11.1 Reguła mnożenia i reguła dodawania · Matematyka i fizyka od podstaw

0 Liczenie bez wypisywania

Liczb trzycyfrowych jest $900$ , kodów PIN $10\,000$ . Wypisanie ich zajęłoby godziny, a policzenie zajmuje sekundę, bo każdą taką liczbę budujemy w kilku krokach (najpierw pierwsza cyfra, potem druga, potem trzecia) i w każdym kroku wiemy, ile mamy możliwości. To jest reguła mnożenia. Druga reguła, dodawania, mówi, co zrobić, gdy obiekty dzielą się na grupy, które liczymy osobno. Cała sztuka polega na tym, żeby wybrać kolejność kroków i podział na grupy tak, by liczby możliwości w każdym kroku były pewne.

1 Reguła mnożenia

Reguła mnożenia

Jeśli obiekt budujemy w $k$ krokach i w pierwszym kroku mamy $n_1$ możliwości, w drugim $n_2$ możliwości (niezależnie od tego, co wybraliśmy w pierwszym), …, w $k$ -tym $n_k$ możliwości, to wszystkich obiektów jest

$n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$ .

Wyróżnione zastrzeżenie jest najważniejsze: liczba możliwości w danym kroku może zależeć od wcześniejszych wyborów co do tego, co wybieramy, ale nie co do ile jest możliwości.

Przykład 1.1 Zestaw obiadowy

W stołówce są $3$ zupy, $4$ drugie dania i $2$ desery. Ile różnych zestawów zupa, drugie danie, deser można zamówić?

Krok 1: zupa, $3$ możliwości. Krok 2: drugie danie, $4$ możliwości. Krok 3: deser, $2$ możliwości.
$3\cdot4\cdot2$ .

Wynik: $24$ zestawy.

Przykład 1.2 Liczby trzycyfrowe

Ile jest liczb trzycyfrowych? Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach?

Cyfra setek: $1$ – $9$ , czyli $9$ możliwości (zero na początku dałoby liczbę dwucyfrową). Dziesiątki i jedności: po $10$ . Razem $9\cdot10\cdot10 = 900$ .
Różne cyfry: setki $9$ ; dziesiątki to każda cyfra oprócz użytej, w tym zero: $9$ ; jedności: $8$ . Razem $9\cdot9\cdot8 = 648$ .

Wynik: $900$ i $648$ .

W drugim rachunku na pozycji dziesiątek która cyfra jest dostępna, zależy od cyfry setek, ale ile ich jest, już nie: zawsze $9$ . Dlatego wolno mnożyć.

Zadania · część 1

3 zadania · ok. 3 min

Ile jest czterocyfrowych kodów PIN (cyfry $0$ – $9$ mogą się powtarzać, kod może zaczynać się od zera)?

Odpowiedź
$10^4 = 10\,000$ . Tu zero na początku jest dozwolone, bo kod nie jest liczbą.
Ile jest liczb trzycyfrowych, których wszystkie cyfry są nieparzyste?

Odpowiedź
$5\cdot5\cdot5 = 125$ (zero nie jest nieparzyste, więc problem pierwszej cyfry znika).
Na ile sposobów można ustawić $4$ osoby w kolejce?

Odpowiedź
$4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24$ .

2 Najpierw pozycja z ograniczeniem

Kolejność kroków

Kroki nie muszą iść od lewej do prawej. Zaczynaj od pozycji z ograniczeniem: cyfry jedności, gdy liczba ma być parzysta, nieparzysta albo podzielna przez $5$ ; potem cyfra na początku liczby (bez zera); na końcu pozycje bez warunków.
Jeśli mimo to liczba możliwości w którymś kroku zależy od wcześniejszego wyboru, rozbij na przypadki i dodaj wyniki (reguła dodawania, część 3). Typowy przypadek: różne cyfry i zero wśród dozwolonych cyfr jedności.

