12.1 Prawdopodobieństwo klasyczne · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Liczba przypadków sprzyjających przez liczbę wszystkich

$\Omega$ to zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia (zdarzeń elementarnych). Jeśli każdy wynik jest tak samo prawdopodobny, to prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest ułamkiem: liczba wyników sprzyjających $A$ przez liczbę wszystkich wyników. Słowa „tak samo prawdopodobny” są istotne. Suma oczek na dwóch kostkach przyjmuje $11$ wartości, ale nie są one jednakowo prawdopodobne. Jednakowo prawdopodobne są uporządkowane pary wyników $(1, 1), (1, 2), \ldots, (6, 6)$ , i to one tworzą $\Omega$ .

Definicja klasyczna (w broszurze CKE)

$\displaystyle P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

gdzie $|A|$ to liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających $A$ , a $|\Omega|$ to liczba wszystkich zdarzeń elementarnych. Zawsze $0 \le P(A) \le 1$ .

1 $\Omega$ : kolejność i zwracanie

Jak opisać $\Omega$

Losowania kolejne (dwa rzuty, „losujemy kolejno”): zdarzenia elementarne to uporządkowane pary (ciągi). Ze zwracaniem z $n$ elementów: $|\Omega| = n^2$ ; bez zwracania: $n(n-1)$ .
Losowanie jednoczesne („losujemy dwie kule naraz”): wolno liczyć pary nieuporządkowane, $\binom n2$ , albo uporządkowane, $n(n-1)$ . Oba sposoby dają ten sam wynik, jeśli w liczniku i mianowniku liczysz tak samo.
Zapisz $|\Omega| = \ldots$ , a nie „ $\Omega = 36$ ”: $\Omega$ jest zbiorem, a $36$ to liczba jego elementów.

Przykład 1.1 Dwie kostki

Rzucamy dwa razy kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek jest równa $8$ .

$\Omega$ : pary $(a, b)$ , $a, b \in \{1, \ldots, 6\}$ ; $\ |\Omega| = 36$ .
$A = \{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)\}$ ; $\ |A| = 5$ .

Wynik: $P(A) = \frac{5}{36}$ . Para $(4, 4)$ występuje raz, pary $(3, 5)$ i $(5, 3)$ to dwa różne wyniki.

Przykład 1.2 Urna bez zwracania

W urnie są $3$ kule białe i $2$ czarne. Losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie są białe.

Kule są rozróżnialne (wyobraź sobie numery). $|\Omega| = 5\cdot4 = 20$ .
Obie białe: pierwsza na $3$ sposoby, druga na $2$ : $\ |A| = 6$ .

Wynik: $P(A) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ .

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 5 min

Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie dwa razy.

Odpowiedź
$|\Omega| = 8$ ; $\ A = \{OOR, ORO, ROO\}$ ; $\ P(A) = \frac38$ .
Rzucamy dwa razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn oczek jest parzysty.

Odpowiedź
Iloczyn nieparzysty tylko wtedy, gdy oba wyniki nieparzyste: $3\cdot3 = 9$ par. $\ |A| = 36 - 9 = 27$ , $\ P(A) = \frac{27}{36} = \frac34$ .
Ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ losujemy kolejno dwie liczby bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że ich suma jest parzysta.

Odpowiedź
$|\Omega| = 5\cdot4 = 20$ . Suma parzysta: obie nieparzyste ( $3\cdot2 = 6$ ) albo obie parzyste ( $2\cdot1 = 2$ ). $\ P = \frac{8}{20} = \frac25$ .

2 Tabela i systematyczne wypisywanie

Metoda na zadanie za 2 punkty

Gdy losuje się dwie liczby, narysuj tabelę: wiersze to pierwsza liczba, kolumny to druga. Każda kratka to jedno zdarzenie elementarne, więc $|\Omega|$ to liczba kratek. W każdej kratce wpisz wartość, od której zależy warunek (sumę, iloczyn, różnicę), i zaznacz kratki spełniające warunek.
Bez tabeli wypisuj według pierwszej liczby: najpierw wszystkie pary zaczynające się od $1$ , potem od $2$ itd. Tak nie pominiesz pary ani nie policzysz jej dwa razy.
Przy losowaniu bez zwracania z jednego zbioru wykreśl przekątną tabeli (pary $(a, a)$ ).

Przykład 2.1 Dwie liczby z dwóch zbiorów

Losujemy liczbę $x$ ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ i liczbę $y$ ze zbioru $\{1, 2, 3, 4\}$ . Oblicz prawdopodobieństwo, że suma $x + y$ jest podzielna przez $3$ .

