} \approx 4{,}37$ ; znaki iloczynu od prawej: $+$ , $-$ , $+$ , $-$ .
4. Zbiór. $m \in \left(-\infty,\,\frac{3 - \sqrt{33}}{2}\right) \cup \left(2,\,\frac{3 + \sqrt{33}}{2}\right).$
1 pkt za jeden ułamek. 2 pkt za nierówność iloczynową z pierwiastkami. 3 pkt za zbiór.