Przykład 2.1 Nieparzyste o różnych cyfrach

Ile jest liczb trzycyfrowych nieparzystych o różnych cyfrach?

Jedności (ograniczenie): $1, 3, 5, 7, 9$ , czyli $5$ możliwości.
Setki: bez zera i bez cyfry jedności, czyli $8$ możliwości (cyfra jedności nie jest zerem, więc zawsze odpada dokładnie jedna z $1$ – $9$ ).
Dziesiątki: $10$ cyfr bez dwóch użytych, czyli $8$ .

Wynik: $5\cdot8\cdot8 = 320$ .

Przykład 2.2 Parzyste o różnych cyfrach: tu trzeba rozbić

Ile jest liczb trzycyfrowych parzystych o różnych cyfrach?

Jedności: $0, 2, 4, 6, 8$ . Ale liczba możliwości dla setek zależy od tego, czy na końcu jest zero: zero nie zabiera setkom nic, inna cyfra parzysta zabiera jedną.
Przypadek I, na końcu $0$ : setki $9$ , dziesiątki $8$ , czyli $9\cdot8 = 72$ .
Przypadek II, na końcu $2, 4, 6$ albo $8$ : jedności $4$ , setki $8$ , dziesiątki $8$ , czyli $4\cdot8\cdot8 = 256$ .
Przypadki są rozłączne: $72 + 256$ .

Wynik: $328$ . Rachunek „jedności $5$ , setki $8$ , dziesiątki $8$ ” daje $320$ i jest błędny.

Zadania · część 2

3 zadania · ok. 6 min

Ile jest liczb czterocyfrowych nieparzystych o różnych cyfrach?

Odpowiedź
Jedności $5$ , tysiące $8$ , setki $8$ , dziesiątki $7$ : $\ 5\cdot8\cdot8\cdot7 = 2240$ .
Ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez $5$ o różnych cyfrach?
Odpowiedź
1. Na końcu $0$ : $\ 9\cdot8 = 72$ .
2. Na końcu $5$ : setki $8$ (bez zera i piątki), dziesiątki $8$ : $\ 64$ .
3. Razem $136$ .
Ile jest liczb czterocyfrowych nieparzystych, w których cyfra setek jest równa cyfrze jedności?

Odpowiedź
Jedności $5$ , setki: $1$ (taka sama), tysiące $9$ , dziesiątki $10$ : $\ 5\cdot1\cdot9\cdot10 = 450$ .

3 Reguła dodawania i dopełnienie

Reguła dodawania

Jeśli zbiór obiektów dzieli się na rozłączne grupy (żaden obiekt nie należy do dwóch), to liczba wszystkich obiektów jest sumą liczebności grup.

„Dokładnie jedna …”: przypadki według tego, gdzie jest ta jedna (na której pozycji, który element), a na pozostałych miejscach wykluczamy tę cyfrę albo cechę.
„Co najmniej jedna …”: często najszybciej przez dopełnienie: wszystkie obiekty minus te, w których nie ma ani jednej.

Przykład 3.1 Dokładnie jedna siódemka

Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie cyfra $7$ występuje dokładnie raz?

$7$ na miejscu setek: dziesiątki i jedności bez siódemki, $9\cdot9 = 81$ .
$7$ na miejscu dziesiątek: setki bez zera i bez siódemki, $8$ ; jedności $9$ : $\ 72$ .
$7$ na miejscu jedności: tak samo, $8\cdot9 = 72$ .
$81 + 72 + 72$ .

Wynik: $225$ .

Przykład 3.2 Co najmniej jedna siódemka

Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie występuje co najmniej jedna cyfra $7$ ?

Wszystkich trzycyfrowych: $900$ .
Bez siódemki: setki $8$ , dziesiątki $9$ , jedności $9$ , czyli $648$ .
$900 - 648$ .

Wynik: $252$ . To o $27$ więcej niż w przykładzie 3.1: tyle jest liczb z dwiema albo trzema siódemkami.

