2.2 Wielomiany: dzielenie, rozkład na czynniki, pierwiastki całkowite

0 Zgadnij jeden pierwiastek

Równania $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$ nie rozwiąże się deltą. Ale jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego, tu liczby $6$ . Kandydatów jest osiem: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Pierwszy działa: $1 - 2 - 5 + 6 = 0$ . Po podzieleniu przez $x - 1$ zostaje trójmian:

x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6) = (x - 1)(x - 3)(x + 2).

Jeden zgadnięty pierwiastek obniża stopień o jeden, a z trójmianem już sobie radzimy. Na tym schemacie opiera się cała lekcja.

1 Wielomian i równość wielomianów

Wielomian

$W(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ , $a_n \ne 0$ : wielomian stopnia $n$ ; $a_0$ to wyraz wolny, $W(0) = a_0$ .

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam stopień i równe współczynniki przy tych samych potęgach.

Liczba $a$ jest pierwiastkiem $W$ , gdy $W(a) = 0$ .

Przykład 1.1 Porównanie współczynników

Wyznacz $a$ i $b$ , dla których $(x - 2)(x^2 + ax + b) = x^3 - 5x^2 + 8x - 4$ .

Lewa strona: $x^3 + (a - 2)x^2 + (b - 2a)x - 2b$ .
Porównanie: $a - 2 = -5$ , $\ b - 2a = 8$ , $\ -2b = -4$ .
$a = -3$ , $b = 2$ (i wszystkie trzy równania się zgadzają: $2 + 6 = 8$ ✓).

Wynik: $a = -3$ , $b = 2$ , czyli $x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = (x - 2)(x^2 - 3x + 2) = (x - 2)^2(x - 1)$ .

Zadania · część 1

1 zadanie · ok. 4 min

Wyznacz $a$ i $b$ , dla których $(x + 1)(x^2 + ax + b) = x^3 + 4x^2 + 5x + 2$ .
Odpowiedź
1. $x^3 + (a + 1)x^2 + (a + b)x + b$
2. $a + 1 = 4$ , $a + b = 5$ , $b = 2$
3. $a = 3$ , $b = 2$ .

2 Dzielenie przez dwumian i twierdzenie o reszcie

Dzielenie z resztą i twierdzenie Bézouta

Dla wielomianu $W$ i liczby $a$ : $\ W(x) = (x - a)\,Q(x) + r$ , gdzie $Q$ ma stopień o jeden mniejszy, a reszta $r$ jest liczbą.

Twierdzenie o reszcie: $r = W(a)$ . W szczególności $W$ dzieli się przez $x - a$ wtedy i tylko wtedy, gdy $W(a) = 0$ .

Schemat Hornera (dzielenie przez $x - a$ ): przepisz pierwszy współczynnik, potem kolejno „pomnóż przez $a$ i dodaj następny współczynnik”. Ostatnia liczba to reszta.

Przykład 2.1 Schemat Hornera

Podziel $W(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ przez $x - 2$ .

Współczynniki $2, -3, 4, -5$ ; $a = 2$ .
$2$ ; $\ 2\cdot 2 - 3 = 1$ ; $\ 1\cdot 2 + 4 = 6$ ; $\ 6\cdot 2 - 5 = 7$ .

Wynik: $W(x) = (x - 2)(2x^2 + x + 6) + 7$ .

Sprawdzenie: $W(2) = 16 - 12 + 8 - 5 = 7$ ✓ (twierdzenie o reszcie).

Przykład 2.2 Parametr z twierdzenia o reszcie

Dla jakiej wartości $m$ wielomian $x^3 + mx^2 - 4x + 4$ jest podzielny przez $x - 2$ ?

Warunek: $W(2) = 8 + 4m - 8 + 4 = 4m + 4 = 0$ .

Wynik: $m = -1$ .

