5.5 Proporcjonalność odwrotna · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Więcej koparek, mniej dni

Cztery koparki wykopują rów w $15$ dni. Ile dni zajmie to sześciu koparkom pracującym tak samo? Praca to „koparko-dni”: $4 \cdot 15 = 60$ . Sześć koparek potrzebuje $60 : 6 = 10$ dni. Odpowiedź „ $22{,}5$ dnia” z proporcji $\frac{4}{15} = \frac{6}{x}$ jest typowym błędem: więcej koparek nie może oznaczać dłuższej pracy. Pytanie kontrolne zawsze brzmi: czy stały jest iloraz, czy iloczyn?

1 Stały iloczyn

Proporcjonalność odwrotna

Wielkości $x$ i $y$ (różne od zera) są odwrotnie proporcjonalne, gdy $x \cdot y = a$ dla stałej $a \ne 0$ , czyli $y = \dfrac{a}{x}$ . Liczba $a$ to współczynnik proporcjonalności.

Test w tabeli: wszystkie iloczyny $x \cdot y$ są równe. Dla proporcjonalności prostej równe są ilorazy $\frac yx$ .

Przykład 1.1 Brakująca wartość w tabeli

Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne. Dla $x = 20$ jest $y = 15$ . Oblicz $y$ dla $x = 25$ .

$a = 20 \cdot 15 = 300$ .
$y = \dfrac{300}{25} = 12$ .

Wynik: $y = 12$ . Z proporcji prostej wyszłoby $18{,}75$ : rośnie $x$ , więc w proporcjonalności odwrotnej $y$ musi zmaleć.

Zadania · część 1

2 zadania · ok. 4 min

Czy wielkości z tabeli są odwrotnie proporcjonalne? $x$ : $2$ , $3$ , $8$ ; $y$ : $12$ , $8$ , $3$ .

Odpowiedź
Tak: $2 \cdot 12 = 3 \cdot 8 = 8 \cdot 3 = 24$ .
$x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne, $y = 6$ dla $x = \tfrac12$ . Podaj wzór $y(x)$ i oblicz $y(4)$ .
Odpowiedź
1. $a = \tfrac12 \cdot 6 = 3$ , więc $y = \dfrac3x$ .
2. $y(4) = \tfrac34$ .

2 Wykres $y = \frac ax$

Hiperbola

Dziedzina i zbiór wartości: $\mathbb R \setminus \{0\}$ . Asymptoty: osie układu.
$a > 0$ : gałęzie w ćwiartkach I i III, funkcja malejąca w $(-\infty,\,0)$ i osobno w $(0,\,+\infty)$ .
$a < 0$ : gałęzie w ćwiartkach II i IV, funkcja rosnąca w każdym z tych przedziałów.
Funkcja nie jest malejąca w całej dziedzinie: dla $a > 0$ mamy $-1 < 1$ , ale $f(-1) < f(1)$ .
Punkt $(x_0,\,y_0)$ leży na wykresie $\iff x_0 y_0 = a$ .

Przykład 2.1 Współczynnik z punktu

Punkt $P = (-3,\,4)$ leży na wykresie $y = \frac ax$ . Wyznacz $a$ i sprawdź, czy punkt $Q = (6,\,-2)$ też na nim leży.

$a = (-3) \cdot 4 = -12$ .
$6 \cdot (-2) = -12$ ✓.

Wynik: $a = -12$ ; $Q$ leży na wykresie. Gałęzie są w ćwiartkach II i IV.

Zadania · część 2

2 zadania · ok. 4 min

Wykres $y = \frac ax$ przechodzi przez $(2,\,5)$ . Oblicz wartość funkcji dla $x = -4$ .
Odpowiedź
1. $a = 10$
2. $y(-4) = -\tfrac{10}{4} = -\tfrac52$ .
Funkcja $f(x) = \frac{a}{x}$ jest rosnąca w przedziale $(0,\,+\infty)$ i $f(2) = -3$ . Wyznacz $a$ i rozwiąż nierówność $f(x) > -1$ dla $x > 0$ .
Odpowiedź
1. $a = 2 \cdot (-3) = -6 < 0$ ✓ (rosnąca).
2. $-\dfrac6x > -1$ ; dla $x > 0$ mnożymy przez $x$ : $-6 > -x$ , czyli $x > 6$ .

3 Zadania z treścią

Typowe pary odwrotnie proporcjonalne przy stałej trzeciej wielkości: prędkość i czas (stała droga), liczba pracowników i czas (stała praca), liczba osób i udział każdej osoby (stała kwota), długość i szerokość prostokąta (stałe pole).

Przykład 3.1 Prędkość i czas

Pociąg pokonuje trasę w $3$ h, jadąc ze średnią prędkością $80$ km/h. O ile procent musiałby zwiększyć prędkość, żeby przejechać tę trasę w $2{,}5$ h?