Zadania · część 3

3 zadania · ok. 6 min

Ile jest liczb dwucyfrowych, w których co najmniej jedna cyfra jest parzysta?

Odpowiedź
Obie nieparzyste: $5\cdot5 = 25$ . $\ 90 - 25 = 65$ .
W stołówce są $4$ zupy (w tym $1$ wegetariańska) i $5$ drugich dań (w tym $2$ wegetariańskie). Uczeń wybiera jedną zupę i jedno drugie danie tak, by dokładnie jedna z tych potraw była wegetariańska. Ile ma możliwości?
Odpowiedź
1. Zupa wegetariańska, danie nie: $1\cdot3 = 3$ .
2. Zupa nie, danie wegetariańskie: $3\cdot2 = 6$ .
3. Razem $9$ .
Ile jest liczb czterocyfrowych, w których zapisie występuje dokładnie jedno zero?

Odpowiedź
Zero na jednym z $3$ miejsc (setki, dziesiątki, jedności; nie na początku), pozostałe trzy cyfry od $1$ do $9$ : $\ 3\cdot9^3 = 2187$ .

4 Ustawienia, wybory, kolorowania

Trzy wzorce reguły mnożenia

Ustawienie $n$ różnych obiektów w rzędzie: $n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1 = n!$ (czytaj „ $n$ silnia”).
Kolejny wybór $k$ różnych z $n$ , gdy kolejność ma znaczenie (miejsca na podium, funkcje w samorządzie): $n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)$ .
Kolorowanie z warunkiem „sąsiednie różne”: pierwszy obszar dowolnym kolorem, każdy kolejny dowolnym oprócz koloru poprzednika.

Gdy kolejność nie ma znaczenia (para drużyn grająca mecz, uścisk dłoni), każdą parę policzyliśmy dwa razy, więc dzielimy wynik przez $2$ .

Przykład 4.1 Podium

W finale biegu startuje $8$ zawodników. Na ile sposobów mogą zostać rozdzielone medale złoty, srebrny i brązowy?

Złoto $8$ , srebro $7$ , brąz $6$ .

Wynik: $8\cdot7\cdot6 = 336$ .

Przykład 4.2 Pasek z pięciu pól

Pięć pól ułożonych w rzędzie malujemy, mając do dyspozycji $4$ kolory. Sąsiednie pola muszą mieć różne kolory. Ile jest kolorowań?

Pierwsze pole $4$ , każde następne $3$ (bez koloru poprzedniego).

Wynik: $4\cdot3^4 = 324$ .

Przykład 4.3 Kiedy dzielić przez $2$

W turnieju $6$ drużyn każda gra z każdą dokładnie raz. Ile meczów zostanie rozegranych?

Uporządkowanych par (gospodarz, gość): $6\cdot5 = 30$ .
Mecz $A$ – $B$ to ten sam mecz co $B$ – $A$ , więc każdy policzyliśmy dwa razy: $30 : 2$ .

Wynik: $15$ meczów. Gdyby grano mecz i rewanż, byłoby ich $30$ .

Zadania · część 4

4 zadania · ok. 6 min

Na ile sposobów można posadzić $5$ osób w rzędzie, jeśli dwie z nich (Ania i Bartek) mają siedzieć obok siebie?

Odpowiedź
Skleić Anię i Bartka w jeden blok: $4$ obiekty, $4! = 24$ ustawienia; w bloku $2$ kolejności. $\ 2\cdot24 = 48$ .
Flaga składa się z trzech poziomych pasów. Mamy $5$ kolorów, a sąsiednie pasy mają różne kolory. Ile jest flag?

Odpowiedź
$5\cdot4\cdot4 = 80$ (górny i dolny pas mogą mieć ten sam kolor).
W klasie jest $25$ osób. Na ile sposobów można wybrać przewodniczącego i jego zastępcę?