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 6 min

Oblicz resztę z dzielenia $W(x) = x^4 - 3x^2 + x - 2$ przez $x + 1$ .
Odpowiedź
1. $x + 1 = x - (-1)$ , więc $r = W(-1)$
2. $= 1 - 3 - 1 - 2 = -5$ .
Podziel $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ przez $x - 3$ .
Odpowiedź
1. Horner: $1$ ; $1\cdot 3 - 6 = -3$ ; $-3\cdot 3 + 11 = 2$ ; $2\cdot 3 - 6 = 0$ .
2. Iloraz $x^2 - 3x + 2$ , reszta $0$ .

3 Pierwiastki całkowite i rozkład

Pierwiastki wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych

Pierwiastek całkowity jest dzielnikiem wyrazu wolnego $a_0$ . Ogólniej: pierwiastek wymierny $\frac pq$ (nieskracalny) ma $p \mid a_0$ i $q \mid a_n$ .

Przepis: wypisz kandydatów, znajdź jeden pierwiastek $a$ , podziel przez $x - a$ , rozłóż iloraz. Pierwiastek wielokrotny: $a$ jest $k$ -krotny, gdy $(x - a)^k$ dzieli $W$ .

Przykład 3.1 Trzy pierwiastki całkowite

Rozwiąż równanie $x^3 + x^2 - 10x + 8 = 0$ .

Kandydaci: dzielniki $8$ , czyli $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8$ . $W(1) = 1 + 1 - 10 + 8 = 0$ .
Horner przez $x - 1$ : $1$ ; $2$ ; $-8$ ; $0$ . Iloraz $x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)$ .

Wynik: $x \in \{-4,\,1,\,2\}$ .

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 8 min

Rozłóż na czynniki $x^3 - 7x + 6$ .
Odpowiedź
1. $W(1) = 0$ ; Horner: $1$ ; $1$ ; $-6$ ; $0$ .
2. $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$
3. $W(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 3)$ .
Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu $2x^3 - 3x^2 - 3x + 2$ .
Odpowiedź
1. $W(2) = 16 - 12 - 6 + 2 = 0$ .
2. Horner przez $x - 2$ : $2$ ; $1$ ; $-1$ ; $0$ , iloraz $2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1)$ .
3. Pierwiastki $2$ , $\frac12$ , $-1$ .

4 Wzory na sześciany i dowody nierówności

Wzory na sześciany

\begin{aligned}(a \pm b)^3 &= a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\\ a^3 + b^3 &= (a + b)(a^2 - ab + b^2)\\ a^3 - b^3 &= (a - b)(a^2 + ab + b^2)\end{aligned}

Strategia dowodu nierówności $L \ge P$ : przenieś wszystko na jedną stronę, rozłóż $L - P$ na czynniki (grupowanie, wzory) i ustal znak każdego czynnika z założeń. Kwadrat jest nieujemny, a $a^2 + ab + b^2 > 0$ dla $(a, b) \ne (0, 0)$ .

Przykład 4.1 Dowód nierówności (typ za 3 punkty)

Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a^3 + b^3 \ge a^2b + ab^2$ .

$a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 = a^2(a - b) - b^2(a - b) = (a - b)(a^2 - b^2)$ .
$(a - b)(a - b)(a + b) = (a - b)^2(a + b)$ .
$(a - b)^2 \ge 0$ i $a + b > 0$ , więc iloczyn jest nieujemny.

Wniosek: $a^3 + b^3 - (a^2b + ab^2) \ge 0$ , co kończy dowód. Równość zachodzi tylko dla $a = b$ .

Punktacja w takich zadaniach: 1 pkt za przeniesienie na jedną stronę i grupowanie; 2 pkt za postać iloczynową z kwadratem; 3 pkt za uzasadnienie znaku wszystkich czynników.

Zadania · część 4

3 zadania · ok. 12 min

Rozłóż na czynniki $27x^3 - 8$ .