Droga: $80 \cdot 3 = 240$ km. Nowa prędkość: $240 : 2{,}5 = 96$ km/h.
$\dfrac{96 - 80}{80} = 0{,}2$ .

Wynik: o $20\%$ . Czas skrócił się o $\tfrac16 \approx 16{,}7\%$ , a prędkość wzrosła o $20\%$ : przy proporcjonalności odwrotnej procenty nie są symetryczne.

Zadania · część 3

1 zadanie · ok. 3 min

Kwotę nagrody podzielono równo między $8$ osób i każda dostała $450$ zł. Ile dostałaby każda osoba, gdyby nagrodę podzielono między $12$ osób?
Odpowiedź
1. Kwota $8 \cdot 450 = 3600$ zł.
2. $3600 : 12 = 300$ zł.

4 R: przesunięta hiperbola i punkty kratowe

Funkcja $y = \dfrac{a}{x - p} + q$

Wykres powstaje z $y = \frac ax$ przez przesunięcie o wektor $[p,\,q]$ ; asymptoty $x = p$ i $y = q$ . Funkcję postaci $\dfrac{mx + n}{x - p}$ sprowadza się do tej postaci, wydzielając część całkowitą: $mx + n = m(x - p) + (mp + n)$ .

Punkty kratowe (o obu współrzędnych całkowitych) dla $y = q + \dfrac{a}{x - p}$ z całkowitymi $a, p, q$ : $y$ jest całkowite $\iff (x - p)$ dzieli $a$ .

Przykład 4.1 Wszystkie punkty kratowe

Wyznacz wszystkie punkty o obu współrzędnych całkowitych leżące na wykresie $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ .

$2x + 1 = 2(x - 3) + 7$ , więc $f(x) = 2 + \dfrac{7}{x - 3}$ .
$x - 3 \in \{-7,\,-1,\,1,\,7\}$ , czyli $x \in \{-4,\,2,\,4,\,10\}$ .
$f(-4) = 2 - 1 = 1$ , $\ f(2) = 2 - 7 = -5$ , $\ f(4) = 9$ , $\ f(10) = 3$ .

Wynik: $(-4,\,1)$ , $(2,\,-5)$ , $(4,\,9)$ , $(10,\,3)$ .

Zadania · część 4 (R)

2 zadania · ok. 8 min

Zapisz $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ w postaci $q + \dfrac{a}{x - p}$ i podaj asymptoty wykresu.
Odpowiedź
1. $3x - 1 = 3(x + 2) - 7$
2. $f(x) = 3 - \dfrac{7}{x + 2}$
3. asymptoty $x = -2$ , $y = 3$ .
Ile punktów kratowych leży na wykresie $f(x) = \dfrac{x + 5}{x + 1}$ ?
Odpowiedź
1. $f(x) = 1 + \dfrac{4}{x + 1}$ .
2. $x + 1 \in \{\pm1,\,\pm2,\,\pm4\}$ : sześć wartości.
3. Sześć punktów: $(0,\,5)$ , $(-2,\,-3)$ , $(1,\,3)$ , $(-3,\,-1)$ , $(3,\,2)$ , $(-5,\,0)$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 27 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · tabela i współczynnik

Zestawy A

$x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne. Oblicz brakującą wartość.
1. $x = 4$ , $y = 9$ ; $\ y$ dla $x = 6$
2. $x = \tfrac23$ , $y = 6$ ; $\ y$ dla $x = 2$
Odpowiedzi
a) $6$ b) $2$
Wykres $y = \frac ax$ przechodzi przez podany punkt. Podaj $a$ i ćwiartki, w których leży wykres.
1. $(3,\,-2)$
Odpowiedzi
a) $a = -6$ ; II i IV

Poziom B · zadania z treścią

Zestawy B

Oblicz.
1. $6$ pomp opróżnia zbiornik w $10$ h; ile godzin zajmie to $4$ pompom?
2. czas skrócono o $20\%$ ; o ile procent wzrosła prędkość?
Odpowiedzi
a) $15$ h b) $25\%$

Poziom C · R: postać $q + \frac{a}{x - p}$

Zestawy C

Zapisz w postaci $q + \dfrac{a}{x - p}$ i podaj asymptoty.
1. $\dfrac{x + 3}{x - 1}$
Odpowiedzi
a) $1 + \dfrac{4}{x - 1}$ ; $x = 1$ , $y = 1$
Ile punktów kratowych leży na wykresie?
1. $y = 1 + \dfrac{6}{x - 2}$
Odpowiedzi
a) $8$

Pełny trening (27 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach z lat 2024–2026 proporcjonalność odwrotna pojawiła się rzadko: na poziomie podstawowym jako zadanie zamknięte z tabelą (pułapką była w nim proporcja prosta), a w informatorze dla poziomu rozszerzonego jako zadanie za 3 punkty o punktach kratowych na wykresie funkcji $\frac{mx + n}{x - p}$ . Sprawozdania CKE nie podają dla nich danych, bo nie pochodziły z sesji majowych. Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