Sumy $x + y$ ; pogrubione są podzielne przez $3$
$x \backslash y$	$1$	$2$	$3$	$4$
$1$	2	3	4	5
$2$	3	4	5	6
$3$	4	5	6	7
$4$	5	6	7	8
$5$	6	7	8	9

$|\Omega| = 5\cdot4 = 20$ kratek.
Pogrubionych kratek jest $7$ : $\ |A| = 7$ .

Wynik: $P(A) = \frac{7}{20}$ .

Przykład 2.2 Zapis pełnego rozwiązania

Rzucamy dwa razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że w drugim rzucie wypadnie co najmniej o $2$ oczka więcej niż w pierwszym.

$\Omega$ — zbiór par $(a, b)$ , gdzie $a$ i $b$ to wyniki pierwszego i drugiego rzutu; $\ |\Omega| = 6\cdot6 = 36$ .
$A$ : $\ b \ge a + 2$ . Według $a$ : $\ a = 1$ : $b \in \{3, 4, 5, 6\}$ ; $\ a = 2$ : $b \in \{4, 5, 6\}$ ; $\ a = 3$ : $b \in \{5, 6\}$ ; $\ a = 4$ : $b = 6$ ; $\ a = 5, 6$ : brak.
$|A| = 4 + 3 + 2 + 1 = 10$ .
$P(A) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ .

Punktacja w stylu CKE: 1 pkt za $|\Omega| = 36$ albo za wypisanie wszystkich $10$ par sprzyjających; 2 pkt za wynik $\frac{5}{18}$ .

Zadania · część 2

1 zadanie · ok. 3 min

Losujemy liczbę $x$ ze zbioru $\{1, 2, 3, 4\}$ i liczbę $y$ ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ . Narysuj tabelę i oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn $xy$ jest parzysty.

Odpowiedź
$|\Omega| = 20$ . Iloczyn nieparzysty: $x \in \{1, 3\}$ i $y \in \{1, 3, 5\}$ , $6$ kratek; parzysty: $14$ . $\ P = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}$ .

3 Zdarzenie przeciwne i suma zdarzeń

Własności (w broszurze CKE)

$P(A') = 1 - P(A)$ , gdzie $A'$ to zdarzenie przeciwne („nie $A$ ”). Opłaca się przy „co najmniej jeden”: przeciwne to „ani jednego”.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . Opłaca się przy „podzielna przez $2$ lub przez $3$ ”: liczby podzielne przez oba policzyliśmy dwa razy.

Przykład 3.1 Co najmniej jeden orzeł

Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadnie co najmniej jeden orzeł.

$A'$ : same reszki, jeden wynik z $8$ .
$P(A) = 1 - \frac18$ .

Wynik: $\frac78$ .

Przykład 3.2 Podzielna przez 2 lub 3

Ze zbioru $\{1, 2, \ldots, 30\}$ losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest podzielna przez $2$ lub przez $3$ .

Podzielnych przez $2$ : $15$ ; przez $3$ : $10$ ; przez $2$ i $3$ , czyli przez $6$ : $5$ .
$|A \cup B| = 15 + 10 - 5 = 20$ .

Wynik: $\frac{20}{30} = \frac23$ .

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 5 min

Rzucamy trzy razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie szóstka.

Odpowiedź
Bez szóstki: $5^3 = 125$ z $216$ . $\ P = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$ .
Ze zbioru $\{1, 2, \ldots, 50\}$ losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest podzielna przez $4$ lub przez $6$ .

Odpowiedź
Przez $4$ : $12$ ; przez $6$ : $8$ ; przez $4$ i $6$ , czyli przez $12$ (nie przez $24$ !): $4$ . $\ \frac{12 + 8 - 4}{50} = \frac{16}{50} = \frac{8}{25}$ .
$P(A) = 0{,}6$ , $P(B) = 0{,}5$ , $P(A \cap B) = 0{,}3$ . Oblicz $P(A \cup B)$ .

Odpowiedź
$0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}8$ .

4 $\Omega$ z kombinatoryki

Gdy wyników jest za dużo na tabelę, $|\Omega|$ i $|A|$ liczy się regułą mnożenia i dodawania z lekcji 11.1 Reguła mnożenia i reguła dodawania. Zasada pozostaje ta sama: licz $A$ i $\Omega$ w tym samym modelu (oba z kolejnością albo oba bez).

Przykład 4.1 Losowe ustawienie

Cztery osoby, w tym Ania i Bartek, ustawiają się losowo w rzędzie. Oblicz prawdopodobieństwo, że Ania i Bartek stoją obok siebie.

