5.2 Funkcja liniowa · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Dwie liczby, cały wykres

Taksówka liczy $8$ zł za wejście i $3$ zł za każdy kilometr: $f(x) = 3x + 8$ . Liczba $8$ to cena przy $x = 0$ , czyli punkt $(0,\,8)$ na osi $Oy$ . Liczba $3$ mówi, o ile rośnie cena, gdy przejedziesz kilometr dalej. Każde pytanie o funkcję liniową sprowadza się do tych dwóch ról: $b$ to start na osi $Oy$ , $a$ to zmiana na jednostkę.

1 Co znaczą $a$ i $b$

Funkcja liniowa $f(x) = ax + b$

Wykres to prosta przecinająca oś $Oy$ w punkcie $(0,\,b)$ .
$a$ to współczynnik kierunkowy: $a > 0$ rosnąca, $a < 0$ malejąca, $a = 0$ stała.
$a = \operatorname{tg}\alpha$ , gdzie $\alpha$ to kąt nachylenia prostej do osi $Ox$ (dla $a < 0$ kąt jest rozwarty).
Miejsce zerowe dla $a \ne 0$ : $x_0 = -\dfrac{b}{a}$ . Dla $a = 0$ : brak miejsca zerowego, gdy $b \ne 0$ , każda liczba, gdy $b = 0$ .
Przez punkty $(x_1,\,y_1)$ i $(x_2,\,y_2)$ , $x_1 \ne x_2$ : $\ a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

Przykład 1.1 Znaki z rysunku

Prosta jest wykresem funkcji $f(x) = ax + b$ , opada w prawo i przecina oś $Oy$ poniżej zera. Jakie są znaki $a$ i $b$ ? Czy miejsce zerowe jest dodatnie?

Opada, więc $a < 0$ . Przecina $Oy$ poniżej zera, więc $b < 0$ .
$x_0 = -\dfrac{b}{a}$ : iloraz dwóch liczb ujemnych jest dodatni, z minusem ujemny.

Wynik: $a < 0$ , $b < 0$ , miejsce zerowe ujemne (prosta przecina $Ox$ na lewo od zera, co widać też na rysunku).

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

Podaj miejsce zerowe i punkt przecięcia z osią $Oy$ wykresu $f(x) = -\tfrac23 x + 4$ .
Odpowiedź
1. $-\tfrac23 x + 4 = 0$ , więc $x = 6$ .
2. Przecięcie z $Oy$ : $(0,\,4)$ .
Prosta $y = ax + b$ jest nachylona do osi $Ox$ pod kątem $60^\circ$ i przechodzi przez punkt $(0,\,-2)$ . Podaj jej wzór.
Odpowiedź
1. $a = \operatorname{tg}60^\circ = \sqrt3$ , $b = -2$ .
2. $y = \sqrt3\,x - 2$ .

2 Wzór z dwóch informacji

Dwa nieznane współczynniki wymagają dwóch informacji: dwóch punktów, punktu i kąta, miejsca zerowego i wartości w zerze. Każda informacja to jedno równanie.

Przykład 2.1 Prosta przez dwa punkty

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty $A = (-2,\,7)$ i $B = (4,\,-2)$ .

$a = \dfrac{-2 - 7}{4 - (-2)} = \dfrac{-9}{6} = -\dfrac32$ .
Z punktu $A$ : $7 = -\tfrac32 \cdot (-2) + b = 3 + b$ , więc $b = 4$ .

Wynik: $f(x) = -\tfrac32 x + 4$ .

Sprawdzenie: $f(4) = -6 + 4 = -2$ ✓.

Przykład 2.2 Miejsce zerowe i wartość w zerze

Funkcja liniowa ma miejsce zerowe $4$ , a $f(0) = 2$ . Podaj wzór.

$f(0) = b = 2$ .
$f(4) = 4a + 2 = 0$ , więc $a = -\tfrac12$ .

Wynik: $f(x) = -\tfrac12 x + 2$ .

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 6 min

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez $(1,\,1)$ i $(3,\,7)$ .
Odpowiedź
1. $a = \dfrac{7 - 1}{3 - 1} = 3$
2. $1 = 3 + b$ , więc $b = -2$ .
3. $f(x) = 3x - 2$ .
Wykres funkcji liniowej przechodzi przez punkt $(2,\,5)$ i jest równoległy do wykresu $y = -3x + 1$ . Podaj wzór.
Odpowiedź
1. Równoległe: $a = -3$ .
2. $5 = -6 + b$ , więc $b = 11$ .
3. $f(x) = -3x + 11$ .

3 Parametr: monotoniczność, miejsce zerowe, równoległość

Warunki dla $f(x) = ax + b$ , gdy $a$ i $b$ zależą od parametru

rosnąca $\iff a > 0$ ; malejąca $\iff a < 0$ ; stała $\iff a = 0$ ;
brak miejsca zerowego $\iff a = 0$ i $b \ne 0$ ;
wykresy $y = a_1x + b_1$ i $y = a_2x + b_2$ są równoległe $\iff a_1 = a_2$ ; nie mają punktów wspólnych $\iff a_1 = a_2$ i $b_1 \ne b_2$ .

