Trening: 2.2 Wielomiany: dzielenie, rozkład na czynniki, pierwiastki całkowite

Poziom A · reszta i dzielenie

Zestawy A

2 zestawy

Oblicz resztę z dzielenia $W(x)$ przez podany dwumian.
1. $x^3 - 2x + 5$ , $\ x - 2$
2. $x^4 + x^3 - x - 1$ , $\ x + 1$
3. $2x^3 - x^2 + 3$ , $\ x + 2$
4. $x^5 - 1$ , $\ x - 1$
5. $x^4 - 2x^2 + 7$ , $\ x - 3$
6. $3x^3 + 2x - 4$ , $\ x + 1$
Odpowiedzi
a) $9$ b) $0$ c) $-17$ d) $0$ e) $70$ f) $-9$
Podziel schematem Hornera (podaj iloraz i resztę).
1. $x^3 - 4x^2 + x + 6$ przez $x - 2$
2. $2x^3 + 3x^2 - 1$ przez $x + 1$
3. $x^3 - 8$ przez $x - 2$
4. $x^4 - 3x^3 + 2x - 5$ przez $x - 3$
5. $x^3 + 2x^2 - 5x + 1$ przez $x - 1$
Odpowiedzi
a) $x^2 - 2x - 3$ , $r = 0$ b) $2x^2 + x - 1$ , $r = 0$ c) $x^2 + 2x + 4$ , $r = 0$ d) $x^3 + 2$ , $r = 1$ e) $x^2 + 3x - 2$ , $r = -1$

Poziom B · pierwiastki i rozkład

Zestawy B

3 zestawy

Rozłóż na czynniki liniowe.
1. $x^3 - 3x^2 - x + 3$
2. $x^3 + 2x^2 - 5x - 6$
3. $x^3 - 3x + 2$
4. $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$
5. $x^4 - 5x^2 + 4$
6. $2x^3 + x^2 - 8x - 4$
Odpowiedzi
a) $(x - 3)(x - 1)(x + 1)$ b) $(x + 3)(x + 1)(x - 2)$ c) $(x - 1)^2(x + 2)$ d) $(x - 2)^3$ e) $(x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 2)$ f) $(2x + 1)(x - 2)(x + 2)$
Rozwiąż równanie.
1. $x^3 - 7x - 6 = 0$
2. $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$
3. $x^3 - 2x^2 - 2x - 3 = 0$
4. $x^3 - x^2 - 3x + 3 = 0$
5. $x^4 - 2x^3 - x + 2 = 0$
Odpowiedzi
a) $-2,\ -1,\ 3$ b) $-2,\ -1,\ 2$ c) $3$ (trójmian $x^2 + x + 1$ bez pierwiastków) d) $1,\ -\sqrt3,\ \sqrt3$ e) $1,\ 2$
Wyznacz parametr.
1. $x^3 + mx - 6$ jest podzielny przez $x - 2$
2. reszta z dzielenia $x^3 - 2x^2 + m$ przez $x + 1$ jest równa $4$
3. $x = -3$ jest pierwiastkiem $2x^3 + mx^2 - 9$
4. $x^3 + ax^2 + bx + 2$ dzieli się przez $x - 1$ i przez $x + 2$
Odpowiedzi
a) $m = -1$ b) $m = 7$ c) $m = 7$ d) $a = 0$ , $b = -3$

Poziom C · sześciany i dowody

Zestawy C

2 zestawy

Rozwiń albo rozłóż.
1. $(x + 2)^3$
2. $(2a - b)^3$
3. $x^3 + 27$
4. $8a^3 - 1$
5. $(1 + \sqrt2)^3$
6. $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Odpowiedzi
a) $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$ b) $8a^3 - 12a^2b + 6ab^2 - b^3$ c) $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$ d) $(2a - 1)(4a^2 + 2a + 1)$ e) $7 + 5\sqrt2$ f) $(a - b)^3$
Zapisz $L - P$ w postaci iloczynu, z którego widać znak.
1. $a^3 + b^3 \ge a^2b + ab^2$ , $\ a, b > 0$
2. $x^3 + 1 \ge x^2 + x$ , $\ x \ge -1$
3. $(a + b)^3 \ge 4ab(a + b)$ , $\ a, b > 0$
4. $x^3 - 3x + 2 \ge 0$ , $\ x \ge -2$
5. $a^2 + \dfrac{2}{a} \ge 3$ , $\ a > 0$
Odpowiedzi
a) $(a - b)^2(a + b)$ b) $(x - 1)^2(x + 1)$ c) $(a + b)(a - b)^2$ d) $(x - 1)^2(x + 2)$ e) $\dfrac{(a - 1)^2(a + 2)}{a}$

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu rozszerzonym CKE: krótkie zadania zamknięte i zadania otwarte z pełnym rozwiązaniem. W dowodach ostatni punkt jest zawsze za uzasadnienie znaku każdego czynnika.

