Arkusz próbny: poziom rozszerzony

1. Sprzężenie. $\sqrt{n^2 + 3n} - n = \frac{3n}{\sqrt{n^2 + 3n} + n} = \frac{3}{\sqrt{1 + \frac3n} + 1}$.
2. Granica. $\frac{3}{1 + 1} = \frac32$.

1 pkt za przekształcenie przez sprzężenie. 2 pkt za $\frac32$.

1. Przedziały. punkty zerowania $-2$ i $1$.
2. $x < -2$. $-(x - 1) - (x + 2) \le 5$: $\ -2x - 1 \le 5$, $\ x \ge -3$: $\ x \in [-3, -2)$.
3. $-2 \le x < 1$. $-(x - 1) + (x + 2) = 3 \le 5$: cały przedział $[-2, 1)$.
4. $x \ge 1$. $2x + 1 \le 5$, $\ x \le 2$: $\ x \in [1, 2]$.
5. Wynik. $x \in [-3, 2]$.

1 pkt za rozpatrzenie przedziałów i poprawne rozwiązanie w jednym z nich. 2 pkt za poprawne rozwiązania w dwóch przedziałach. 3 pkt za zbiór $[-3, 2]$. (Albo: suma odległości od $1$ i od $-2$ wynosi co najmniej $3$; równa $5$ dla $x = -3$ i $x = 2$.)

1. Różnica. $a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 = a^2(a - b) - b^2(a - b) = (a - b)(a^2 - b^2)$.
2. Rozkład. $= (a - b)^2(a + b)$.
3. Znak. $(a - b)^2 \ge 0$ i $a + b > 0$, więc różnica jest nieujemna. $\ \blacksquare$

1 pkt za zapisanie różnicy i pogrupowanie. 2 pkt za postać $(a - b)^2(a + b)$. 3 pkt za uzasadnienie znaku.

1. Iloczyn. $2\sin x\cos x - \cos x = 0$, $\ \cos x(2\sin x - 1) = 0$.
2. $\cos x = 0$. $x = \frac\pi2$ albo $x = \frac{3\pi}{2}$.
3. $\sin x = \frac12$. $x = \frac\pi6$ albo $x = \frac{5\pi}{6}$.
4. Wynik. $\left\{\frac\pi6, \frac\pi2, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}\right\}$.

1 pkt za wzór na $\sin 2x$ i postać iloczynową. 2 pkt za rozwiązania jednego z równań. 3 pkt za rozwiązania drugiego. 4 pkt za komplet w przedziale. Dzielenie przez $\cos x$ gubi dwa rozwiązania i daje najwyżej 2 pkt.

1. Δ > 0. $4m^2 - 4(m + 2) > 0 \iff m^2 - m - 2 > 0 \iff m \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$.
2. Viète. $x_1 + x_2 = 2m$, $\ x_1x_2 = m + 2$; $\ x_1^2 + x_2^2 = 4m^2 - 2(m + 2)$.
3. Równanie. $4m^2 - 2m - 4 = 8$, $\ 2m^2 - m - 6 = 0$: $\ m = 2$ albo $m = -\frac32$.
4. Część wspólna. $m = 2$ odpada (wtedy $\Delta = 0$), zostaje $m = -\frac32$.

1 pkt za warunek $\Delta > 0$ i jego rozwiązanie. 2 pkt za zapis $x_1^2 + x_2^2$ przez wzory Viète'a. 3 pkt za równanie z $m$. 4 pkt za jego rozwiązania. 5 pkt za $m = -\frac32$ po uwzględnieniu warunku $\Delta > 0$.

1. Ω. $|\Omega| = 6! = 720$.
2. Zdarzenie przeciwne. $1$ i $2$ obok siebie: blok na $5!$ sposobów, w bloku $2$ kolejności: $240$.
3. Wynik. $P = 1 - \frac{240}{720} = \frac23$.

1 pkt za $|\Omega| = 720$. 2 pkt za liczbę ustawień sprzyjających albo przeciwnych. 3 pkt za $\frac23$.

1. Dane. $P(M_1) = 0{,}6$, $P(M_2) = 0{,}4$, $P(W|M_1) = 0{,}03$, $P(W|M_2) = 0{,}05$.
2. Całkowite. $P(W) = 0{,}018 + 0{,}020 = 0{,}038$.
3. Bayes. $P(M_2|W) = \frac{0{,}020}{0{,}038} = \frac{10}{19}$.
4. Wynik. $\approx 0{,}53$.

1 pkt za dane. 2 pkt za $P(W)$. 3 pkt za wzór Bayesa z liczbami. 4 pkt za $\approx 0{,}53$.