$|\Omega| = 4! = 24$ .
Blok „Ania i Bartek”: $3! = 6$ ustawień bloku i dwóch pozostałych osób, $2$ kolejności w bloku: $\ |A| = 12$ .

Wynik: $\frac{12}{24} = \frac12$ .

Przykład 4.2 Losowa liczba trzycyfrowa

Losujemy jedną liczbę trzycyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo, że ma różne cyfry.

$|\Omega| = 900$ ; $\ |A| = 9\cdot9\cdot8 = 648$ .

Wynik: $\frac{648}{900} = \frac{18}{25}$ .

Zadania · część 4

3 zadania · ok. 5 min

Losujemy jedną liczbę dwucyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo, że jej cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności.

Odpowiedź
$|A| = 1 + 2 + \ldots + 9 = 45$ , $\ P = \frac{45}{90} = \frac12$ .
Pięć osób, w tym Ola, ustawia się losowo w kolejce. Oblicz prawdopodobieństwo, że Ola będzie pierwsza.

Odpowiedź
$\frac{4!}{5!} = \frac15$ . Prościej: każda z pięciu osób ma tę samą szansę na pierwsze miejsce.
W urnie są $3$ kule białe i $4$ czarne. Losujemy jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że są tego samego koloru.

Odpowiedź
$|\Omega| = \binom72 = 21$ ; dwie białe $\binom32 = 3$ , dwie czarne $\binom42 = 6$ . $\ P = \frac{9}{21} = \frac37$ . Liczenie par uporządkowanych daje $\frac{18}{42}$ , czyli to samo.

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 23 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · liczba elementów Ω

Zestawy A

Podaj $|\Omega|$ .
1. trzy rzuty monetą
Odpowiedzi
a) $8$

Poziom B · tabela i wypisywanie

Zestawy B

Oblicz prawdopodobieństwo.
1. jeden rzut kostką: liczba pierwsza
2. dwie liczby kolejno bez zwracania z $\{1, \ldots, 5\}$ : pierwsza większa od drugiej
Odpowiedzi
a) $\frac12$ b) $\frac{10}{20} = \frac12$

Poziom C · zdarzenie przeciwne i suma

Zestawy C

Oblicz.
1. $P(A) = 0{,}3$ : $\ P(A')$
2. dwa rzuty kostką: co najmniej jedna szóstka
Odpowiedzi
a) $0{,}7$ b) $1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

Poziom D · Ω z kombinatoryki

Zestawy D

Oblicz prawdopodobieństwo.
1. trzy osoby w losowej kolejności: Ala pierwsza
Odpowiedzi
a) $\frac13$

Pełny trening (23 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach podstawowych 2024–2026 prawdopodobieństwo to stałe zadanie otwarte za 2 punkty (kostki, dwie liczby z dwóch zbiorów, losowanie bez zwracania) i czasem zadanie zamknięte. Klucz: 1 punkt za $|\Omega|$ albo tabelę, albo pełną listę zdarzeń sprzyjających; 2 punkty za wynik. Zadanie zamknięte z sumą oczek miało w maju 2025 łatwość $85\%$ , otwarte z liczbą podzielną przez $6$ w maju 2026 tylko $67\%$ : zdający poprawnie wypisywali pary, ale źle sprawdzali, które liczby są podzielne przez $6$ . Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 7 pkt · ok. 15 min

(0–1 pkt) Rzucamy dwa razy kostką sześcienną. Prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie równa $10$ , jest równe

A. $\frac{1}{12}$ B. $\frac16$ C. $\frac19$ D. $\frac{5}{36}$

Odpowiedź
A. $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ : $\ \frac{3}{36}$ .
(0–1 pkt) Ze zbioru $\{1, 2, \ldots, 20\}$ losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo, że będzie podzielna przez $3$ lub przez $5$ , jest równe

A. $\frac{9}{20}$ B. $\frac12$ C. $\frac25$ D. $\frac{7}{20}$

Odpowiedź
A. $6 + 4 - 1 = 9$ (liczba $15$ jest podzielna przez obie).
(0–1 pkt) Zdarzenie $A$ jest trzy razy bardziej prawdopodobne niż zdarzenie do niego przeciwne. Wtedy $P(A)$ jest równe