Przykład 3.1 Malejąca dla jakich $k$ ?

Funkcja $f(x) = (2k - 6)x + k$ jest malejąca. Wyznacz $k$ .

Warunek dotyczy tylko $a$ : $2k - 6 < 0$ .
$k < 3$ . Wyraz wolny $k$ nie ma wpływu na monotoniczność.

Wynik: $k \in (-\infty,\,3)$ .

Zadania · część 3

2 zadania · ok. 6 min

Dla jakiej wartości $m$ funkcja $f(x) = (m + 4)x - 2$ nie ma miejsca zerowego?
Odpowiedź
1. Potrzeba $a = 0$ i $b \ne 0$ : $m + 4 = 0$ , a $b = -2 \ne 0$ ✓.
2. $m = -4$ .
Dla jakiej wartości $m$ wykresy $y = (3m - 1)x + 2$ i $y = 5x - 4$ nie mają punktów wspólnych?
Odpowiedź
1. $3m - 1 = 5$ , więc $m = 2$ .
2. Wyrazy wolne $2 \ne -4$ , więc proste są równoległe i różne.

4 Przesunięcie wykresu

Przesunięcia

Wykres $y = f(x - p) + q$ powstaje z wykresu $y = f(x)$ przez przesunięcie o $p$ w prawo i o $q$ w górę. Dla funkcji liniowej: $f(x - p) = a(x - p) + b = ax - ap + b$ . Współczynnik kierunkowy się nie zmienia, zmienia się tylko wyraz wolny.

Przykład 4.1 Przesunięcie w prawo

Wykres $f(x) = 4x$ przesunięto o $2$ jednostki w prawo. Podaj wzór funkcji $g$ .

$g(x) = f(x - 2) = 4(x - 2)$ .
$g(x) = 4x - 8$ .

Wynik: $g(x) = 4x - 8$ . Częsty błąd to $4x - 2$ : odjęcie $2$ od wartości przesuwa wykres w dół, a nie w prawo.

Zadania · część 4

2 zadania · ok. 4 min

Wykres $f(x) = -2x + 1$ przesunięto o $3$ jednostki w górę. Podaj wzór i miejsce zerowe nowej funkcji.
Odpowiedź
1. $g(x) = -2x + 4$
2. miejsce zerowe $2$ .
Wykres $f(x) = \tfrac12 x - 3$ przesunięto o $4$ jednostki w lewo. Podaj wzór.
Odpowiedź
1. $g(x) = f(x + 4) = \tfrac12(x + 4) - 3$
2. $= \tfrac12 x - 1$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 38 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · odczyt ze wzoru

Zestawy A

Podaj miejsce zerowe i punkt przecięcia wykresu z osią $Oy$ .
1. $f(x) = 2x - 8$
2. $f(x) = -\tfrac34 x - 3$
Odpowiedzi
a) $4$ ; $(0,\,-8)$ b) $-4$ ; $(0,\,-3)$
Podaj kąt nachylenia wykresu do osi $Ox$ .
1. $y = x + 2$
2. $y = -x + 4$
Odpowiedzi
a) $45^\circ$ b) $135^\circ$

Poziom B · wzór z dwóch informacji

Zestawy B

Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez podane punkty.
1. $(0,\,3)$ i $(2,\,7)$
2. $(-3,\,5)$ i $(3,\,-3)$
Odpowiedzi
a) $y = 2x + 3$ b) $y = -\tfrac43 x + 1$
Wyznacz wzór funkcji liniowej spełniającej warunki.
1. miejsce zerowe $-4$ , $f(0) = -2$
Odpowiedzi
a) $y = -\tfrac12 x - 2$

Poziom C · parametr i przesunięcia

Zestawy C

Wyznacz wszystkie wartości parametru.
1. $f(x) = (m - 5)x + 2$ jest rosnąca
2. $f(x) = (2m + 1)x + 7$ nie ma miejsca zerowego
Odpowiedzi
a) $m > 5$ b) $m = -\tfrac12$
Podaj wzór funkcji $g$ po przesunięciu wykresu $f$ .
1. $f(x) = 2x$ , o $3$ w prawo
2. $f(x) = 4x + 1$ , o $1$ w lewo i o $2$ w dół
Odpowiedzi
a) $g(x) = 2x - 6$ b) $g(x) = 4x + 3$

Pełny trening (38 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

Funkcja liniowa to w arkuszach z lat 2024–2026 prawie wyłącznie zadania za 1 punkt: zamknięte i P/F. Według sprawozdań CKE w maju 2025 zadanie o parametrze, dla którego funkcja nie ma miejsca zerowego, rozwiązało 72% zdających, tyle samo co odczyt znaków $a$ i $b$ z rysunku w maju 2026. Wyraźnie słabiej (55%) wypadło w 2026 zadanie z kątem nachylenia, czyli z równością $a = \operatorname{tg}\alpha$ . Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