Odpowiedź
$(3x)^3 - 2^3 = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$ .
Wykaż, że $(x + 1)^3 - (x - 1)^3 = 6x^2 + 2$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ .
Odpowiedź
1. $(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)$
2. $= 6x^2 + 2$ .
Wykaż, że dla każdej liczby $x \ge -1$ prawdziwa jest nierówność $x^3 + 1 \ge x^2 + x$ .
Odpowiedź
1. $x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(x^2 - 1)$
2. $= (x - 1)^2(x + 1)$ .
3. $(x - 1)^2 \ge 0$ i $x + 1 \ge 0$ , więc iloczyn jest nieujemny.

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 43 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · reszta i dzielenie

Zestawy A

Oblicz resztę z dzielenia $W(x)$ przez podany dwumian.
1. $x^3 - 2x + 5$ , $\ x - 2$
2. $x^5 - 1$ , $\ x - 1$
Odpowiedzi
a) $9$ b) $0$
Podziel schematem Hornera (podaj iloraz i resztę).
1. $x^3 - 4x^2 + x + 6$ przez $x - 2$
2. $x^4 - 3x^3 + 2x - 5$ przez $x - 3$
Odpowiedzi
a) $x^2 - 2x - 3$ , $r = 0$ b) $x^3 + 2$ , $r = 1$

Poziom B · pierwiastki i rozkład

Zestawy B

Rozłóż na czynniki liniowe.
1. $x^3 - 3x^2 - x + 3$
2. $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$
Odpowiedzi
a) $(x - 3)(x - 1)(x + 1)$ b) $(x - 2)^3$
Rozwiąż równanie.
1. $x^3 - 7x - 6 = 0$
2. $x^4 - 2x^3 - x + 2 = 0$
Odpowiedzi
a) $-2,\ -1,\ 3$ b) $1,\ 2$
Wyznacz parametr.
1. $x^3 + mx - 6$ jest podzielny przez $x - 2$
Odpowiedzi
a) $m = -1$

Poziom C · sześciany i dowody

Zestawy C

Rozwiń albo rozłóż.
1. $(x + 2)^3$
2. $x^3 + 27$
Odpowiedzi
a) $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ b) $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$
Zapisz $L - P$ w postaci iloczynu, z którego widać znak.
1. $a^3 + b^3 \ge a^2b + ab^2$ , $\ a, b > 0$
2. $a^2 + \dfrac{2}{a} \ge 3$ , $\ a > 0$
Odpowiedzi
a) $(a - b)^2(a + b)$ b) $\dfrac{(a - 1)^2(a + 2)}{a}$

Pełny trening (43 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach rozszerzonych z lat 2025–2026 wielomiany pojawiały się głównie w dowodach nierówności za 3 punkty, w których kluczem był wzór na sześcian i rozkład na czynniki z kwadratem (łatwość 35% w 2025 i 44% w 2026). Szukanie pierwiastków całkowitych i dzielenie przez dwumian było w informatorze CKE i jest potrzebne w nierównościach wielomianowych (3.3 Nierówności wielomianowe i równania dwukwadratowe) oraz zadaniach z parametrem. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

