Trening: 3.2 Równania i nierówności kwadratowe, równania wielomianowe w postaci iloczynowej

Poziom A · równania

Zestawy A

1 zestaw

Rozwiąż równanie.
1. $3x^2 = 12x$
2. $x^2 - 49 = 0$
3. $2x^2 + 8 = 0$
4. $x^2 + 2x - 15 = 0$
5. $2x^2 - 7x + 3 = 0$
6. $x^2 - 2x - 1 = 0$
Odpowiedzi
a) $0,\ 4$ b) $-7,\ 7$ c) brak rozwiązań d) $-5,\ 3$ e) $\tfrac12,\ 3$ f) $1 - \sqrt2,\ 1 + \sqrt2$

Poziom B · nierówności

Zestawy B

2 zestawy

Rozwiąż nierówność.
1. $x^2 - 3x - 10 < 0$
2. $x^2 \ge 16$
3. $-2x^2 + 8x \ge 0$
4. $x^2 + 4x + 4 > 0$
5. $x^2 - x + 3 \le 0$
6. $-x^2 + 2x + 8 > 0$
Odpowiedzi
a) $(-2,\,5)$ b) $(-\infty,\,-4] \cup [4,\,+\infty)$ c) $[0,\,4]$ d) $\mathbb R \setminus \{-2\}$ e) $\varnothing$ f) $(-2,\,4)$
Przenieś na jedną stronę i rozwiąż.
1. $x(x + 3) \le 10$
2. $x(x - 5) > x - 9$
3. $(x - 1)(x + 4) \ge 6$
4. $3x^2 + 2x < x^2 + 4$
5. $2x^2 \le 5x$
Odpowiedzi
a) $[-5,\,2]$ b) $(-\infty,\,3) \cup (3,\,+\infty)$ c) $(-\infty,\,-5] \cup [2,\,+\infty)$ d) $(-2,\,1)$ e) $[0,\,\tfrac52]$

Poziom C · iloczyn i równania wymierne

Zestawy C

2 zestawy

Podaj liczbę rozwiązań (albo ich sumę, gdy napisano „suma”).
1. $2x(x - 3)(x^2 + 4) = 0$
2. $(x + 1)^2(x^2 - 9) = 0$
3. $x^2(x^2 - 2)(x^2 + x + 2) = 0$
4. suma: $3(x - 2)(x + 5)(2x - 1) = 0$
5. $(x - 4)(x^2 - 8x + 16) = 0$
Odpowiedzi
a) $2$ b) $3$ c) $3$ d) $-\tfrac52$ e) $1$
Rozwiąż (z dziedziną).
1. $\dfrac{x + 3}{x} = \dfrac{x}{2}$
2. $\dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{2}{x}$
3. $\dfrac{2x - 1}{x + 1} = \dfrac{x}{x - 1}$
4. $\dfrac{x + 4}{x - 2} = x$
Odpowiedzi
a) $x \ne 0$ ; $1 - \sqrt7,\ 1 + \sqrt7$ b) $x \ne 0,1$ ; brak rozwiązań ( $\Delta < 0$ ) c) $x \ne \pm1$ ; $2 - \sqrt3,\ 2 + \sqrt3$ d) $x \ne 2$ ; $-1,\ 4$

Zadania maturalne

Formy zadań jak w arkuszu CKE. Nierówność kwadratowa jest punktowana stałym schematem: 1 punkt za pierwiastki, 2 punkty za zbiór rozwiązań.

Zadania w stylu arkusza

5 zadań · 8 pkt

(0–2 pkt) Rozwiąż nierówność $x(x + 7) > 2x - 6$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Jedna strona. $x^2 + 5x + 6 > 0$ .
2. Pierwiastki. $\Delta = 1$ , $x_1 = -3$ , $x_2 = -2$ .
3. Zbiór. $x \in (-\infty,\,-3) \cup (-2,\,+\infty)$ .
1 pkt za pierwiastki. 2 pkt za zbiór.
(0–2 pkt) Rozwiąż nierówność $4x^2 - 9 \le 4x(x - 1) + 3$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Uproszczenie. $4x^2 - 9 \le 4x^2 - 4x + 3$ , czyli $4x \le 12$ .
2. Wynik. $x \le 3$ : $(-\infty,\,3]$ .
1 pkt za nierówność liniową $4x \le 12$ . 2 pkt za zbiór.

Uwaga: wyrazy $4x^2$ się redukują. Kto liczy $\Delta$ dla „trójmianu” bez sprawdzenia, ten rozwiązuje inną nierówność.
(0–1 pkt) Równanie $3(x - 5)(x^2 - 3)(x^2 + 2x + 4) = 0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

A.jedno rozwiązanieB.dwa rozwiązaniaC.trzy rozwiązaniaD.pięć rozwiązań
Odpowiedź
C.
1. $5$ , $\pm\sqrt3$ ; $\ x^2 + 2x + 4$ ma $\Delta = -12$ .
(0–1 pkt) Suma wszystkich rozwiązań równania $2(x + 4)(x - 1)(3x - 9) = 0$ jest równa

A. $-2$ B. $0$ C. $4$ D. $6$
Odpowiedź
B.
1. $-4 + 1 + 3 = 0$ .
2. D to $-4 + 1 + 9$ : zapomniany dzielnik $3$ .
(0–2 pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania $\dfrac{x + 6}{x} = x$ należące do przedziału $(-\infty,\,0)$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Równanie. $x \ne 0$ ; $x + 6 = x^2$ , czyli $x^2 - x - 6 = 0$ .
2. Wybór. pierwiastki $-2$ i $3$ ; do przedziału należy $-2$ .
1 pkt za oba pierwiastki. 2 pkt za wybór $x = -2$ .