Odpowiedź
$25\cdot24 = 600$ (funkcje są różne, kolejność ma znaczenie).
Na spotkaniu jest $10$ osób i każda wita się uściskiem dłoni z każdą inną. Ile jest uścisków?

Odpowiedź
$\frac{10\cdot9}{2} = 45$ .

5 Trening rachunkowy

Próbka treningu rachunkowego. Pełny trening ma 25 przykładów i zadań, z odpowiedziami i w wersji do druku.

Poziom A · reguła mnożenia

Zestawy A

Ile jest możliwości?
1. strój: $4$ bluzki i $3$ spódnice
2. liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach
Odpowiedzi
a) $12$ b) $9\cdot9\cdot8 = 648$

Poziom B · cyfry z ograniczeniami

Zestawy B

Ile jest liczb?
1. trzycyfrowych nieparzystych
2. czterocyfrowych, które czytane od końca dają tę samą liczbę
Odpowiedzi
a) $9\cdot10\cdot5 = 450$ b) $9\cdot10 = 90$

Poziom C · przypadki i dopełnienie

Zestawy C

Ile jest liczb?
1. dwucyfrowych z co najmniej jedną cyfrą $3$
2. czterocyfrowych z co najmniej jedną cyfrą parzystą
Odpowiedzi
a) $90 - 72 = 18$ b) $9000 - 5^4 = 8375$

Poziom D · ustawienia, wybory, kolorowania

Zestawy D

Na ile sposobów?
1. ustawić $6$ różnych książek na półce
Odpowiedzi
a) $720$

Pełny trening (25 przykładów i zadań) →

6 Na maturze

W arkuszach podstawowych 2024–2026 kombinatoryka to zawsze jedno zadanie zamknięte za 1 punkt: liczby o cyfrach z danego zbioru, liczby z warunkiem „dokładnie jedno zero”, kolorowanie obszarów. Informator ma też zadania otwarte za 2–3 punkty, w których klucz daje punkt za podział na przypadki, punkt za poprawne zliczenie każdego z nich i punkt za sumę. Łatwość majowych zadań wynosiła $71\%$ (2025) i $79\%$ (2026). Poniższe zadania są nasze, w stylu arkusza.

Zadania w stylu maturalnym

5 zadań · 7 pkt · ok. 15 min

(0–1 pkt) Liczb czterocyfrowych podzielnych przez $5$ , których wszystkie cyfry należą do zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (cyfry mogą się powtarzać), jest

A. $25$ B. $125$ C. $500$ D. $625$

Odpowiedź
B. Na końcu tylko $5$ (zera nie ma w zbiorze), pozostałe trzy cyfry dowolne: $5^3$ .
(0–1 pkt) Wszystkich liczb trzycyfrowych parzystych, których cyfry należą do zbioru $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ (cyfry mogą się powtarzać), jest

A. $7\cdot8\cdot4$ B. $8\cdot8\cdot4$ C. $7\cdot7\cdot4$ D. $8\cdot8\cdot3$

Odpowiedź
A. Setki $7$ (bez zera), dziesiątki $8$ , jedności $0, 2, 4, 6$ .
(0–1 pkt) Liczb dwucyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności, jest

A. $36$ B. $45$ C. $81$ D. $90$

Odpowiedź
B. Reguła dodawania po cyfrze dziesiątek $d$ : jedności $0, \ldots, d-1$ , czyli $d$ możliwości. $\ 1 + 2 + \ldots + 9 = 45$ .
(0–1 pkt) Liczb pięciocyfrowych, w których cyfry parzyste i nieparzyste występują na przemian, przy czym pierwsza cyfra jest parzysta, jest