4 zadania · 5 pkt · ok. 10 min

(0–1 pkt) Funkcja $f(x) = \tfrac13 x - k$ ma miejsce zerowe większe od $6$ . Wynika stąd, że

A. $k \in (-\infty,\,2)$ B. $k \in (2,\,+\infty)$ C. $k \in (-\infty,\,18)$ D. $k \in (18,\,+\infty)$
Odpowiedź
B.
1. $\tfrac13 x - k = 0$ , więc $x_0 = 3k$ .
2. $3k > 6$ , więc $k > 2$ .
(0–1 pkt) Wykres funkcji $f(x) = -3x$ przesunięto o $2$ jednostki w lewo. Otrzymano wykres funkcji

A. $g(x) = -3x - 6$ B. $g(x) = -3x + 6$ C. $g(x) = -3x + 2$ D. $g(x) = -3x - 2$
Odpowiedź
A.
1. $g(x) = f(x + 2) = -3(x + 2)$
2. $= -3x - 6$ .
(0–1 pkt) Dana jest funkcja $f(x) = (k - 1)x + (k + 4)$ . Oceń prawdziwość zdań. Wybierz P albo F.

1. Funkcja $f$ jest rosnąca dla każdego $k \in (-4,\,+\infty)$ . P F
2. Wykres funkcji $f$ przechodzi przez punkt $(0,\,6)$ dla $k = 2$ . P F
Odpowiedź
FP.
1. Rosnąca $\iff k - 1 > 0$ , czyli $k > 1$ ; np. dla $k = 0$ funkcja maleje. Liczba $-4$ pochodzi z wyrazu wolnego, który nie decyduje o monotoniczności.
2. $f(0) = k + 4 = 6$ dla $k = 2$ .
(0–2 pkt) Wykres funkcji $f(x) = 2x + m^2 - 4m$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,\,-4)$ . Oblicz $m$ . Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie i punktacja
1. Warunek. $f(0) = m^2 - 4m = -4$ .
2. Równanie. $m^2 - 4m + 4 = 0$ , czyli $(m - 2)^2 = 0$ .
3. Wynik. $m = 2$ (jedyne rozwiązanie).
1 pkt za równanie $m^2 - 4m = -4$ . 2 pkt za $m = 2$ z uzasadnieniem, że innych rozwiązań nie ma.

Uwaga: samo podanie $m = 2$ (np. zgadnięte) bez rozwiązania równania daje 1 pkt.

7 Najczęstsze błędy

„ $f(x) = (k + 2)x + (k - 3)$ maleje dla $k < 3$ .”: O monotoniczności decyduje tylko $a = k + 2$ : maleje dla $k < -2$ .
„Przesunięcie o $2$ w prawo to $f(x) - 2$ .”: $f(x) - 2$ to przesunięcie w dół. W prawo: $f(x - 2)$ .
„Kąt nachylenia $y = -x + 3$ to $-45^\circ$ .”: Kąt nachylenia do osi $Ox$ mierzy się od dodatniej półosi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: $\operatorname{tg}\alpha = -1$ , $\alpha = 135^\circ$ .
„Proste równoległe to te z tym samym $b$ .”: Równoległość to równe $a$ . Równe $b$ oznacza wspólny punkt na osi $Oy$ .

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Gdzie wykres

y = 5x - 7

przecina oś

Oy

W $(0,\,-7)$ .

2 Kiedy funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego?

Gdy $a = 0$ i $b \ne 0$ .

3 Jaki jest współczynnik kierunkowy prostej nachylonej pod kątem

30^\circ

$\operatorname{tg}30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{3}$ .

4 Co się dzieje z

a

po przesunięciu wykresu?

Nic: zmienia się tylko wyraz wolny.

9 Karta wzorów i co dalej

Współczynniki

$(0,\,b)$ na osi $Oy$ , $\ x_0 = -\tfrac ba$

$a = \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$a > 0$ rośnie, $a < 0$ maleje

Warunki

równoległe: $a_1 = a_2$

brak zera: $a = 0$ , $b \ne 0$

w prawo o $p$ : $f(x - p)$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne”, w części o prostych w układzie współrzędnych, są: równanie $y = ax + b$ z $a = \operatorname{tg}\alpha$ , punkt $(0,\,b)$ , prosta przez punkt i przez dwa punkty oraz warunek równoległości $a_1 = a_2$ . Nie ma w niej wzoru na miejsce zerowe ani warunków z parametrem. Przesunięcie jest podane tylko dla punktu: wektor $[a,\,b]$ przenosi $(x,\,y)$ na $(x + a,\,y + b)$ . Regułę $y = f(x - p) + q$ trzeba z tego wyprowadzić samodzielnie.

Dalej: funkcja kwadratowa (lekcja 5.3 Funkcja kwadratowa: trzy postacie i wykres), a z rachunku: układy równań liniowych (3.2 Równania i nierówności kwadratowe, równania wielomianowe w postaci iloczynowej).