1. Okrąg. $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$: $S = (2, -1)$, $r = 5$.
2. Odległość. prosta $x - y + m = 0$: $\ d = \frac{|2 + 1 + m|}{\sqrt2}$.
3. Styczność. $\frac{|m + 3|}{\sqrt2} = 5$, $\ |m + 3| = 5\sqrt2$.
4. Wynik. $m = -3 + 5\sqrt2$ albo $m = -3 - 5\sqrt2$.

1 pkt za środek i promień. 2 pkt za wzór na odległość środka od prostej. 3 pkt za równanie $|m + 3| = 5\sqrt2$. 4 pkt za obie wartości. (Albo: układ równań i warunek $\Delta = 0$.)

1. Łuki. równe cięciwy $AB$ i $BC$ wyznaczają równe łuki $AB$ i $BC$ (te, które nie zawierają punktu $D$).
2. Kąty wpisane. $\angle ADB$ jest oparty na łuku $AB$, a $\angle BDC$ na łuku $BC$; kąty wpisane oparte na równych łukach są równe.
3. Wniosek. $\angle ADB = \angle BDC$, więc $DB$ dzieli kąt $ADC$ na połowy. $\ \blacksquare$

1 pkt za zauważenie równości łuków (albo kątów środkowych). 2 pkt za równość kątów wpisanych z uzasadnieniem. 3 pkt za wniosek.

1. Krawędź boczna. połowa przekątnej podstawy $3\sqrt2$; $\ |SB| = \sqrt{9 + 18} = 3\sqrt3$.
2. Wysokość ściany. $h_s = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt2$; $\ P_{ABS} = \frac12\cdot6\cdot3\sqrt2 = 9\sqrt2$.
3. Wysokość na SB. $|AK| = \frac{2\cdot9\sqrt2}{3\sqrt3} = 2\sqrt6$; z symetrii $|CK| = 2\sqrt6$, a $\angle AKC$ jest szukanym kątem.
4. Tw. cosinusów. $|AC|^2 = 72 = 24 + 24 - 2\cdot24\cos\varphi$, $\ \cos\varphi = -\frac12$.
5. Wynik. $\varphi = 120^\circ$.

1 pkt za $|SB|$ i $h_s$. 2 pkt za wskazanie kąta $AKC$ (wysokości ścian opuszczone na wspólną krawędź). 3 pkt za $|AK| = 2\sqrt6$. 4 pkt za $\cos\varphi = -\frac12$. 5 pkt za $120^\circ$.

1. Wartość. $f(2) = \frac52$.
2. Pochodna. $f(x) = x + \frac1x$, $\ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$, $\ f'(2) = \frac34$.
3. Styczna. $y = \frac34(x - 2) + \frac52 = \frac34x + 1$.

1 pkt za pochodną. 2 pkt za $f'(2) = \frac34$ i $f(2) = \frac52$. 3 pkt za równanie stycznej.

1. Układ. $\frac{a_1}{1 - q} = 12$, $\ \frac{a_1^2}{1 - q^2} = 48$, $\ |q| < 1$ (kwadraty tworzą ciąg o ilorazie $q^2$).
2. Dzielenie. drugie przez kwadrat pierwszego: $\frac{1 - q}{1 + q} = \frac{48}{144} = \frac13$.
3. Iloraz. $3 - 3q = 1 + q$, $\ q = \frac12$.
4. Wynik. $a_1 = 12\cdot\frac12 = 6$.

1 pkt za oba równania z warunkiem $|q| < 1$. 2 pkt za równanie z jedną niewiadomą. 3 pkt za $q = \frac12$. 4 pkt za $a_1 = 6$.

1. 13.1 Więź. $8a + 4H = 24$, $\ H = 6 - 2a$.
2. 13.1 Dziedzina. $a > 0$ i $H > 0 \iff a < 3$.
3. 13.1 Wzór. $V = a^2(6 - 2a) = 6a^2 - 2a^3$.
4. 13.2 Pochodna. $V'(a) = 12a - 6a^2 = 6a(2 - a)$.
5. 13.2 Zero. w $(0, 3)$ tylko $a = 2$.
6. 13.2 Uzasadnienie. $V' > 0$ w $(0, 2)$, $V' < 0$ w $(2, 3)$: maksimum.
7. 13.2 Odpowiedź. $a = 2$, $H = 2$ (sześcian), $\ V = 8$.

13.1: 1 pkt za $H = 6 - 2a$, 2 pkt za dziedzinę, 3 pkt za wzór. 13.2: 1 pkt za pochodną, 2 pkt za $a = 2$, 3 pkt za uzasadnienie maksimum, 4 pkt za wymiary i $V = 8$.