A. $5^5$ B. $4\cdot5^4$ C. $5^4$ D. $2\cdot5^5$

Odpowiedź
B. Pierwsza cyfra parzysta i niezerowa: $2, 4, 6, 8$ ; dalej nieparzysta, parzysta (z zerem), nieparzysta, parzysta, po $5$ .
(0–3 pkt) Oblicz, ile jest liczb trzycyfrowych parzystych, w których zapisie cyfra $5$ występuje dokładnie raz.
Rozwiązanie i punktacja
1. Przypadki. według pozycji piątki: setki, dziesiątki albo jedności.
2. Piątka w setkach. dziesiątki bez piątki $9$ , jedności parzyste $5$ : $\ 45$ .
3. Piątka w dziesiątkach. setki bez zera i piątki $8$ , jedności $5$ : $\ 40$ .
4. Piątka w jednościach. liczba byłaby nieparzysta: $0$ .
5. Suma. $45 + 40 + 0 = 85$ .
1 pkt za podział na rozłączne przypadki według pozycji piątki. 2 pkt za poprawne zliczenie obu niepustych przypadków. 3 pkt za wynik $85$ .

7 Najczęstsze błędy

„Pierwsza cyfra: $10$ możliwości.”: Liczba nie zaczyna się od zera: $9$ możliwości (albo mniej, gdy dochodzą inne warunki). Wyjątek: kody i numery, które nie są liczbami.
„Parzyste o różnych cyfrach: $5\cdot8\cdot8$ .”: Zero na końcu nie zabiera możliwości pierwszej cyfrze, inna cyfra parzysta zabiera. Liczba możliwości zależy od wyboru, więc potrzebne są dwa przypadki (przykład 2.2).
„Dokładnie jedna siódemka: $3$ pozycje razy reszta dowolna.”: Jeśli na pozostałych pozycjach dopuścisz siódemkę, policzysz też liczby z dwiema siódemkami, i to wielokrotnie. Na pozostałych pozycjach trzeba ją wykluczyć.
„Mecze: $6\cdot5$ .”: Gdy kolejność w parze nie ma znaczenia, dzielimy przez $2$ . Pytaj zawsze: czy zamiana miejscami daje inny obiekt?

8 Sprawdź się

Odpowiedz w myślach, zanim rozwiniesz odpowiedź.

1 Ile jest liczb dwucyfrowych o różnych cyfrach?

$9\cdot9 = 81$ .

2 Dlaczego liczbę trzycyfrowych nieparzystych o różnych cyfrach liczy się jednym iloczynem, a parzystych nie?

Cyfra nieparzysta na końcu zawsze zabiera jedną możliwość cyfrze setek; cyfra parzysta zabiera ją tylko wtedy, gdy nie jest zerem.

3 Jak najszybciej policzyć liczby z co najmniej jedną cyfrą parzystą?

Dopełnieniem: wszystkie minus te, w których wszystkie cyfry są nieparzyste.

4 Ile jest uścisków dłoni w grupie

10

osób?

$10\cdot9 : 2 = 45$ .

9 Karta wzorów i co dalej

Dwie reguły

mnożenia: kroki, $n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$

dodawania: rozłączne przypadki, suma

dopełnienie: wszystkie − „żadnej”

Wzorce

ustawienie $n$ obiektów: $n!$

$k$ kolejnych wyborów z $n$ : $n(n-1)\ldots(n-k+1)$

para bez kolejności: $\frac{n(n-1)}{2}$

W broszurze CKE „Wybrane wzory matematyczne” dział kombinatoryki zawiera liczbę permutacji $n!$ , kombinacji $\binom nk$ oraz wariacji z powtórzeniami i bez powtórzeń. Reguł mnożenia i dodawania tam nie ma: trzeba je znać i umieć opisać słowami, jakie kroki i jakie przypadki się liczy. Na poziomie podstawowym te dwie reguły wystarczają do wszystkich zadań.

Dalej: prawdopodobieństwo klasyczne (lekcja 12.1 Prawdopodobieństwo klasyczne), gdzie licznik i mianownik liczy się dokładnie tak jak tutaj, albo permutacje, kombinacje i symbol Newtona (lekcja 11.2 Permutacje, wariacje, kombinacje i symbol Newtona, poziom rozszerzony).