4 zadania · 12 pkt · ok. 30 min

(0–2 pkt) Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $W(x) = x^{10} + x^5 + 1$ przez dwumian $x + 1$ . Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Twierdzenie o reszcie. $r = W(-1)$ .
2. Wynik. $(-1)^{10} + (-1)^5 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$ .
1 pkt za zapis $r = W(-1)$ . 2 pkt za $r = 1$ .
(0–3 pkt) Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $(a + b)^3 \ge 4ab(a + b)$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Jedna strona. $(a + b)^3 - 4ab(a + b) = (a + b)\big((a + b)^2 - 4ab\big)$ .
2. Kwadrat. $(a + b)^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ .
3. Znak. $(a + b)(a - b)^2 \ge 0$ , bo $a + b > 0$ i $(a - b)^2 \ge 0$ .
1 pkt za wyłączenie $a + b$ (albo rozwinięcie sześcianu i uporządkowanie). 2 pkt za postać $(a + b)(a - b)^2$ . 3 pkt za uzasadnienie znaku i wniosek.
(0–3 pkt) Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu $W(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Kandydaci. dzielniki $6$ : $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ .
2. Pierwiastek. $W(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$ .
3. Dzielenie. Horner przez $x + 1$ : $1$ ; $-5$ ; $6$ ; $0$ , iloraz $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ .
4. Odpowiedź. pierwiastki $-1$ , $2$ , $3$ .
1 pkt za wskazanie jednego pierwiastka z uzasadnieniem ( $W(-1) = 0$ ). 2 pkt za podzielenie przez $x + 1$ (albo rozkład przez grupowanie). 3 pkt za wszystkie pierwiastki.
(0–4 pkt) Wielomian $W(x) = x^3 + px^2 + qx - 6$ ma pierwiastek $1$ , a reszta z dzielenia $W$ przez $x + 1$ jest równa $-8$ . Wyznacz $p$ i $q$ oraz wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu $W$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Warunki. $W(1) = 1 + p + q - 6 = 0$ i $W(-1) = -1 + p - q - 6 = -8$ .
2. Układ. $p + q = 5$ , $p - q = -1$ , więc $p = 2$ , $q = 3$ .
3. Dzielenie. $x^3 + 2x^2 + 3x - 6 = (x - 1)(x^2 + 3x + 6)$ .
4. Trójmian. $\Delta = 9 - 24 < 0$ : brak pierwiastków.
5. Odpowiedź. $p = 2$ , $q = 3$ ; jedyny pierwiastek rzeczywisty to $1$ .
1 pkt za jeden z warunków $W(1) = 0$ albo $W(-1) = -8$ . 2 pkt za $p$ i $q$ . 3 pkt za rozkład $(x - 1)(x^2 + 3x + 6)$ . 4 pkt za uzasadnienie, że innych pierwiastków nie ma.

7 Najczęstsze błędy

„Reszta z dzielenia przez $x + 2$ to $W(2)$ .”: $x + 2 = x - (-2)$ , więc reszta to $W(-2)$ .
„W schemacie Hornera pomijam zerowe współczynniki.”: Każda potęga musi mieć swoje miejsce: $x^4 - 1$ to współczynniki $1, 0, 0, 0, -1$ .
„ $(a + b)^3 = a^3 + b^3$ .”: Brakuje $3a^2b + 3ab^2$ . Sprawdź: $(1 + 1)^3 = 8 \ne 2$ .
„Mam $(a - b)^2(a + b)$ , więc to jest dodatnie.”: Trzeba to uzasadnić z założeń: $(a - b)^2 \ge 0$ zawsze, a $a + b > 0$ , bo $a, b > 0$ . Bez tego zdania nie ma ostatniego punktu.

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jaka jest reszta z dzielenia

W(x)

przez

x - a

$W(a)$ .

2 Którzy kandydaci na pierwiastki całkowite ma

x^3 + \dots + 10

Dzielniki $10$ : $\pm1, \pm2, \pm5, \pm10$ .

3 Jak rozłożyć

x^3 + 8

$(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ .

4 Dlaczego

x^2 + x + 1 > 0

dla każdego

x

$\Delta = 1 - 4 < 0$ i współczynnik przy $x^2$ dodatni.

9 Karta wzorów i co dalej

Dzielenie i pierwiastki

$W(x) = (x - a)Q(x) + W(a)$

pierwiastek całkowity $\mid a_0$

Horner: mnóż przez $a$ , dodaj następny

Sześciany

$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$

$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$

Wzory na sześciany są w broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne”. Twierdzenia o reszcie, schematu Hornera i twierdzenia o pierwiastkach wymiernych broszura nie zawiera.

Dalej: nierówności wielomianowe (lekcja 3.3 Nierówności wielomianowe i równania dwukwadratowe) i wyrażenia wymierne na poziomie rozszerzonym (3.4 Wyrażenia, równania i nierówności wymierne).