Zadania w stylu arkusza

6 zadań · 14 pkt

(0–1 pkt) Reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 1$ przez dwumian $x - 2$ jest równa

A. $-31$ B. $1$ C. $5$ D. $9$
Odpowiedź
C.
1. $r = W(2)$
2. $= 8 - 12 + 10 - 1 = 5$ .
3. A to $W(-2)$ : znak pomylony przy $x - 2$ .
(0–1 pkt) Wielomian $x^3 + mx^2 + 3x - 2$ jest podzielny przez dwumian $x + 1$ dla

A. $m = -6$ B. $m = 0$ C. $m = 2$ D. $m = 6$
Odpowiedź
D.
1. $W(-1) = -1 + m - 3 - 2 = m - 6$
2. $m - 6 = 0$ , więc $m = 6$ .
(0–2 pkt) Wielomian $W(x) = 2x^3 - 5x^2 + ax + 6$ jest podzielny przez dwumian $x - 3$ . Oblicz $a$ i podaj iloraz z dzielenia $W$ przez $x - 3$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Warunek. $W(3) = 54 - 45 + 3a + 6 = 3a + 15 = 0$ , więc $a = -5$ .
2. Horner. współczynniki $2, -5, -5, 6$ i $a = 3$ : $2$ ; $1$ ; $-2$ ; $0$ .
3. Iloraz. $2x^2 + x - 2$ .
1 pkt za $a = -5$ . 2 pkt za iloraz $2x^2 + x - 2$ .
(0–3 pkt) Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ takich, że $a \ne 3b$ , prawdziwa jest nierówność $(a + 3b)^3 > 12ab(a + 3b)$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Jedna strona. $(a + 3b)^3 - 12ab(a + 3b) = (a + 3b)\big((a + 3b)^2 - 12ab\big)$ .
2. Kwadrat. $(a + 3b)^2 - 12ab = a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2$ .
3. Znak. $a + 3b > 0$ , bo $a, b > 0$ ; $(a - 3b)^2 > 0$ , bo $a \ne 3b$ . Iloczyn jest dodatni.
1 pkt za wyłączenie $a + 3b$ albo rozwinięcie sześcianu i uporządkowanie. 2 pkt za postać $(a + 3b)(a - 3b)^2 > 0$ . 3 pkt za uzasadnienie znaku obu czynników, z wykorzystaniem $a \ne 3b$ .

Uwaga: bez założenia $a \ne 3b$ nierówność byłaby tylko nieostra; ostrość wynika właśnie z tego założenia i trzeba to napisać.
(0–3 pkt) Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $a$ prawdziwa jest nierówność $a^2 + \dfrac{54}{a} \ge 27$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Mnożenie przez $a > 0$ . $a^3 + 54 \ge 27a$ , czyli $a^3 - 27a + 54 \ge 0$ .
2. Pierwiastek. dla $a = 3$ : $27 - 81 + 54 = 0$ ; Horner przez $a - 3$ : $1$ ; $3$ ; $-18$ ; $0$ .
3. Rozkład. $a^2 + 3a - 18 = (a - 3)(a + 6)$ , więc $a^3 - 27a + 54 = (a - 3)^2(a + 6)$ .
4. Znak. $(a - 3)^2 \ge 0$ i $a + 6 > 0$ , więc wyrażenie jest nieujemne.
1 pkt za przekształcenie do $a^3 - 27a + 54 \ge 0$ (z uzasadnieniem, że $a > 0$ ). 2 pkt za rozkład $(a - 3)^2(a + 6)$ . 3 pkt za uzasadnienie znaku.
(0–4 pkt) Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu $W(x) = x^3 - 6x^2 + 6x + 4$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Kandydaci. dzielniki $4$ : $\pm1, \pm2, \pm4$ .
2. Pierwiastek. $W(2) = 8 - 24 + 12 + 4 = 0$ .
3. Dzielenie. Horner przez $x - 2$ : $1$ ; $-4$ ; $-2$ ; $0$ , iloraz $x^2 - 4x - 2$ .
4. Trójmian. $\Delta = 16 + 8 = 24$ , $\sqrt\Delta = 2\sqrt6$ : $x = \frac{4 \pm 2\sqrt6}{2} = 2 \pm \sqrt6.$
5. Odpowiedź. pierwiastki $2$ , $2 - \sqrt6$ , $2 + \sqrt6$ .
1 pkt za listę kandydatów albo wskazanie pierwiastka $2$ . 2 pkt za sprawdzenie $W(2) = 0$ i podzielenie. 3 pkt za poprawny iloraz i $\Delta$ . 4 pkt za wszystkie trzy pierwiastki.