A. $\frac14$ B. $\frac13$ C. $\frac23$ D. $\frac34$

Odpowiedź
D. $P(A) = 3(1 - P(A))$ , $\ 4P(A) = 3$ .
(0–2 pkt) Ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez $6$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Ω. pary uporządkowane, $|\Omega| = 7\cdot7 = 49$ .
2. Z szóstką. pierwsza albo druga liczba to $6$ : $7 + 7 - 1 = 13$ par.
3. Bez szóstki. potrzebny czynnik $2$ i czynnik $3$ : $(2, 3)$ , $(3, 2)$ , $(3, 4)$ , $(4, 3)$ , czyli $4$ pary.
4. Wynik. $|A| = 17$ , $\ P(A) = \frac{17}{49}$ .
1 pkt za $|\Omega| = 49$ albo za wypisanie wszystkich $17$ par sprzyjających. 2 pkt za wynik $\frac{17}{49}$ .
(0–2 pkt) Losujemy jedną liczbę dwucyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma jej cyfr jest równa $5$ .
Rozwiązanie i punktacja
1. Ω. liczby $10, \ldots, 99$ : $\ |\Omega| = 90$ .
2. A. $14, 23, 32, 41, 50$ : $\ |A| = 5$ .
3. Wynik. $P(A) = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$ .
1 pkt za $|\Omega| = 90$ albo wypisanie pięciu liczb sprzyjających. 2 pkt za wynik.

7 Najczęstsze błędy

„Sum oczek jest $11$ , więc $P(\text{suma } 7) = \frac{1}{11}$ .”: Sumy nie są jednakowo prawdopodobne. Zdarzenia elementarne to pary wyników, a suma $7$ powstaje z $6$ par.
„ $(3, 5)$ i $(5, 3)$ to to samo.”: Przy dwóch rzutach to dwa różne wyniki. Jeśli liczysz pary nieuporządkowane w liczniku, musisz je tak samo liczyć w mianowniku, a wtedy $(4, 4)$ i $(3, 5)$ przestają być jednakowo prawdopodobne. Bezpieczniej: zawsze pary uporządkowane.
„ $\Omega = 36$ .”: $|\Omega| = 36$ . Sprawozdanie CKE z sesji 2025 (poziom rozszerzony) wymienia ten zapis wśród typowych błędów.
„Podzielne przez $4$ lub $6$ : $12 + 8$ .”: Liczby podzielne przez oba (czyli przez $12$ ) policzone dwa razy. Odejmij $P(A \cap B)$ .

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Rzucamy dwa razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo dwóch orłów?

$\frac14$ (wyniki $OO, OR, RO, RR$ ), a nie $\frac13$ .

2 Ile wynosi

|\Omega|

przy losowaniu kolejno dwóch liczb bez zwracania ze zbioru

\{1, \ldots, 6\}

$6\cdot5 = 30$ : tabela $6\times6$ bez przekątnej.

3 Jak najszybciej policzyć prawdopodobieństwo co najmniej jednej szóstki w dwóch rzutach?

$1 - \left(\frac56\right)^2 = \frac{11}{36}$ .

4 Kiedy

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Gdy $A$ i $B$ się wykluczają, czyli $A \cap B = \emptyset$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Wzory

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

$P(A') = 1 - P(A)$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Metoda

pary uporządkowane, $|\Omega| = n\cdot m$

tabela; bez zwracania bez przekątnej

wypisuj według pierwszej liczby

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” (dział 14) są definicja klasyczna i wszystkie powyższe własności prawdopodobieństwa, w tym $P(A') = 1 - P(A)$ i wzór na $P(A \cup B)$ . Metody tabeli i wypisywania w broszurze nie ma: to ona decyduje o punktach.

Dalej: statystyka (lekcja 12.2 Statystyka: średnie, mediana, dominanta) albo, na poziomie rozszerzonym, prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite (lekcja 12.3 Prawdopodobieństwo warunkowe, całkowite i wzór Bayesa).

0 Liczba przypadków sprzyjających przez liczbę wszystkich

1 Ω\OmegaΩ: kolejność i zwracanie

Przykład 1.1 Dwie kostki

Przykład 1.2 Urna bez zwracania

2 Tabela i systematyczne wypisywanie

Przykład 2.1 Dwie liczby z dwóch zbiorów

Przykład 2.2 Zapis pełnego rozwiązania

3 Zdarzenie przeciwne i suma zdarzeń

Przykład 3.1 Co najmniej jeden orzeł

Przykład 3.2 Podzielna przez 2 lub 3

4 Ω\OmegaΩ z kombinatoryki

Przykład 4.1 Losowe ustawienie

Przykład 4.2 Losowa liczba trzycyfrowa

5 Trening rachunkowy

6 Na maturze

7 Najczęstsze błędy

8 Sprawdź się

9 Karta wzorów i co dalej

1 $\Omega$ : kolejność i zwracanie

4 $\Omega$ z kombinatoryki