4 zadania · 6 pkt · ok. 15 min

(0–1 pkt) Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne. Dla $x = 16$ jest $y = 12$ . Dla $x = 24$ wartość $y$ jest równa

A. $4$ B. $8$ C. $18$ D. $32$
Odpowiedź
B.
1. $16 \cdot 12 = 192$
2. $192 : 24 = 8$ .
3. C to wynik proporcji prostej.
(0–1 pkt) Wykres funkcji $f(x) = \dfrac{a}{x}$ przechodzi przez punkt $(-2,\,-6)$ . Oceń prawdziwość zdań.

1. Punkt $(4,\,3)$ należy do wykresu funkcji $f$ . P F
2. Funkcja $f$ jest malejąca w zbiorze $\mathbb R \setminus \{0\}$ . P F
Odpowiedź
PF.
1. $a = 12$ , $4 \cdot 3 = 12$ ✓.
2. Malejąca w każdym z przedziałów $(-\infty,\,0)$ i $(0,\,+\infty)$ osobno, ale nie w całej dziedzinie: $f(-1) = -12 < f(1) = 12$ .
(0–1 pkt) Pięciu malarzy pomalowałoby halę w $12$ dni. Ośmiu malarzy, pracujących w tym samym tempie, pomaluje ją w

A. $6$ dniB. $7{,}5$ dniaC. $9$ dniD. $19{,}2$ dnia
Odpowiedź
B.
1. $5 \cdot 12 = 60$ malarzo-dni
2. $60 : 8 = 7{,}5$ .
(0–3 pkt, R) Wyznacz wszystkie punkty o obu współrzędnych całkowitych, które należą do wykresu funkcji $f(x) = \dfrac{-2x + 11}{x - 4}$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Postać. $-2x + 11 = -2(x - 4) + 3$ , więc $f(x) = -2 + \dfrac{3}{x - 4}$ .
2. Dzielniki. $x - 4 \in \{-3,\,-1,\,1,\,3\}$ , więc $x \in \{1,\,3,\,5,\,7\}$ .
3. Wartości. $f(1) = -3$ , $f(3) = -5$ , $f(5) = 1$ , $f(7) = -1$ .
1 pkt za postać $-2 + \frac{3}{x - 4}$ (albo równoważne spostrzeżenie, że $x - 4$ musi dzielić $3$ ). 2 pkt za co najmniej dwa z czterech przypadków z punktami. 3 pkt za wszystkie cztery punkty: $(1,\,-3)$ , $(3,\,-5)$ , $(5,\,1)$ , $(7,\,-1)$ .

7 Najczęstsze błędy

„Więcej pracowników, więc liczę z proporcji $\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$ .”: To proporcja prosta. Przy odwrotnej: $x_1 y_1 = x_2 y_2$ .
„ $y = \frac6x$ jest malejąca.”: Jest malejąca w $(-\infty,\,0)$ i osobno w $(0,\,+\infty)$ ; w sumie tych przedziałów nie.
„Czas skrócił się o $20\%$ , więc prędkość wzrosła o $20\%$ .”: Czas razy $0{,}8$ oznacza prędkość razy $1{,}25$ , czyli wzrost o $25\%$ .
„Przy dzielnikach liczby $7$ biorę tylko $1$ i $7$ .”: Dzielniki ujemne też dają punkty kratowe: $-1$ i $-7$ .

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Jak sprawdzić w tabeli proporcjonalność odwrotną?

Wszystkie iloczyny $x \cdot y$ muszą być równe.

2 W których ćwiartkach leży wykres

y = -\frac5x

W II i IV.

3 Jakie asymptoty ma wykres

y = \frac{2}{x + 1} - 3

$x = -1$ i $y = -3$ .

4 Czy punkt

(0,\,a)

leży na wykresie

y = \frac ax

Nie: $0$ nie należy do dziedziny.

9 Karta wzorów i co dalej

Odwrotna proporcjonalność

$xy = a$ , $\ y = \frac ax$

$a > 0$ : I i III, $\ a < 0$ : II i IV

monotoniczna w każdym przedziale osobno

R: przesunięcie

$\frac{a}{x - p} + q$ : asymptoty $x = p$ , $y = q$

$\frac{mx + n}{x - p} = m + \frac{mp + n}{x - p}$

Broszura CKE „Wybrane wzory matematyczne” nie zawiera wzorów z tej lekcji (jest w niej tylko przesunięcie punktu o wektor).

Dalej: funkcja wykładnicza i logarytmiczna (lekcja 5.6 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna), a dla rozszerzenia przekształcenia wykresów i dowody monotoniczności (5.7 Przekształcenia wykresów, złożenia, dowodzenie monotoniczności).